清北学堂物理VIP班竞赛模拟题四Word下载.docx
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(3)要使与不发生第二次相碰,应满足什么条件?
5。
有一内径均匀,两支管等长(长度大于)的型管,端封密,端开口。
用水银将一定质量的理想气体封闭在端后,将管竖直倒立,如图所示。
平衡时两管中水银面高度差为,此时闭管中气柱的长度。
若保持温度不变,不计水银与管壁的摩擦,当轻轻晃动一下型管使左端液面上升或下降()时,将出现什么现象,试加以讨论并说明理由。
6。
一个直径1cm、总带电量10-8C的均匀带电塑料球,用一根绝缘线绳悬挂起来,其最底端与一个盐水容器的水面相距1cm。
已知盐水密度为1000km/m3,求水平面涌起的高度。
7。
有人在实验室中通过实验装置,形成了如右图所示的磁场分布区域MM,在该区域中,磁感应强度B的大小沿Z轴从左到右由强变弱,再由弱变强,对称面为PP,已知z轴上O点磁感强度B的大小为B0。
,两端M点的磁感强度为Bm。
,现有一束质量均为m,电量均为q,速度大小均为V0的粒子,在O点以与Z轴成不同角度α0向半空间发射。
设磁场足够强,粒子只能由紧邻Z轴的磁感线围成的截面积很小的“磁力管”内运动。
试分析说明具有不同的投射角α0的粒子在磁场区MM间的运动情况。
提示:
在细“磁力管”的管壁上粒子垂直磁场方向的速度v┴的平方与磁力管轴上的磁感强度的大小B之比为一常量。
8。
如右图所示,由两面平面镜组成的角镜,P与O点相距为r,位于的角平分线上,当OB镜静止,OA镜以角速度ω顺时针转动,P沿PO方向以速度v匀速运动时,求P点的各个像的运动轨迹的曲率半径。
参考答案
1.解:
设静摩擦力和竖直方向的夹角为,则静态平衡条件为:
和
从这些方程中可以发现逃犯在爬墙时作用在墙上的弹力为
因此总的作用力F可以由下式求得:
可利用下面的不等式得到最小的力:
由此可得:
这里的μ0是静摩擦因数。
利用上面两式可以得到最小的力为:
此方程表明若要使主人公不从墙上掉下来,则静摩擦因数一定要大于1。
2.解:
使用固定在分针上的转动参考系,在此参考系中时针是做逆时针转动。
当时针的末端以最快的速度远离分针的末端时,时针、分针和其末端连线应构成一个直角三角形。
如图所示。
因为分针长度是时针长度的两倍,其间角度θ=π/3。
现在我们计算午夜过后什么时间时针和分针的夹角为θ。
因为分针的转速是时针转速的12倍,故时针与12点的夹角可由12ф-ф=θ计算。
因此从12点算起,分针转过的角度为,时间恰为午夜过后11分钟。
注:
本题硬解也能解出,从时针和分针的距离表达式,可以求出其相对速度,然后由其驻点的位置可以确定钟臂所处的角度。
3.分析:
钢球对地的运动是一个曲线运动,绳对球的拉力作功为变为作功问题,因此用牛顿定律来处理本题是行不通的,考虑两球组成的系统为研究对象,则内力(绳中的张力)做功的代数和为零。
解一
(1)以地面为参照系,设m沿方向运动距离时,钢球第一次碰撞,此时力F作用点拉过距离,m除有方向的水平速度外,还有绕作用点的速度,即为所求的,由质点系动能定理有
①
对系统而言,水平方向受恒力作用,小钢球水平加速度恒定,由动力学和运动学关系有②
③
联立①、②、③式解得
(2)最后两球一直处于接触状态,垂直于方向的速度消失,由此而失去的能量即为所求,故
解二:
在O系考察,由对称性可知,质心只有水平方向加速度,大小为
在O系中,两钢球对作圆周运动,如图4-6所示。
钢球所受惯性力分别为,绳的拉力作功为零,在质心系中,由动能定理有
由上式得
4.解:
与弹性碰撞,满足
得,
之后,以速度匀速运动,则以碰撞点为平衡位置做简谐运动。
有
得振幅:
,周期:
简谐运动方程为
(1)不能,设m到达右方最大位置的时间为,要使M在这段时间能追上m,则M在t1时间内位移大于振幅A,即,所以,将v1、v2代入得
即要求,显然这是不可能的。
(2)第一次碰撞后m运动到右方最大位置,再返回到A/2处,所需时间为t2,则有得
要使M在m返回点A/2处第二次相碰,M在此时间内位移应为A/2,
即得:
即:
(3)要使M与m不发生第二次相碰,M在碰后应向左运动,而且不被m追赶上,这样,方向向左。
以第一次碰撞点的位置为坐标原点,向右为x正方向,在任一t时刻m、M的位置坐标可表示为①
②
这两个关系式可表示在同一x-t坐标系中,对应的临界情况是相遇不相碰,将该点记为P,如图所示。
则对P点,显然有
④
(此式表示在点P处,M与m的速度相同,故对xm与xM的导数应一致)
由④式可得⑤
由此可得⑥
(之所以取负值是因为是第三象限角,故为负)
由⑤式得⑦
将⑥⑦式代入③式,并令,得:
其中为第三象限角,用计算机逼近法,解得:
即
解得,此为临界条件,故不碰的条件为
5.解:
