列主元高斯消去法和列主元三角分解法解线性方程Word文件下载.docx
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所以在实际的运算中,矩阵L和U可以直接计算出,而不需要任何中间步骤,从而在计算过程中将高斯消去法的步骤进行了进一步的简略,大大提高了运算速度,这就是三角分解法
采用选主元的方式与列主元高斯消去法一样,也是为了避免除数过小,从而保证了计算的精确度
【计算公式】
1、列主元高斯消去法
设有线性方程组Ax=b,其中设A为非奇异矩阵。
方程组的增广矩阵为
第1步(k=1):
首先在A的第一列中选取绝对值最大的元素,作为第一步的主元素:
然后交换(A,b)的第1行与第l行元素,再进行消元计算。
设列主元素消去法已经完成第1步到第k-1步的按列选主元,交换两行,消元计算得到与原方程组等价的方程组A(k)x=b(k)
第k步计算如下:
对于k=1,2,…,n-1
(1)按列选主元:
即确定t使
(2)如果t≠k,则交换[A,b]第t行与第k行元素。
(3)消元计算
消元乘数mik满足:
(4)回代求解
2、列主元三角分解法
对方程组的增广矩阵经过k-1步分解后,可变成如下形式:
第k步分解,为了避免用绝对值很小的数作除数,引进量
,于是有=。
如果,则将矩阵的第t行与第k行元素互换,将(i,j)位置的新元素仍记为或,然后再做第k步分解,这时
【列主元高斯消去法程序流程图】
【列主元高斯消去法Matlab主程序】
functionx=gauss1(A,b,c)%列主元法高斯消去法解线性方程Ax=b
if(length(A)~=length(b))%判断输入的方程组是否有误
disp('
输入方程有误!
'
)
return;
end
disp('
原方程为AX=b:
)%显示方程组
A
b
------------------------'
n=length(A);
fork=1:
n-1%找列主元
[p,q]=max(abs(A(k:
n,k)));
%找出第k列中的最大值,其下标为[p,q]
q=q+k-1;
%q在A(k:
n,k)中的行号转换为在A中的行号
ifabs(p)<
c
列元素太小,det(A)≈0'
);
break;
elseifq>
k
temp1=A(k,:
%列主元所在行不是当前行,将当前行与列主
A(k,:
)=A(q,:
元所在行交换(包括b)
A(q,:
)=temp1;
temp2=b(k,:
b(k,:
)=b(q,:
b(q,:
)=temp2;
%消元
fori=k+1:
n
m(i,k)=A(i,k)/A(k,k);
%A(k,k)将A(i,k)消为0所乘系数
A(i,k:
n)=A(i,k:
n)-m(i,k)*A(k,k:
n);
%第i行消元处理
b(i)=b(i)-m(i,k)*b(k);
%b消元处理
end
消元后所得到的上三角阵是'
)
A%显示消元后的系数矩阵
b(n)=b(n)/A(n,n);
%回代求解
fori=n-1:
-1:
1
b(i)=(b(i)-sum(A(i,i+1:
n)*b(i+1:
n)))/A(i,i);
clearx;
AX=b的解x是'
x=b;
【调用函数解题】
【列主元三角分解法Matlab主程序】
clear;
augm=input('
Pleaseinputtheaugumentalmatric:
[n,t]=size(augm);
fori=1:
n%d控制列三角主元的层数
b=augm(i,:
p=i;
%4到10行是选列主元并交换
forw=i+1:
ifb(1,1)<
=augm(w,i)
b=augm(w,:
p=w;
c=augm(i,:
augm(i,:
)=b;
augm(p,:
)=c;
ifp~=i%只有发生了换行才将这种效果输出
augm,
forj=i:
t%首先变换与augm(i,i)同一行的元素,其列指标从i到t
s=0;
fork=1:
i-1
s=s+augm(i,k)*augm(k,j);
augm(i,j)=(augm(i,j)-s);
forI=i+1:
n
%再变换与augm(i,i)同一列的元素,其行指标I从i+1到n,列数为i
i-1%下三角部分列数与第i层一致
s=s+augm(I,k)*augm(k,i);
augm(I,i)=(augm(I,i)-s)/augm(i,i);
x(n)=augm(n,t)/augm(n,n);
%回代
forj=n:
i+1
s=s+x(j)*augm(i,j);
x(i)=(augm(i,t)-s)/augm(i,i),
输入[Ab]
可以清晰地看到augm(A)的变化过程:
结果输出:
【列主元三角分解法程序流程图】
【编程疑难】
这是第一次用matlab编程,对matlab的语句还不是非常熟悉,因此在编程过程中,出现了许多错误提示。
并且此次编程的两种方法对矩阵的运算也比较复杂。
问题主要集中在循环控制中,循环次数多了一次或者缺少了一次,导致数据错误,一些基本的编程语句在语法上也会由于生疏而产生许多问题,但是语句的错误由于系统会提示,比较容易进行修改,数据计算过程中的一些逻辑错误,比如循环变量的控制,这些系统不会提示错误,需要我们细心去发现错误,不断修正,调试。
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