函数与导数专题测试docWord文档格式.docx
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c小函数可化为y=~^r—显然是减融数,不满足②,淘汰;
对于A中的函数当X=1时,y=P—5兀=0,显然不满足③,淘汰。
3.D;
P点处的切线的斜率fc=3x2-V3>
->
/3K存在,BPtana>
5且存在,结合正切
772
函数的图象可知:
aw[0,—)U[—矩兀)。
23
4•已知定义域为r的函数'
(“)在亿+8)为增函数,函数)y/(x+2)为偶函数,则下列结论不成立的是
⑷/(°
)>
川1)⑻几°
几2)(c)M)>
f⑶(D)M)>
/
(2)
4.C;
由y=f(x+2)为偶函数可知其对称轴是y轴可知:
y=f(x)的对称轴是x=2o乂
/(兀)在(2,+oo)上为增函数,画出草图如右图,易知A、B、D都正确,/(!
)=/(3),故C不正确。
选C。
5.设点P在曲线y=-ex±
,点0在曲线y=ln(2x)上,则最小值为()
(A)l-ln2(B)V2(l-ln2)(C)l+ln2(D)>
/2(l+ln2)5【答案】B
6.已知函数f(x)=ax3+bx2+c,其导函数图象如图所示,则函数/⑴的极小值是
A.a+b+cB.8a+4b+c
C・3a+2bD.c
7.由曲线y=3-兀2和直线y=2x所围成的面积为
9.过原点的直线与函数y=2大的图像交于人B两点,过B作y轴的垂线交于函数y=4x的图像于
点C,若直线AC平行于y轴,则点4的坐标是
6.D;
由图可知函数/(兀)在(-oo,0)上单调递减,在(0,2)上单调递增,在(2,+8)上单调递
减,所以函数的极小值为/(0)=co
9.A;
由题意设4屛2勺),3(兀2,2也),则C(州,2七),又C在函数y=4”的图像上,故
所以存4心|
C(舛,4®
),所以2勺=4®
解得:
兀2=2西;
、、、2V|=kx...x-,
设直线方程为y=kx,贝ij{=^>
2<
2"
a,=—=2,即x2-x,=1,二式结合知:
石=1,
2'
=kx2X]
—-4m2f(x)<
/(x-l)4-4/(;
n)1g成立,
5丿
实数加的取值范围是
片3
【答案】D依据题意得—-l-4m2(x2-l)<
(x-l)2-l+4(m2-l)在兀引—乜)上恒定成立,nr2
I323
即一-4/n2<
一-+——+1在xe[—9+oo)上忆成立。
nTx2
3325
半x=—时函数y=—;
1取得最小值—
2xx3
(3加2+1)(4加2_3)no,解得加5
2.填空题
11・设函数儿)=届叫3十泌兀2+4兀_1,其中竺],贝|J导数广(J)的取值范围32[_6
是・
loss兀(x>
0)
12.己知函数/«
=3/2(兀<
0,且关于X的方程/(兀)+兀-0=0有且只有一个实根,则实数Q
°
的范围是.
11.[3,6】;
/r(x)=V3sin^x2+cos^x+4,
广(-l)=\/^sin&
-cos&
+4=2sin0-—+4,X0g0,
12.(1,+oo);
数形结合。
画出函数/(兀)的图象,把关于兀的方程f(x)^x-a=0冇且只冇
13.【2012高考真题福建理15】对于实数a和b,定义运算“*”:
a^b=
a2-ab.a<
bh2-ah,a>
b
设/(x)=(2x-l)*(x-l),且关于x的方程为f(x)=m(m€R)恰有三个互不相等的实数根x】,x2,
X:
},贝I」X1X2X3的取值范围是
13【答案】
(上<
3,0).
16
14.(2010江苏卷)14、将边长为lm正三角形薄片,沿一条平行于底边的直线剪成两块,其屮
一块是梯形,记S=(警/则s的最小值是
梯形的面积
[解析]考查函数中的建模应用,等价转化思想。
一题多解。
设剪成的小正三角形的边长为兀,贝s=(3_=4(3-a92(0<
^<
1)
丄心+1)也•(—)的
22
14(方法一)利用导数求函数最小值。
4(3-x)2,4(2x-6)•(1-x2)-(3-•(~2x)
2帀匸厂gy
(1-x2)2
4(2兀—6)•(1—兀・)—(3—x)?
•(—2x)4—2(3x—l)(x—3)
V3(1-x2)2y/3
(1-X2)2
(I」)?
5\x)=0,0<
x<
l,x=—,
当xw(0丄]时,S\x)<
0,递减;
当%e[-,l)R寸,S\x)>
0,递增;
33
故当y时,s的最小值是畔。
(方法二)利用函数的方法求最小值。
1114r41
^3-x=Z,Zg(2,3),-g(—,贝!
