高中数学圆锥曲线知识点梳理+例题解析.docx
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高中数学圆锥曲线知识点梳理+例题解析
高考数学圆锥曲线部分知识点梳理
1、方程的曲线:
在平面直角坐标系中,如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系:
(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解;
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点,那么这个方程叫做曲线的方程;这条曲线叫做方程的曲线。
点与曲线的关系:
若曲线C的方程是f(x,y)=0,则点P0(x0,y0)在曲线C上
f(x0,y0)=0;点P0(x0,y0)不在曲线C上
f(x0,y0)≠0。
两条曲线的交点:
若曲线C1,C2的方程分别为f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,则点P0(x0,y0)是C1,C2的交点
{
方程组有n个不同的实数解,两条曲线就有n个不同的交点;方程组没有实数解,曲线就没有交点。
二、圆:
1、定义:
点集{M||OM|=r},其中定点O为圆心,定长r为半径.
2、方程:
(1)标准方程:
圆心在c(a,b),半径为r的圆方程是(x-a)2+(y-b)2=r2
圆心在坐标原点,半径为r的圆方程是x2+y2=r2
(2)一般方程:
①当D2+E2-4F>0时,一元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程,圆心为
半径是
。
配方,将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0化为(x+
)2+(y+
)2=
②当D2+E2-4F=0时,方程表示一个点(-
-
);
③当D2+E2-4F<0时,方程不表示任何图形.
(3)点与圆的位置关系已知圆心C(a,b),半径为r,点M的坐标为(x0,y0),则|MC|<r
点M在圆C内,|MC|=r
点M在圆C上,|MC|>r
点M在圆C内,其中|MC|=
。
(4)直线和圆的位置关系:
①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系:
直线与圆相交
有两个公共点;直线与圆相切
有一个公共点;直线与圆相离
没有公共点。
②直线和圆的位置关系的判定:
(i)判别式法;(ii)利用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离
与半径r的大小关系来判定。
三、圆锥曲线的统一定义:
平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线l的距离之比是一个常数e(e>0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线。
其中定点F(c,0)称为焦点,定直线l称为准线,正常数e称为离心率。
当0<e<1时,轨迹为椭圆;当e=1时,轨迹为抛物线;当e>1时,轨迹为双曲线。
四、椭圆、双曲线、抛物线:
椭圆
双曲线
抛物线
定义
1.到两定点F1,F2的距离之和为定值2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹
2.与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.(0 1.到两定点F1,F2的距离之差的绝对值为定值2a(0<2a<|F1F2|)的点的轨迹 2.与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.(e>1) 与定点和直线的距离相等的点的轨迹. 轨迹条件 点集: ({M||MF1+|MF2|=2a,|F1F2|<2a= 点集: {M||MF1|-|MF2|. =±2a,|F2F2|>2a}. 点集{M||MF|=点M到直线l的距离}. 图形 方 程 标准方程 ( >0) (a>0,b>0) 参数方程 (t为参数) 范围 ─a≤x≤a,─b≤y≤b |x|≥a,y∈R x≥0 中心 原点O(0,0) 原点O(0,0) 顶点 (a,0),(─a,0),(0,b),(0,─b) (a,0),(─a,0) (0,0) 对称轴 x轴,y轴; 长轴长2a,短轴长2b x轴,y轴; 实轴长2a,虚轴长2b. x轴 焦点 F1(c,0),F2(─c,0) F1(c,0),F2(─c,0) 准线 x=± 准线垂直于长轴,且在椭圆外. x=± 准线垂直于实轴,且在两顶点的内侧. x=- 准线与焦点位于顶点两侧,且到顶点的距离相等. 焦距 2c(c= ) 2c(c= ) 离心率 e=1 【备注1】双曲线: ⑶等轴双曲线: 双曲线 称为等轴双曲线,其渐近线方程为 ,离心率 . ⑷共轭双曲线: 以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线,叫做已知双曲线的共轭双曲线. 与 互为共轭双曲线,它们具有共同的渐近线: . ⑸共渐近线的双曲线系方程: 的渐近线方程为 如果双曲线的渐近线为 时,它的双曲线方程可设为 . 【备注2】抛物线: (1)抛物线 =2px(p>0)的焦点坐标是( 0),准线方程x=- ,开口向右;抛物线 =-2px(p>0)的焦点坐标是(- 0),准线方程x= ,开口向左;抛物线 =2py(p>0)的焦点坐标是(0, ),准线方程y=- ,开口向上; 抛物线 =-2py(p>0)的焦点坐标是(0,- ),准线方程y= ,开口向下. (2)抛物线 =2px(p>0)上的点M(x0,y0)与焦点F的距离 ;抛物线 =-2px(p>0)上的点M(x0,y0)与焦点F的距离 (3)设抛物线的标准方程为 =2px(p>0),则抛物线的焦点到其顶点的距离为 ,顶点到准线的距离 ,焦点到准线的距离为p. (4)已知过抛物线 =2px(p>0)焦点的直线交抛物线于A、B两点,则线段AB称为焦点弦,设A(x1,y1),B(x2,y2),则弦长 = +p或 (α为直线AB的倾斜角), , ( 叫做焦半径). 五、坐标的变换: (1)坐标变换: 在解析几何中,把坐标系的变换(如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向)叫做坐标变换.实施坐标变换时,点的位置,曲线的形状、大小、位置都不改变,仅仅只改变点的坐标与曲线的方程. (2)坐标轴的平移: 坐标轴的方向和长度单位不改变,只改变原点的位置,这种坐标系的变换叫做坐标轴的平移,简称移轴。 (3)坐标轴的平移公式: 设平面内任意一点M,它在原坐标系xOy中的坐标是9x,y),在新坐标系x′O′y′中的坐标是 .