高中数学知识点汇总.docx
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高中数学知识点汇总.docx
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高中数学知识点汇总
第一章:
集合与常用逻辑用语
1、集合中的元素具有确定性、互异性、无序性;
2、常用数集及其记法:
表示自然数集,或表示正整数集,表示整数集,表示有理数集,表示实数集;
3、集合的表示法:
自然语言法(用文字叙述的形式来描述集合)、列举法(把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合)、描述法(,其中为集合的代表元素)、图示法(用数轴或者韦恩图来表示集合);
4、集合的分类:
含有限个元素的集合叫做有限集、含无限个元素的集合叫做无限集、不含任何元素的集合叫做空集;
5、集合与元素之间的关系:
属于和不属于;
6、集合与集合之间的关系:
集合与集合,若是的子集,则含于()或者包含于()若是的真子集,则真含于()或者真包含于()若与相等,则;
7、空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集;
8、已知集合中有个元素,则它有个子集,有个真子集,有个非空子集,有个非空真子集;
9、集合间的基本运算:
交集,记做,即,并集,记做,即补集,记做,即;
10、命题:
用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句;
真命题:
判断为真的语句;假命题:
判断为假的语句;
11、“若,则”形式的命题中的称为命题的条件,称为命题的结论;
12、原命题:
“若,则”,逆命题:
“若,则”,
否命题:
“若,则”,逆否命题:
“若﹁,则”;
13、常用的正面叙述词语和它的否定词语
正面词语
等于
(=)
小于
()
大于
()
是
都是
任意的
所有的
至多有一个
至少有一个
否定词语
不等于
()
不小于
不大于
不是
不都是
某个
某些
至少有两个
一个也没有
14、充分条件与必要条件:
若,则是的充分条件;若,则是的必要条件;
若且,则是的充要条件;
若且,则是的充分不必要条件;
若且,则是的必要不充分条件;
若且,则是的既不充分也不必要条件;
15、若原命题为真,它的逆命题否命题不一定为真,但它的逆否命题一定为真,即互为逆否命题的两个命题一定为真;
16、中有一命题为真时,或命题为真,全为假时,或命题为假;、中有一命题为假时,且命题为假,、全为真时,且命题才为真;
17、全称量词“”与存在量词“”
命题
命题的否定
第二章:
函数的概念与基本初等函数
1、函数的三要素:
定义域、值域、对应关系;相等函数:
如果两个函数的定义域相同,并且对应关系一致,则这两个函数相等;
2、函数的性质:
单调性:
如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量,当时都有,那么函数在区间上是增函数;如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量,当时都有,那么函数在区间上是增函数;
最值:
一般地,设函数的定义域为,如果存在实数满足:
对于任意的,都有;存在,使得
那么,我们称是函数的最大(小)值;
奇偶性:
设函数的定义域为,如果对于任意的,都有且,那么函数是奇函数;如果对于任意的,都有且,那么函数是偶函数;
3、指数与指数幂的运算
根式:
式子叫做根式,这里叫做根指数,叫做被开方数
分数指数幂:
)
(0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义)
分数指数幂的运算性质
;
;
指数函数
函数名称
指数函数
定义
函数且叫做指数函数
图象
定义域
值域
过定点
图象过定点,即当时,.
奇偶性
非奇非偶
单调性
在上是增函数
在上是减函数
变化对图象的影响
在第一象限内,越大图象越高;在第二象限内,越大图象越低.
3、对数与对数运算
对数的定义
若,则叫做以为底的对数,记作,其中叫做底数,叫做真数;
负数和零没有对数;
对数式与指数式的互化:
常用对数:
,即;自然对数:
,即(其中…).
对数的运算
,,;加法:
;
减法:
;数乘:
;
;;
换底公式:
对数函数
函数
名称
对数函数
定义
函数且叫做对数函数
图象
定义域
值域
过定点
图象过定点,即当时,.
奇偶性
非奇非偶
单调性
在上是增函数
在上是减函数
4、函数的零点:
对于函数,把使成立的实数叫做函数的零点;方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点。
第三章:
导数及其应用
1、几种常见函数的导数
原函数
导数
定积分
导数的四则运算法则:
;
;;
2、在某个区间内,若,则函数在这个区间内单调递增;
若,则函数在这个区间内单调递减;
3、求函数的极值的方法是:
解方程.当时:
如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值;
如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值.
4、求函数在上的最大值与最小值的步骤是:
求函数在内的极值;
将函数的各极值与端点处的函数值,比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.