J:
S=—j=—^―-—=—j=—-—-—t32V3-r2+6r-8V3_86_
2十41
故当时,s的最小值是畔。
3.解答题
15.已知函数/(x)=wln(l+x)-—x2(mgR),满足广(0)=1.
(1)求函数/(x)的单调区间;
3.
(2)若关于兀的方程f(x)=--x2+x+c在[0,2]恰有两个不同的实根,求实数c的取值范围。
4
16.已知函数f(x)=ax3^bx2-3x(a9beR)在点(1,/(I))处的切线方程为y+2=0・
(1)求函数/(兀)的解析式;
(2)若对于区间[-2,2]±
任意两个自变量的值坷,x2,都有1/(旺)-/(£
)IWc,求实数c的最小值。
>
771—X—
15.解:
(1)ff(x)=—-—x,・・•广(0)=1,・••加=1.・・・f\x)=,
1+xx+1
令/'
(兀)-0得兀=—或x-—-―—■(舍去)o
当XW(-1,土並)时,广(兀)>
0,・・・/(兀)在(_l,i+®
上是增函数;
当xw(一:
石,+oo)时,广(力<
0,A/(x)在(-1严,+00)上是减函数.
313
(2)方程f(x)=~~x2+x+c即为方程ln(l+x)-—x2=一[兀2+x+c即为方程ln(l+x)+^%2-x-c=0,
=ln(l+x)+—x2-x-c,0’(兀)=—-—+-X-1=———罕
41+x22(1+x)
当xe(-l,0)时,如)>
0,则0(兀)在(-1,0)上单调递增;
当“(0,1)时,如)<
0,则0(兀)在(0,1)上单调递减;
当XW(1,+00)时,0'
(兀)>
0,则0(x)在(1,+00)上单调递增;
0(0)=-c>
0,
/(x)=——/+x+c在[0,2]恰冇两个不同的实根等价于彳0
(1)=ln2——CV0,'
44
0
(2)=ln3—1—CO.
•••实数c的収值范围In2一一<
c<
0-
16.
p(l)7
[广
(1)=0,
解:
⑴广(x)=3dF+2加-3.
即[d+b_3=—2,解得=1
[361+2/7-3=0,[b=0
所以f(^)=x3-3x.
(2)令/'
(x)=0,即3x2-3=0.得兀二±
1.
X
-2
(-2,-1)
-1
(-1,1)
1
(1,2)
f\x)
+
-
fw
增
极大值
减
极小值
因为/(-1)=2,/
(1)=-2,所以当xe[-2,2]时"
)j2,/(xtn=-2.
则对于区间[-2,2]上任意两个自变量的值x,,x2,都有
|/(心)-/也归/(4_一所以c
所以c的最小值为4.
17.已知awR,函数/(x)=—+lnx-l,g(x)=(lnx-l)(?
v+x(其屮0为自然对数的底数).X
(1)求函数于(兀)在区间(0,可上的最小值:
(2)是否存在实数xoe(O,e],使|11|线y=g(x)在点x=x()处的切线与y轴垂直?
若存在,求出
兀。
的值;
若不存在,请说明理由.
17.
(1)解:
Vf(x)=—+Inx—1,・°
・=——H—=—-—.
令广(x)=0,得兀=d.
①若qWO,则广(兀)>
0,/⑴在区间(0厨上单调递增,此时函数/⑴无最小值.
②若Ova—,当xe(O,tz)吋,广⑴<
0,函数/(兀)在区间(0卫)上单调递减,当兀丘仏可时,广(x)〉0,函数/(兀)在区间仏可上单调递增,所以当兀=a时,函数/(X)取得最小值Ina.
③若心€,则广⑴W0,函数于⑴在区间(0,可上单调递减,
所以当x=e时,函数于(兀)取得最小值纟.
e
综上可知,当aWO时,函数/(兀)在区间(0,可上无最小值;
18为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层。
某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元。
该建筑物每年的能源消耗费k
用C(单位:
万元)与隔热层厚度X(单位:
cm)满足关系C(X)=(05兀510),若不建隔
3兀+5
热层,每年能源消耗费用为8万元。
设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用Z和。
(I)求k的值及f(x)的表达式。
(1【)隔热层修建多厚吋,总费用f(x)达到最小,并求最小值。
[如本小題主要考資95数.导致罅基砒知识.伺时肴査运用数学知识解决实际问眩的能力.
10(満分12分〉
<
1)鼓隔迪层"
度为xcm.由題必毎年能敢消耗费用为C"
)二一3x+5再rt:
c(o)»
8・tyuo.闵此eg二一^・
3*+5
iftiii&
W用为・
址兀衍隔伙层建适费用打20年的伽消比费用Z和为
/(x)=20C(x)4Ct(x)=20x-*6x=*6r(0^x<
10).
3x+$3x*5
MISX=5>
X*=-«
y《念Z).
勺0<
xc5时・fa)<
0・芳5<
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