设新坐标系的原点O′在原坐标系xOy中的坐标是(h,k),则 或 叫做平移(或移轴)公式. (4)中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程见下表: 方程 焦点 焦线 对称轴 椭圆 + =1 (±c+h,k) x=± +h x=h y=k + =1 (h,±c+k) y=± +k x=h y=k 双曲线 - =1 (±c+h,k) x=± +k x=h y=k - =1 (h,±c+h) y=± +k x=h y=k 抛物线 (y-k)2=2p(x-h) ( +h,k) x=- +h y=k (y-k)2=-2p(x-h) (- +h,k) x= +h y=k (x-h)2=2p(y-k) (h, +k) y=- +k x=h (x-h)2=-2p(y-k) (h,- +k) y= +k x=h 六、椭圆的常用结论: 1.点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角. 2.PT平分△PF1F2在点P处的外角,则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点. 3.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离. 4.以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5.若 在椭圆 上,则过 的椭圆的切线方程是 . 6.若 在椭圆 外,则过 作椭圆的两条切线切点为P1、P2,则切点弦P1P2的直线方程是 . 7.椭圆 (a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,点P为椭圆上任意一点 ,则椭圆的焦点角形的面积为 . 8.椭圆 (a>b>0)的焦半径公式 ( ). 9.设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交P、Q两点,A为椭圆长轴上一个顶点,连结AP和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点,则MF⊥NF. 10.过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q,A1、A2为椭圆长轴上的顶点,A1P和A2Q交于点M,A2P和A1Q交于点N,则MF⊥NF. 11.AB是椭圆 的不平行于对称轴的弦,M 为AB的中点,则 ,即 。 12.若 在椭圆 内,则被Po所平分的中点弦的方程是 ; 【推论】: 1、若 在椭圆 内,则过Po的弦中点的轨迹方程是 。 椭圆 (a>b>o)的两个顶点为 ,与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是 . 2、过椭圆 (a>0,b>0)上任一点 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点,则直线BC有定向且 (常数). 3、若P为椭圆 (a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F1,F2是焦点, ,则 . 4、设椭圆 (a>b>0)的两个焦点为F1、F2,P(异于长轴端点)为椭圆上任意一点,在△PF1F2中,记 ,则有 . 5、若椭圆 (a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,左准线为L,则当0<e≤ 时,可在椭圆上求一点P,使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项. 6、P为椭圆 (a>b>0)上任一点,F1,F2为二焦点,A为椭圆内一定点,则 当且仅当 三点共线时,等号成立. 7、椭圆 与直线 有公共点的充要条件是 . 8、已知椭圆 (a>b>0),O为坐标原点,P、Q为椭圆上两动点,且 . (1) ; (2)|OP|2+|OQ|2的最大值为 ;(3) 的最小值是 . 9、过椭圆 (a>b>0)的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点,弦MN的垂直平分线交x轴于P,则 . 10、已知椭圆 (a>b>0),A、B、是椭圆上的两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于点 则 . 11、设P点是椭圆 (a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记 ,则 (1) . (2) . 12、设A、B是椭圆 (a>b>0)的长轴两端点,P是椭圆上的一点, ,c、e分别是椭圆的半焦距离心率,则有 (1) . (2) .(3) . 13、已知椭圆 (a>b>0)的右准线 与x轴相交于点 ,过椭圆右焦点 的直线与椭圆相交于A、B两点,点 在右准线 上,且 轴,则直线AC经过线段EF的中点. 14、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直. 15、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 16、椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). (注: 在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.) 17、椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. 18、椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项. 七、双曲线的常用结论: 1、点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角. 2、PT平分△PF1F2在点P处的内角,则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点. 3、以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交. 4、以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.(内切: P在右支;外切: P在左支) 5、若 在双曲线 (a>0,b>0)上,则过 的双曲线的切线
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- 高中数学 圆锥曲线 知识点 梳理 例题 解析
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