第三讲 平面向量Word文档格式.docx
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[解析] ∵=+,且=,
∴·
=(+)·
=·
+2
=||||cos60°
+||2
=a2+a2=a2.故选D.
3.(2017·
福建龙岩二模)已知向量与的夹角为60°
,且||=3,||=2,若=m+n,且⊥,则实数的值为( )
A.B.
C.6D.4
[解析] 由题意知·
=3×
2×
cos60°
=3.又∵=m+n,⊥,∴·
=(m+n)·
(-)=n2+(m-n)·
-m2=0,又∵||=3,||=2,·
=3,∴4n+3(m-n)-9m=n-6m=0,∴=.故选A.
[答案] A
4.(2016·
天津卷)已知△ABC是边长为1的等边三角形,点D,E分别是边AB,BC的中点,连接DE并延长到点F,使得DE=2EF,则·
的值为( )
A.-B.
C.D.
[解析] 解法一:
∵=-,
=+=+=+,
=(-)
=×
1×
-+-×
=-+-=,选B.
解法二:
以BC为x轴,E为坐标原点建立如图所示平面直角坐标系,易知A,B,E(0,0),C,D.
又=2,设F(x,y),
∴=2(x,y),
∴x=,y=-,∴F,
(1,0)=+0=.
[答案] B
5.(2017·
山东卷)已知e1,e2是互相垂直的单位向量,若e1-e2与e1+λe2的夹角为60°
,则实数λ的值是________.
[解析] ∵(e1-e2)·
(e1+λe2)=e+λe1·
e2-e1·
e2-λe=-λ,|e1-e2|===2,
|e1+λe2|===,
∴-λ=2×
×
=,解得λ=.
[答案]
考点一 平面向量的概念及线性运算
1.在平面向量的化简或运算中,要根据平面向量基本定理选好基底,变形要有方向不能盲目转化.
2.在用三角形加法法则时要保证“首尾相接”,结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量的终点所在的向量;
在用三角形减法法则时要保证“同起点”,结果向量的方向是指向被减向量.
[对点训练]
1.(2017·
唐山模拟)在等腰梯形ABCD中,=-2,M为BC的中点,则=( )
A.+B.+
C.+D.+
[解析] 因为=-2,所以=2.又M是BC的中点,所以=(+)=(++)==+,故选B.
2.(2017·
河北三市联考)已知e1,e2是不共线向量,a=me1+2e2,b=ne1-e2,且mn≠0,若a∥b,则等于( )
A.-B.C.-2D.2
[解析] ∵a∥b,∴a=λb,即me1+2e2=λ(ne1-e2),则故=-2.
[答案] C
河南郑州质检)已知P为△ABC所在平面内一点,D为AB的中点,若2+=(λ+1)+,且
△PBA与△PBC的面积相等,则实数λ的值为________.
[解析] ∵D为AB的中点,∴2=+,
又∵2+=(λ+1)+.
∴++=(λ+1)+
∴=λ,又△PBA与△PBC的面积相等,
∴P为AC的中点,∴λ=-1.
[答案] -1
4.(2017·
盐城一模)在△ABC中,∠A=60°
,∠A的平分线交BC于点D,若AB=4,且=+λ(λ∈R),则AD的长为________.
[解析]
因为B,D,C三点共线,所以+λ=1,解得λ=,如图,过点D分别作AC,AB的平行线交AB,AC于点M,N,则=,=,经计算得AN=AM=3,AD=3.
[答案] 3
平面向量线性运算的2种技巧
(1)对于平面向量的线性运算问题,要尽可能转化到三角形或平行四边形中,灵活运用三角形法则、平行四边形法则,紧密结合图形的几何性质进行运算.
(2)在证明两向量平行时,若已知两向量的坐标形式,常利用坐标运算来判断;
若两向量不是以坐标形式呈现的,常利用共线向量定理(当b≠0时,a∥b⇔存在唯一实数λ,使得a=λb)来判断.
考点二 平面向量的数量积
1.平面向量的数量积有两种运算形式
(1)数量积的定义:
a·
b=|a||b|cosθ(其中θ为向量a,b的夹角).
(2)坐标运算:
a=(x1,y1),b=(x2,y2)时,a·
b=x1x2+y1y2.
2.投影
向量a在向量b方向上的投影为=|a|cosθ(θ为向量a,b的夹角).
重庆适应性测试)已知非零向量a,b的夹角为,且|b|=1,|b-2a|=1,则|a|=( )
A.B.1C.D.2
[解析] 依题意得(b-2a)2=1,即b2+4a2-4a·
b=1,1+4|a|2-2|a|=1,4|a|2-2|a|=0(|a|≠0),因此|a|=,选A.
陕西省西安地区高三八校联考)已知点A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1),D(3,4),则向量在方向上的投影是( )
A.-3B.-C.3D.
[解析] 依题意得,=(-2,-1),=(5,5),·
=(-2,-1)·
(5,5)=-15,||=,因此向量在方向上的投影是==-3,选A.
