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谈谈博弈论LSEC
博弈论与非线性分析
俞建
贵州大学数学系
贵州省博弈、决策和控制理论重点实验室
2008年3月
(一)
我们知道,博弈论是由VonNeumann和Morgenstern在1944年合作的名著“博弈论与经济行为”[1]的出版而宣告诞生的.在“序言”中,他们就提出“经济与社会问题可以从这个角度得到最好的解释”,在第1章中,他们又指出“博弈论是建立经济行为理论的最恰当的方法”.
[1]J.VonNeumann,O.Morgenstern,TheoryofGamesandEconomicBehavior,1944(有中译本,王文玉等译,2004).
[1]中深入研究了矩阵博弈:
局中人1,纯策略的集合,混合策略的集合.
局中人2,纯策略的集合,混合策略的集合.
如果局中人1选择,局中人2选择,则局中人2支付局中人1,所有构成一个矩阵.这样,如果局中人1选择混合策略,局中人2选择混合策略,则局中人2支付局中人1的期望支付是.
VonNeumann证明了:
使
换句话说,是此矩阵博弈的平衡点,或者有
.
以上结果称为最大最小定理(最好的愿望,最坏的准备).
年轻的Nash将VonNeumann的矩阵博弈的模型在两个方面作了推广:
由2人→人,尤其是由零和→非零和,这种博弈称为人有限非合作博弈.
以二人有限非合作博弈(双矩阵博弈)为例来说明:
如果局中人1选择纯策略,局中人2选择纯策略,则局中人1得到支付,局中人2得到支付,未要求(),允许,双赢.这样如果局中人1选择混合策略,局中人2选择混合策略,则局中人1和局中人2得到的期望支付分别是和.
1950和1951年,Nash[2][3]证明了:
使
这样的之后称为Nash平衡点:
谁都不能通过单独改变自己的策略而使自己获得更大的利益.
Nash平衡点是非合作博弈中最重要、最核心的概念.
[2]J.F.Nash,ProceedingsoftheNationalAcademyofSciences,USA,36(1950),48-49.
[3]J.F.Nash,AnnalsofMathematics,54(1951),286-295.
VonNeumann和Nash工作的两个理论前提:
⑴对每个局中人来说,所有信息都是公开的,完全的,对称的;
⑵每个局中人都是完全理性的,都能够在各自策略集中选择对自己最为有利的策略.
对应用来说,以上两个假设太理想了,太苛刻了,因为它要求每个局中人都是神——无所不知且无所不能.Harsanyi和Selten的工作分别在这两个方面提出了新的思想,大大扩展了博弈论的应用,正因为如此,他们才与Nash一起,在“博弈论与经济行为”一书出版整整50年后,共同获得了1994年的Nobel经济奖,也正是这次获奖,才确认了博弈论对经济理论的核心重要性.具体来说,Harsanyi在非对称信息条件下,提出了“类型”的概念,用Bayes方法对博弈论模型进行分析,为信息经济学奠定了基础.而Selten将完全理性看作有限理性的极限,提出了Nash平衡点精练的概念.
Nobel经济奖中的博弈论工作
获奖年份
获奖者
获奖原因
1994
Harsanyi
Nash
Selten
在非合作博弈平衡分析的研究中,作出了开创性的贡献
2005
Aumann
Schelling
在冲突与合作问题的研究中,作出了开创性的贡献
获奖年份
获奖者
获奖原因
1996
Mirrless
Vickrey
在非对称信息条件激励理论的研究中,作出了开创性的贡献
2001
Akelof
Spence
Stiglitz
在非对称信息市场的研究中,作出了开创性的贡献
2007
Hurwicz
Maskin
Myerson
在机制设计理论的研究中,作出了开创性贡献
1996年、2001年和2007年的获奖工作属于信息经济学的领域,而从本质上讲,这些工作都是非合作博弈论在经济学中的重要应用,因此也都包含在20世纪90年代以来出版的任何一本博弈论的教科书中.Maskin和Myerson都是杰出的博弈论学者,Myerson还有名著“博弈论,矛盾冲突分析”出版.此外,2002年Nobel经济奖的获得者是Kahneman和Smith,其中Kahneman是因把心理学研究融入经济学而获奖,他是行为经济学的倡导人;Smith是因在实验经济学作出了开创性贡献而获奖,而许多经济学实验也是从博弈论开始的.
博弈论的研究近些年来如此火热,主要原因还在于经济实践发展和与之相适应的经济理论发展的需要.近些年来,经济全球化深入发展,生产规模扩大,垄断势力增强,人们要谈判,讨价还价,进行交易,所有这一切都建立在个人理性的基础上,建立在竞争的基础之上.随着这种竞争和冲突的日益加剧,各种策略和利益的对抗、依存和制约的持续发展,使博弈论(主要是非合作博弈)的研究达到了全盛时期,由它的概念、内容、思想和方法出发,已经并将继续几乎全面地改写经济学,也并将得到更加广泛的应用.
博弈论与经济学的关系极为密切,这是可以理解的,但是博弈论与非线性分析的关系又如何呢?
二者也是非常密切的.
首先,VonNeumann在[1]中的“技术说明”中就指出:
“很难说当代数学中的哪一分支学科及其哪一部分是必需的.不过,要想比较透彻地了解本书所分析的问题,读者必须超越传统的数学推理方式,这些推理主要是数理逻辑、集合论和泛函分析的推理”.
在[1]中,VonNeumann是用凸集分离定理来证明矩阵博弈平衡点的存在性的,而在[4]中,他用的是以下引理:
VonNeumann引理
设是两个非空有界闭凸集,是两个非空闭集.如果
1)是非空闭凸集2)是非空闭凸集,
则.