本题由于玻璃管的形状较为特殊,因此液面上下晃动以后可能产生多种情况,需要把管内部分水银柱所受左、右两边的压强差的表达式写出来,然后加以分析。
以A端密封气柱为研究对象,以最初平衡位置为初态,左端液面上升(或下降)了(设此时液柱速度为零)为末态,根据玻意尔定律可得
解得
此时U型管内CD段水银柱所受左、右两边的压强差
①代入②得:
由此可见,可正可负,为1(或-1)是临界值,现讨论如下:
(1)如果,,水银柱将被压回原来位置,并在原来平衡位置附近振动。
(2)如果,,水银柱将继续受到一个向右的压强,左端水银面将继续上升,而且从的表达式可以看出,越大,也越大,水银将不断地由管流向管。
由于两管长度和水银柱长度都大于78cm,当管液面上升到时,管中水银柱长度大于76cm,因此水银柱将继续流向管,直至有一部分水银流出管口。
(3)如果△h=1cm,而且此时水银柱速度又恰好为零,那么由于△P=0,所以,这是一个新的平衡位置。
但这是一个不稳定平衡,如果稍有扰动,水银柱就将离开这个位置。
如果A端液面因受扰动而向下运动,那么将出现
(1)中情况;
如果A端液面因受扰动而向上运动,那么将出现
(2)中情况。
6.解:
盐水是电的良导体,因此其表面会产生感应电荷,可用电像法解。
先假设水面的隆起非常微小以至于远小于3r,则电量Q在P的电场强度为
P点上方实际的电场强度为Q与其镜像-Q共同产生的电场
根据高斯定理,P点的表面电荷密度为
则水面上单位面积受到的力为
该力与因水面升高而产生的附加压强造成的力抵消
因此前面的假设是正确的
7.解:
这里讨论的是非均匀磁场对带电粒子的作用,同样满足洛仑兹力不做功的结论,可利用动能守恒的结论。
再有提示中的结论,可得到任意B处的v┴,进而得到v||。
要注意利用题中磁力管很细的结论。
(1)带电粒子沿Z轴做螺旋运动时受到阻力而减速。
设粒子达到磁感强度为B处的速度为v,其垂直和平行于磁场的方向的分速度分别为v┴和v||。
粒子刚从O点射出时,其垂直磁场方向的分速度为v0┴=v0sinα,根据提示,粒子运动过程中,在细“磁力管”的管壁上垂直磁场方向的速度的平方与磁力管轴上的磁场的大小B之比为一常量,即。
因粒子还具有沿轴向的分速度,所以粒子在磁力管中做螺旋运动,由于洛伦兹力f垂直于粒子的速度,对带电粒子不做功,因而粒子在任何点的速度均为v0。
按题设,Z轴上O点右侧磁场B逐渐变大,因而,粒子向右运动过程中,垂直磁场方向的速度v┴随之增大。
平行于磁场方向的速度v||亦随之按下列规律变化:
。
由上式可知,随沿Z轴磁场B的增大,平行于磁场方向的速度v||将随之减少。
轴向速度的减小是因为粒子沿轴向右运动时受到阻力,因磁力管壁的磁场与Z轴不平行,粒子在运动过程中受到的洛伦兹力f斜向指向Z轴,如下图所示,f||是f平行于Z轴的分量,它成为阻碍粒子沿轴向右运动的阻力,f┴是洛仑兹力f垂直于Z轴的分量,它为粒子做螺旋运动提供粒子做圆周运动的向心力,圆周半径为
此式表明螺旋半径随磁场B的增大而减小。
结合v||的表达式的讨论可知,螺旋运动的轴向速度逐渐减小,即螺旋螺距逐渐减小,到达M端时,粒子以半径的圆周运动。
(2)临界投射角
由v||表达式知,以某个投射角α0L发射的粒子到达M点时,其平行磁场方向的速度vm||恰好等于零。
此式表明:
当投射角α=α0L时,粒子恰好在M点轴向速度为零,vmL=v0,即垂直于磁场方向的分速度最大,α0L称为临界投射角,投射角α<
α0L的粒子到达射点时,因轴向速度尚未减至零,这些粒子就从M处逸出,离开磁场区域。
(3)投射角大于临界角α0L发射,即做螺旋运动到达端点M时,因轴向速度为零,粒子在此瞬间停止向右移动,只做圆周运动,但因沿Z轴磁场分布的非均匀性,磁场大小存在变化梯度,因而粒子在M点仍受到向左的作用力,粒子即离开端点M向左做螺旋运动(螺旋的方向不变)。
到达O点时,向左运动的沿轴向速度最大,继续向左运动。
离开0点后,左半程运动的情况与右半程的运动情况相仿,到达左端点M时,轴向速度亦为零,并受到指向O点的洛仑兹力作用,向右运动。
因此,左右M点处,犹如镜面反射一样,粒子在邻近z轴的细磁力管内,在两端面问做螺旋形往复周期运动。
投射角α>
α0L的粒子在未到达M点时,轴向速度已减至零,这些粒子将在小于MM点距离间相对于对称面PP做周期的往复螺旋运动。
投射角愈大,往复运动的距离愈小,当投射角α=900时,粒子不受轴向力,就在对称面PP上以半径r0=mv0/qB做圆周运动。
8.解:
由平面镜成像规律知,P共成五个像,其径向速度大小均为v,切向速度大小分别为±
0ωr、±
2ωr、±
4ωr,由于有切向速度,使像产生一径向加速度,其大小为:
将其分解到运动方向的法向:
各像点速度大小为:
曲率半径为:
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