3.已知向量a,b满足|a|=1,(a+b)·
(a-2b)=0,则|b|的取值范围为( )
A.[1,2]B.[2,4]
[解析] 由题意知b≠0,设向量a,b的夹角为θ,因为(a+b)·
(a-2b)=a2-a·
b-2b2=0,又|a|=1,所以1-|b|cosθ-2|b|2=0,所以|b|cosθ=1-2|b|2,因为-1≤cosθ≤1,所以-|b|≤1-2|b|2≤|b|,所以≤|b|≤1,所以|b|的取值范围是.
4.在△ABC中,AD⊥AB,=2,||=1,则·
=________.
[解析] 因为在△ABC中,=2,所以·
=(+2)·
,又=-,所以·
=[(1-2)+2]·
=(1-2)·
+2·
+22,因为AD⊥AB,所以·
=0,所以·
=(1-2)×
0+2×
1=2.
[答案] 2
平面向量数量积的两种运算方法
(1)依据模和夹角计算,要注意确定这两个向量的夹角,如夹角不易求或者不可求,可通过选择易求夹角和模的基底进行转化.
(2)利用坐标来计算,向量的平行和垂直都可以转化为坐标满足的等式,从而应用方程思想解决问题,化形为数,使向量问题数字化.
考点三 平面向量的综合应用
平面向量作为解决问题的工具,具有代数形式和几何形式的“双重型”,高考常在平面向量与三角函数、解三角形、解析几何等交汇处命题,通过向量运算作为题目条件.角度1:
平面向量与解三角形
[解析] 根据题意,由=2+,可得-==2,则||=2||=4,由=-,可得||2=|-|2=2-2·
+2=4,故||=2,由=-=(2+)-=+,得||2=|+|2=2+2·
+2=12,可得||=2.在△ABC中,由||=4,||=2,||=2,可得||2=||2+||2,则△ABC为直角三角形.故选C.
解法一:
设BC的中点为D,AD的中点为E,则有+=2,
则·
(+)=2·
=2(+)·
(-)=2(2-2).
而2=2=,
当P与E重合时,2有最小值0,故此时·
(+)取最小值,
最小值为-22=-2×
=-.
以AB所在直线为x轴,AB的中点为原点建立平面直角坐标系,如图,
则A(-1,0),B(1,0),C(0,),设P(x,y),取BC的中点D,则D.·
=2(-1-x,-y)·
=2=2.
因此,当x=-,y=时,·
(+)取得最小值,为2×
=-,故选B.
解决平面向量综合问题的两种方法
(1)基向量法:
根据平面向量的基本定理,选好基向量,再把题目所给向量用基向量表示出来,最后翻译题目所给向量关系.
(2)坐标法:
在解决平面几何问题时,可通过建立平面直角坐标系将问题坐标化,然后利用平面向量的坐标运算求解有关问题,这样可以避免繁杂的逻辑推理,同时加强了数形结合思想在解题中的应用.
[对点训练]
1.[角度1](2017·
广州模拟)△ABC的三个内角A,B,C所对边长分别是a,b,c,设向量n=(a+c,sinB-sinA),m=(a+b,sinC),若m∥n,则角B的大小为( )
A.B.C.D.
[解析] 若m∥n,则
(a+b)(sinB-sinA)-(a+c)sinC=0,
由正弦定理可得(a+b)(b-a)-c(a+c)=0,化为a2+c2-b2=-ac,
∴cosB==-.
∵B∈(0,π),∴B=.故选B.
2.[角度2](2015·
湖南卷)已知点A,B,C在圆x2+y2=1上运动,且AB⊥BC.若点P的坐标为(2,0),则|++|的最大值为( )
A.6B.7C.8D.9
因为A,B,C均在单位圆上,AC为直径,故+=2=(-4,0),|++|=|2+|≤2||+||,又||≤||+1=3,所以|++P|≤4+3=7,故其最大值为7,选B.
因为A,B,C均在单位圆上,AC为直径,不妨设A(cosx,sinx),B(cos(x+α),sin(x+α))(α≠kπ,k∈Z),C(-cosx,-sinx),++=(cos(x+α)-6,sin(x+α)),
|++|==≤7,故选B.
热点课题9 坐标法在平面向量中的应用
[感悟体验]
福州二模)在等腰直角△ABC中,∠ABC=90°
,AB=BC=2,M,N为AC边上的两个动点(M,N不与A,C重合),且满足||=,则·
的取值范围为( )
不妨设点M靠近点A,点N靠近点C,以等腰直角三角形ABC的直角边所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系,如图所示,
则B(0,0),A(0,2),C(2,0),线段AC的方程为x+y-2=0(0≤x≤2).设M(a,2-a),N(a+1,1-a)(由题意可知0<
a<
1),∴=(a,2-a),=(a+1,1-a),∴·
=a(a+1)+(2-a)(1-a)=2a2-2a+2=22+,
∵0<
1,∴由二次函数的知识可得·
∈.
河南开封质检)已知△ABC为等边三角形,AB=2,设点P,Q满足=λ,=(1-λ),λ∈R.若·
=-,则λ的值为________.
如图,以点A为坐标原点,AB所在的直线为x轴,过点A且垂直于AB的直线为y轴,建立平面直角坐标系.设A(0,0),B(2,0),C(1,),则=(2,0),=(1,),∴P(2λ,0),Q(1-λ,(1-λ)).
∵·
=-,∴(-1-λ,(1-λ))·
(2λ-1,-)=-,化简得4λ2-4λ+1=0,
∴λ=.
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