四川省成都届高考模拟数学理科试题一含答案Word格式.docx
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本大题共12小题,每小题5分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设全集,,则集合
A.B.C.D.
2.已知复数为纯虚数,那么实数的值为
A.-1B.0C.1D.2
3.已知,把数列的各项排成如图所示的三角形数阵,记表示该数阵中第行中从左到右的第个数,则
A.67B.69
C.73D.75
4.函数是
A.周期为的偶函数B.周期为的偶函数
C.周期为的奇函数D.周期为奇函数
5.已知函数是定义在上的单调函数,且对任意的都有,若动点满足等式,则的最大值为
A.5B.-5C.D.
6.祖暅是南北朝时代的伟大科学家,5世纪末提出体积计算原理,即祖暅原理:
“幂势既同,则积不容异”.意思是:
夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任何一个平面所截,如果截面面积都相等,那么这两个几何体的体积一定相等.现有以下四个几何体:
图①是从圆柱中挖出一个圆锥所得的几何体;
图②、图③、图④分别是圆锥、圆台和半球,则满足祖暅原理的两个几何体为
A.①②B.①③C.②④D.①④
7.下列说法正确的是
A.“若,则”的否命题是“若,则”
B.在中,“”是“”必要不充分条件
C.“若,则”是真命题
D.使得成立
8.“欧几里得算法”是有记载的最古老的算法,可追溯至公元前300年前,上面的程序框图的算法思路就是来源于“欧几里得算法”,执行该程序框图(图中“”表示除以的余数),若输入的分别为675,125,则输出的
A.0
B.25
C.50
D.75
9.已知实数,满足不等式组,若直线把不等式组表示的平面区域分成面积相等的两部分,则
A.B.C.D.
10.如图,在平面直角坐标系中,质点,间隔3分钟先后从点出发,绕原点按逆时针方向作角速度为弧度/分钟的匀速圆周运动,则与的纵坐标之差第4次达到最大值时,运动的时间为
A.37.5分钟B.40.5分钟C.49.5分钟D.52.5分钟
11.已知是双曲线:
的右焦点,是轴正半轴上一点,以
为直径的圆在第一象限与双曲线的渐近线交于点.若点,,三点共线,且的面积是面积的5倍,则双曲线的离心率为
A.B.C.D.
12.设函数f(x)=(x-a)2+(lnx2-2a)2,其中x>
0,a∈R,存在x0使得f(x0)≤b成立,则实数b的最小值为
A.B.C.D.1
第Ⅱ卷(非选择题部分,共90分)
本卷包括必考题和选考题两部分。
第13~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。
第22~23题为选做题,考生根据要求作答。
二、填空题:
本题共4题,每小题5分,共20分
13.已知,,,则的最小值是.
14.从1,2,3,4,5中随机取出两个不同的数,则其和为奇数的概率为.
15.已知是奇函数,当时,则曲线在点处的切线方程是.
16.已知菱形的边长为,.沿对角线将该菱形折成锐二面角
,连结.若三棱锥的体积为,则该三棱锥的外接球的表面积为__________.
三、解答题:
(本题包括6小题,共70分。
要求写出证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分12分)
已知等差数列满足:
且成等比数列.
(Ⅰ)求数列的通项公式.
(Ⅱ)记为数列的前项和,是否存在正整数,使得
若存在,求的最小值;
若不存在,说明理由.
18.(本题满分12分)
如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°
.
(Ⅰ)证明:
AB⊥A1C;
(Ⅱ)若AB=CB=2,A1C=,求二面角B﹣AC﹣A1的余弦值.
19.(本题满分12分)
某学校举行元旦晚会,组委会招募了12名男志愿者和18名女志愿者,将这30名志愿者的身高编成如图所示的茎叶图(单位:
cm),身高在175cm以上(包括175cm)定义为“高个子”,身高在175cm以下(不包括175cm)定义为“非高个子”.
(1)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中共抽取5人,再从这5人中选2人,求至少有一人是“高个子”的概率;
(2)若从身高180cm以上(包括180cm)的志愿者中选出男、女各一人,求这2人身高相差5cm以上的概率.
20.(本题满分12分)
已知离心率为的椭圆焦点在轴上,且椭圆个顶点构成的四边形面积为,过点的直线与椭圆相交于不同的两点、.
(1)求椭圆的方程;
(2)设为椭圆上一点,且(为坐标原点).求当时,实数的取值范围.
21.(本题满分12分)
(1)当x>0时,求证:
2﹣;
(2)当函数y=ax(a>1)与函数y=x有且仅有一个交点,求a的值;
(3)讨论函数y=a|x|﹣|x|(a>0且a≠1)y=a的零点个数.
请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分。
作答时请写清题号,本小题满分10分。
22.(本小题满分10分)选修4-4:
坐标系与参数方程
平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,以轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)写出曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程;
(2)若射线:
平分曲线,且与曲线交于点,曲线上的点满足,求.
23.(本小题满分10分)选修4-5:
不等式选讲
已知函数().
(I)若不等式的解集为或,求的值.
(II)若对,,求实数的取值范围.
成都龙泉中学2018届高考模拟考试试题
(一)
数学(理工类)参考答案
1—5ABACD6—10DCBBA11—12CB
13.414.15.16.