[4]J.VonNeumann,ErgebnisseeinesMathenmatischenKolloquiums,8(1935-1936),73-83.
在[2]和[3]中,Nash是分别应用以下Brouwer不动点定理和Kakutani不动点定理来证明人有限非合作博弈平衡点的存在性的.
Brouwer不动点定理
设是非空有界闭凸集,映射连续,则,使.
Kakutani不动点定理
设是非空有界闭凸集,集值映射上半连续,且,是中的非空闭凸集,则,使.
我们知道,Kakutani不动点定理是应用Brouwer不动点定理来证明的,而它也是Brouwer不动点定理的推广,见[5];而Kakutani不动点定理与VonNeumann引理是等价的,见[6].
[5]J.Franklin,MethodsofMathematicalEconomics,1980(有中译本,俞建,顾悦译,1985).
[6]K.C.Border,FixedPointTheoremswithApplicationsandGameTheory,1985.
这样,无论是VonNeumann还是Nash,两位大师对博弈论研究的奠基之作就与凸分析、集值映射、不动点定理,与非线性分析紧密联系在一起了.
(二)
VonNeumann的矩阵博弈的概念很快就被推广到以下二人零和博弈:
设和分别是局中人1和局中人2的策略集,当局中人1选择策略,局中人2选择策略,则局中人1从局中人2获得的支付为(此时局中人2从局中人1获得的支付为,支付和为零,故称为二人零和博弈).如果存在,,使
则称为此二人零和博弈的平衡点,此时,有,即是在中的鞍点.
Nash的人非合作有限博弈的概念很快就被推广到以下人非合作博弈:
设是局中人的集合,,是第个局中人的策略集,是第个局中人的支付函数.,记.如果存在,使,有
则称为此博弈的Nash平衡点.
如果,则此博弈的Nash平衡点即为在中的鞍点.
1)平衡点与不动点的关系:
定义集值映射如下:
.
定义集值映射如下:
.
则是以上博弈的Nash平衡点当且仅当是集值映射的不动点.
2)Nash平衡点与KyFan点的关系:
KyFan点的概念是由我们[7]引入的:
设函数,如果,使,有,则称为函数的KyFan点.注意到[8]引入了平衡问题的概念:
如果,使,有,则称为平衡问题的解.无论是[7]还是[8],都是建立在非线性分析中著名的KyFan不等式的基础之上的[9].
[7]K.K.Tan,J.Yu,X.Z.Yuan,Proc.Amer.Math.Soc,123(1995),1511-1519.
[8]E.Blum,W.Oettli,Math.Student,63(1994),123-145.
[9]KyFan,inInequalityⅢ(O.ShishaEds),1972,103-113.
定义函数如下:
.
则是以上博弈的Nash平衡点当且仅当是函数的KyFan点.
以上人非合作博弈的概念很快又被推广到以下的广义博弈:
设,是第个局中人的可行策略映射.如果存在,使,有,且
则称为此广义博弈的平衡点.
如果,则此广义博弈的平衡点即为人非合作博弈Nash平衡点.
1)平衡点与不动点的关系:
定义集值映射如下:
.
定义集值映射如下:
.
则是以上广义博弈的平衡点当且仅当是集值映射的不动点.
2)平衡点与拟变分不等式(QVI)解的关系:
定义函数如下:
.
定义集值映射如下:
.
则是以上广义博弈的平衡点当且仅当是拟变分不等式的解(即,且,有).
1954年,Arrow和Debreu[10]正是应用广义博弈平衡点的存在性证明了数理经济学中一般均衡的存在性,Arrow和Debreu也主要是因为这项杰出的工作而分别在1972年和1983年获得Nobel经济奖.更加详尽的研究见[11].
[10]K.J.Arrow,G.Debreu,Econometrica,22(1954),165-290.
[11]A.Mas-Colell,M.D.Whinston,J.R.Green,MicroeconomicTheoy,1995(有中译本,刘文忻,李绍荣主译2001).
以下是著名的Fan-Glicksberg不动点定理,Fan-Browder不动点定理和KyFan不等式:
(1)Fan-Glicksberg不动点定理
设是Hausdorff局部凸空间中的非空凸紧集,集值映射是上半连续的,且,是中的非空凸紧集,则,使.
(2)Fan-Browder不动点定理
设是Hausdorff线性拓扑空间中的非空凸紧集,集值映射满足
1),是中的非空凸集,
2),是中的开集,
则,使.
(3)KyFan不等式
设是Hausdorff线性拓扑空间中的非空凸紧集,满足
1),在上是下半连续的,
2),在上是拟凹的,
3),,
则,使,有.
应用以上三个结果,可以证明以下二人零和博弈平衡点存在性定理,人非合作博弈Nash平衡点存在性定理和广义博弈的平衡点存在性定理.
(1)二人零和博弈鞍点存在性定理
设和分别是Hausdorff线性拓扑空间和中的非空凸紧集,满足
1),是下半连续和拟凸的,
2),是上半连续和拟凹的,
则,使,有
.
(2)人非合作博弈Nash平衡点存在性定理
设是局中人的集合,,设是Hausdorff线性拓扑空间中的非空凸紧集,连续,且,在上是拟凹的,则,使,有
.
(3)广义博弈的平衡点存在性定理
设是局中人的集合,,设是Hausdorff局部凸空间中的非空凸紧集,连续,且,在上是拟凹的,集值映射连续,且,是中的非
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