冀教版初中数学九年级知识点Word格式.docx

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当数据分布比较集中时，方差较小.因此，方差的大小反映了数据波动（或离散程度）的大小.

极差：

4、用样本估计总体

在考察总体的平均水平或方差时，往往都是通过抽取样本，用样本的平均水平或方差近似估

第二十四章一元二次方程

1、定义

等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。

一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）。

其中ax2是二次项，a是二次项系数；

bx是一次项，b是一次项系数；

c是常数项。

2、一元二次方程的解法

直接开方法、配方法、公式法、因式分解法。

（1）直接开方法。

适用形式：

x2=p、（x+n）2=p或（mx+n）2=p。

（2）配方法。

套用公式a2+2ab+b2=（a+b）2；

a2-2ab+b2=（a-b）2，配方法解一元二次方程的一般步骤是：

①化简——把方程化为一般形式，并把二次项系数化为1；

②移项——把常数项移项到等号的右边；

③配方——两边同时加上一次项系数的一半的平方，把左边配成x2+2bx+b2的形式，并写成完全平方的形式；

④开方，即降次；

⑤解一次方程。

（3）公式法。

当b2-4ac≥0时，方程ax2+bx+c=0的实数根可写为：

的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式。

这种解一元二次方程的方法叫做公式法。

①b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根。

，

②b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根。

③b2-4ac＜0时，方程无实数根。

定义：

b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式，通常用字母Δ表示，即Δ=b2-4ac。

（4）因式分解法。

主要用提公因式法、平方差公式、十字相乘法。

3、一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）

如果一元二次方程ax2+bx+c=0的两根分别是，那么

4、一元二次方程与实际问题

解有关一元二次方程的实际问题的一般步骤：

第1步：

审题。

认真读题，分析题中各个量之间的关系。

第2步：

设未知数。

根据题意及各个量的关系设未知数。

第3步：

列方程。

根据题中各个量的关系列出方程。

第4步：

解方程。

根据方程的类型采用相应的解法。

第5步：

检验。

检验所求得的根是否满足题意。

第6步：

答。

5、类型如：

增长率（降低率）问题

病毒传染问题

单循环问题（握手问题）

双循环问题（互送礼物问题）

利润问题（每每问题）

几何图形面积问题（围篱笆问题）

第二十五章图形的相似

1、比例线段的相关概念

如果选用同一长度单位量得两条线段a，b的长度分别为m，n，那么就说这两条线段的比是，或写成a：

b=m：

n

在两条线段的比a：

b中，a叫做比的前项，b叫做比的后项。

在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段

若四条线段a，b，c，d满足或a：

b=c：

d，那么我们就把这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。

此时也称这四条线段成比例。

a，b，c，d叫做组成比例的项，线段a，d叫做比例外项，线段b，c叫做比例内项，线段的d叫做a，b，c的第四比例项。

如果作为比例内项的是两条相同的线段，即或a：

b=b：

c，那么线段b叫做线段a，c的比例中项。

2、比例的性质

（1）基本性质

①a：

dad=bc

②a：

c

（2）更比性质（交换比例的内项或外项）

（交换内项）

（交换外项）

（同时交换内项和外项）

（3）反比性质（交换比的前项、后项）：

（4）合比性质：

（5）等比性质：

3、黄金分割

把线段AB分成两条线段AC，BC（AC>

BC），并且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC=AB0.618AB

4、平行线分线段成比例

基本事实：

两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段成比例。

推论：

（1）平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。

（2）平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形与原三角形的对应边成比例。

5、相似多边形

定义1：

形状相同的图形叫做相似图形。

定义2：

两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。

相似多边形对应边的比叫做相似比。

性质：

相似多边形的对应角相等，对应边成比例。

6、相似三角形的判定

对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。

相似三角形对应边的比叫做它们的相似比。

判定1：

平行于三角形一边的直线和其他两边（或它们的延长线）相交，所截得的三角形与原三角形相似。

（“∥”）

判定2：

两角对应相等的两个三角形相似。

（“AA”）

判定3：

两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。

（“SAS”）

判定4：

三条边对应成比例的两个三角形相似。

（“SSS”）

判定5：

直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似。

（“HL”）

7、相似三角形的性质

相似三角形的对应角相等，对应边成比例；

相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比；

相似三角形周长的比等于相似比；

相似三角形面积的比等于相似比的平方。

8、相似三角形模型

模型一：

A、8模型

已知：

，结论

模型二：

共边共角型

结论：

模型三：

一线三角型

模型四：

相似与旋转

模型五：

垂直相似

如图，在Rt三角形ABC中，∠C=90°

，CD为斜边AB上的高

结论：

9、位似图形

如果两个图形不仅相似，而且经过每对对应顶点的直线交于一点，对应边平行（或在同一条直线上），那么这样的两个图形叫做位似图形，对应顶点所在直线的交点叫做位似中心。

这时的相似比又叫位似比。

每一组对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比都等于位似比。

由一个图形得到它的位似图形的变换叫做位似变换。

利用位似变换可以把一个图形放大或缩小。

第二十六章解直角三角形

1、锐角三角函数

1.在直角三角形中，一个锐角的对边与斜边的比叫做这个锐角的正弦.锐角A的正弦记作__sinA_.