第四章:
三角函数及三角恒等变换
1、特殊角的三角函数值
角的弧度数
不存在
不存在
不存在
不存在
2、
第一象限
第二象限
第三象限
第四象限
3、若扇形的圆心角为,半径为,弧长为,周长为,面积为,则,,.,,
4、三角函数的基本关系:
;
5、函数的诱导公式:
,,.
,,.
,,.
,,
,.
,
(口诀:
奇变偶不变,符号看象限)
6、正弦函数、余弦函数和正切函数的图像与性质:
性质函数
图像
定义域
值域
最值
当时,;
当时,
.
当时,;
当时,
.
既无最大值也无最小值
周期性
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
单调性
在上是增函数在上是减函数
在上是增函数,在
上是减函数,
在上是增函数
对称中心
对称轴
无对称轴
7、两角的和与差公式
;
8、正弦定理:
9、余弦定理:
10、三角形面积公式:
第五章:
平面向量
1、向量:
既有大小,又有方向的量;数量:
只有大小,没有方向的量;
有向线段的三要素:
起点、方向、长度;
零向量:
长度为的向量;
单位向量:
长度等于个单位的向量;
平行向量(共线向量):
方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行;
相等向量:
长度相等且方向相同的向量;
2、坐标运算:
设,,则;
设,,则.
设、两点的坐标分别为,,则
3、设,,其中,则当且仅当时,向量、共线;若;
4、平面向量的数量积
,零向量与任一向量的数量积都为0
设和都是非零向量,则;当与同向时,;当与反向时,;或
设两个非零向量,,则.
若,则,或
设、都是非零向量,,,是与的夹角,则.
第六章:
数列
1、
名称
等差数列
等比数列
定义
从第二项起,每一项都与它的前一项的差等于同一个常数的数列叫做等差数列,这个常数叫做公差,记为
从第二项起,每一项都与它的前一项的比等于同一个常数的数列叫做等比数列,这个常数叫做公比,记为
通项公式
中项
前n项和公式
性质
若,则;
成等差数列
若,则;
成等比数列
2、数列的前n项和及其通项的关系:
第七章:
不等式
1、倒数性质
2、分数性质
若,则
真分数性质:
;
假分数性质:
;
3、几个重要的不等式
,
,
,
4、目标函数的线性规划问题。
第八章:
立体几何
1、
几何体
侧面积
表面积
体积
圆柱
圆锥
圆台
棱柱
棱锥
棱台
球
2、直线与平面平行的判定和性质
2、平面与平面平行的判定与性质
3、线面垂直的判定与性质
5、面面垂直的判定与性质
第九章:
直线与圆的方程
1、已知两点,则斜率.
2、已知一点,一条直线为,则点到直线的距离为:
3、已知两直线,若两直线平行,则它们的斜率,两平行直线之间的距离为,若两直线垂直,则他们的斜率。
4、点与圆的关系的判断方法:
若,点在圆外;若,点在圆上;若,点在圆内。
5、直线与圆的位置关系的判断
若圆心到直线的距离大于半径,直线与圆相离;若圆心到直线的距离等于半径,直线与圆相切;若圆心到直线的距离小于半径,直线与圆相交。
6、圆与圆的位置关系的判断
设圆1的半径为,圆2的半径为,两圆心之间的距离为
当时,两圆相离;当时,两圆外切;
当时,两圆相交;当时,两圆内切;
当时,两圆内含。
第十章:
圆锥曲线
1、椭圆的定义:
平面内与两个定点,的距离之和等于常数(大于)的点的轨迹称为椭圆.即:
。
这两个定点称为椭圆的焦点,两焦点的距离称为椭圆的焦距.
2、椭圆的几何性质
焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图像
标准方程
范围
且
且
顶点
、
、
、
、
轴长
短轴的长长轴的长
焦点
、
、
焦距
对称性
关于轴、轴、原点对称
离心率
3、双曲线的定义:
平面内与两个定点,的距离之差的绝对值等于常数(小于)的点的轨迹称为双曲线.即:
。
这两个定点称为双曲线的焦点,两焦点的距离称为双曲线的焦距.
4、双曲线的几何性质
焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图像
标准方程
范围
或,
或,
顶点
、
、
轴长
虚轴的长实轴的长
焦点
、
、
焦距
对称性
关于轴、轴对称,关于原点中心对称
离心率
渐近线方程
5、抛物线的定义:
平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹称为抛物线.定点称为抛物线的焦点,定直线称为抛物线的准线.
6、抛物线的几何性质
标准方程
图像
顶点
(0,0)
对称轴
X轴
Y轴
焦点
准线方程
离心率
范围
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