17.解:
(1)设数列公差为d,由
解得d=0或d=4
故=2或=4n-2
(2)当=2时,
.不存在正整数n,使得
当=4n-2时,
由解得n>
30或n<
-10(舍去)
此时存在正整数n使得且n的最小值为31.
综上,当=2时,不存在正整数n,使得
当=4n-2时,存在正整数n使得且n的最小值为31.
18.解:
取AB中点O,连CO,OA1,A1B,
∵AB=AA1,∠BAA1=60°
,
∴△A1AB为正三角形,
∴A1O⊥AB,
∵CA=CB,∴CO⊥AB,
∵CO∩A1O=O,
∴AB⊥平面COA1,
∵A1C⊂平面COA1,
∴AB⊥A1C.
(Ⅱ)解:
∵AB=CB=2,AB=AA1,CA=CB,∠BAA1=60°
∴CO=A1O==,
∵A1C=,
∴=,
∴OC⊥A1O,
∵OC∩AB=O,∴A1O⊥平面ABC,------------------5分
建立如图空间直角坐标系O﹣xyz,
O(0,0,0),A(1,0,0),,C(0,0,),
设平面AA1C的法向量为,
则,,
∴,
∴=(,1,1),
平面向量ACB的法向量=(0,1,0),
cos<>==.
∴二面角B﹣AC=A1的余弦值为.12分
19.解
(1)根据茎叶图知,“高个子”有12人,“非高个子”有18人,
用分层抽样的方法,每个人被抽中的概率是=,
所以抽取的5人中,“高个子”有12×
=2人,“非高个子”有18×
=3人.
“高个子”用A,B表示,“非高个子”用a,b,c表示,则从这5人中选2人的情况有(A,B),(A,a),(A,b),(A,c),(B,a),(B,b),(B,c),(a,b),(a,c),(b,c),共10种,
至少有一名“高个子”被选中的情况有(A,B),(A,a),(A,b),(A,c),(B,a),(B,b),(B,c),共7种.
因此,至少有一人是“高个子”的概率是P=.
(2)由茎叶图知,有5名男志愿者身高在180cm以上(包括180cm),身高分别为181cm,182cm,184cm,187cm,191cm;
有2名女志愿者身高为180cm以上(包括180cm),身高分别为180cm,181cm.抽出的2人用身高表示,则有(181,180),(181,181),(182,180),(182,181),(184,180),(184,181),(187,180),(187,181),(191,180),(191,181),共10种情况,
身高相差5cm以上的有(187,180),(187,181),(191,180),(191,181),共4种情况,故这2人身高相差5cm以上的概率为=.
20.解析:
(1)设椭圆的方程为,由题意可知,得,;
又顶点构成四边形的是菱形,面积,所以,,椭圆方程为.
(2)设直线的方程为或,,,,
当的方程为时,,与题意不符.
当的方程为时,由题设可得、的坐标是方程组的解.
消去得,所以,即,
则,,,
因为,所以,
解得,所以.
因为,即,
所以当时,由,得,,
上述方程无解,所以此时符合条件的直线不存在:
当时,,,
因为点在椭圆上,所以,
化简得,因为,所以,则.
综上,实数的取值范围为.
21.证明:
(1)令f(x)=lnx+﹣2,g(x)=lnx﹣,x>0,f′(x)==,
所以y=f(x)在(0,e)上单调递减,在(e,+∞)上单调递增,
∴f(x)min=f(e)=0,同理可证g(x)max=g(e)=0,故得证…
(2)令h(x)=ax﹣x,x∈R,h′(x)=axlna﹣1,令h′(x)=0,则x=loga(logae),y=h(x)在(﹣∞,loga(logae))上单调递减,在(loga(logae),+∞)上单调递增,
∃t>0,使ax≥,当x≥t+3时,ax=at•xx﹣t≥•x[x﹣t]=≥>(1+(a﹣1)(a﹣t﹣1))>2x﹣2t﹣2;
ax﹣x≥x﹣2t﹣2,
当x≤0时,ax﹣x≤1﹣x,∴h(loga(logae))=logae﹣(loga(logae)=0,ae=e,lnae=1,a=.
(3)令k(x)=a|x|﹣|x|,x∈R,y=k(x)是偶函数,k(0)=1≠0时,k(x)=ax﹣x,
由
(2)知,当a=时,函数k(x)=a|x|﹣|x|,有两个零点;
k′(x)=axlna﹣1,当0<a<1时,k′(0)=1,k
(1)=a﹣1<0,
所以函数k(x)=a|x|﹣|x|,有两个零点;
当1<a<时,k′(x)=axlna﹣1,y=k(x),在(0,loga(logae))上单调递减,在(loga(logae),+∞)上单调递增,k(loga(logae))=logae﹣loga(logae)<0,k(0)=1>1,当x≥y+3时,ax=at•xx﹣t≥•xx﹣t≥=≥>>2x﹣2t﹣2,
ax﹣x≥x﹣2t﹣2,所以k(2t+3)>1>0,函数y=a|x|﹣|x|,有四个零点;
当a>时,y=k(x),在(0,loga(logae
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