2.在直角三角形中，一个锐角的邻边与斜边的比叫做这个锐角的余弦.锐角A的余弦记作_cosA_.

3.在直角三角形中，一个锐角的对边与邻边的比叫做这个锐角的正切.锐角A的正切记作__tanA_.

正弦：

余弦：

；

正切：

常见三角函数值：

锐角α

三角函数

30°

45°

60°

1

2、解直角三角形

解直角三角形就是应用勾股定理、两锐角的关系、三角函数等进行求解。

除直角外，还有三条边和两个锐角共5个元素，由这五个元素中的已知元素求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形。

在Rt△ABC中，∠C=90°

，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c

（1）三边之间的关系：

（勾股定理）

（2）锐角之间的关系：

∠A+∠B=90°

（3）边角之间的关系：

3．解直角三角形的类型

已知条件

解　法

两直角边

（如a，b）

由tanA＝，求∠A；

∠B＝90°

－∠A；

c＝

斜边、一直角边（如c，a）

由sinA＝，求∠A；

b＝

一锐角与邻边（如∠A，b）

a＝b·

tanA；

一锐角与对边（如∠A，a）

b＝；

c＝

斜边与一锐角（如c，∠A）

a＝c·

sinA；

b＝c·

cosA

4、锐角三角函数的实际应用

1．日常生活中的很多问题可以转化为直角三角形的问题，因此，锐角三角函数在解决实际问题中有较大的作用，在应用时要注意以下几个环节：

（1）审题，认真分析题意，将已知量和未知量弄清楚，找清已知条件中各量之间的关系，根据题目中的已知条件，画出它的平面图或截面示意图．

（2）明确题目中的一些名词、术语的含义，如仰角、俯角、坡角、坡度、方位角等．

（3）是直角三角形的，根据边角关系进行计算；

若不是直角三角形，应大胆尝试添加辅助线，把它们分割成一些直角三角形或矩形，把实际问题转化为直角三角形进行解决．

（4）确定合适的边角关系，细心推理计算．

（5）在解题过程中，既要注意解有关的直角三角形，也应注意到有关线段的增减情况．

5、锐角三角函数实际应用中的相关概念

（1）仰角、俯角

如图①，在测量时，视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角．

（2）坡度（坡比）、坡角

如图②，坡面的垂直高度h和水平宽度l的比叫坡面的坡度（或坡比），即i＝tanα＝，坡面与水平面的夹角α叫坡角．

（3）方向角

指南或指北的方向线与目标方向线所成的小于90°

的水平角，叫做方向角．如图③，OA是表示北偏东60°

方向的一条射线．

注意：

东北方向指北偏东45°

方向，东南方向指南偏东45°

方向，西北方向指北偏西45°

方向，西南方向指南偏西45°

方向．我们一般画图的方位为上北下南，左西右东。

（4）方位角

从指北方向线按顺时针方向转到目标方向线所成的角叫做方位角.

6、三角函数常见模型

图1图2

如图1是基本图形，若B、C、D在同一直线上，且∠ABC等于90°

，∠ACB=α，∠ADB=β，CD=a，AB=x，则有x=BD·

tanβ，x=CB·

tanα，∴，

变式为图2，则结论为

第二十七章反比例函数

一般的，形如（k是常数，k≠0）的函数叫做反比例函数。

其它表示形式：

或。

因为x≠0，k≠0，相应地y值也不能为0，所以反比例函数的图象无限接近x轴和y轴，但与x轴、y轴永不相交．

2、反比例函数的图象及其性质

反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象总是关于原点成中心对称的，它的位置和性质受k的符号的影响.

y＝

（k为常数，k≠0）

k>

k<

图　象

所在象限

一、三（x，y同号）

二、四（x，y异号）

性　质

在每个象限内，y随x的增大而减小

在每个象限内，y随x的增大而增大

3、反比例函数的k的几何意义

由y＝（k≠0）的图象上任意一点向两坐标轴作垂线，两垂线与坐标轴围成的矩形的面积为|k|.

如图①和②，S矩形PAOB