数列习题课一文档格式.docx
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答案 an=
梳理 当已知Sn或已知Sn与an的关系式,可以借助上式求出通项公式,或者得到递推公式,再由递推公式求得通项公式.在应用上式时,不要忘记对n讨论.
1.数列可由其前四项完全确定.(×
)
2.可以在公式许可的范围内根据需要对递推公式中的n任意赋值.(√)
3.{Sn}也是一个数列.(√)
类型一 通过数列前若干项归纳出数列的一个通项公式
例1 由数列的前n项,写出通项公式:
(1)3,5,3,5,3,5,…
(2),,,,,…
(3)2,,,,,…
(4),,,,,…
考点 数列的通项公式
题点 根据数列的前几项写出通项公式
解
(1)这个数列前6项构成一个摆动数列,奇数项为3,偶数项为5.所以它的一个通项公式为an=4+(-1)n.
(2)数列中的项以分数形式出现,分子为项数,分母比分子大1,所以它的一个通项公式为an=.
(3)数列可化为1+1,2+,3+,4+,5+,…,
所以它的一个通项公式为an=n+.
(4)数列可化为,,,,,…,
所以它的一个通项公式为an=.
反思与感悟 这类数列通常是由基本数列如等差数列、等比数列通过加减乘除运算得到,故解决这类问题可以根据所给数列的特点(递增及增长速度、递减及递减速度、是否摆动数列)联想基本数列,再考察它与基本数列的关系.
跟踪训练1 由数列的前几项,写出通项公式:
(1)1,-7,13,-19,25,…
(3)1,-,,-,…
解
(1)数列每一项的绝对值构成一个以1为首项,6为公差的等差数列,且奇数项为正,偶数项为负,所以它的一个通项公式为an=(-1)n+1(6n-5).
(2)数列化为,,,,,…,分子,分母分别构成等差数列,所以它的一个通项公式为an=.
(3)数列化为,-,,-,…,
所以数列的一个通项公式为an=(-1)n+1.
类型二 利用递推公式求通项公式
例2
(1)数列{an}满足a1=1,对任意的n∈N*都有an+1=a1+an+n,求通项公式;
(2)已知数列{an}满足a1=,an+1=an,求an.
考点 递推数列通项公式求法
题点 一阶线性递推数列
解
(1)∵an+1=an+n+1,∴an+1-an=n+1,
即a2-a1=2,a3-a2=3,…,an-an-1=n,等式两边同时相加得an-a1=2+3+4+…+n,
即an=a1+2+3+4+…+n=1+2+3+4+…+n=.
(2)由条件知=,分别令n=1,2,3,…,n-1,
代入上式得(n-1)个等式累乘之,
即·
·
…=×
×
…×
,
∴=,又∵a1=,∴an=.
反思与感悟 型如an+1=an+f(n)的递推公式求通项可以使用累加法,步骤如下:
第一步 将递推公式写成an+1-an=f(n);
第二步 依次写出an-an-1,…,a2-a1,并将它们累加起来;
第三步 得到an-a1的值,解出an;
第四步 检验a1是否满足所求通项公式,若成立,则合并;
若不成立,则写出分段形式.累乘法类似.
跟踪训练2
(1)已知数列{an}中,a1=1,an+1=2nan(n∈N*),则数列{an}的通项公式为( )
A.an=2n-1B.an=2n
C.D.
答案 C
解析 由an+1=2nan,得=2n,即·
…=21×
22×
23×
2n-1,即=21+2+3+…+(n-1)=,故an=a1=.故选C.
(2)在数列{an}中,a1=1,an-an-1=n-1(n=2,3,4…),求{an}的通项公式.
题点 an+1=pan+f(n)型
解 ∵当n=1时,a1=1,
当n≥2时,这n-1个等式累加得,
an-a1=1+2+…+(n-1)=,
故an=+a1=且a1=1也满足该式,
∴an=(n∈N*).
例3 已知数列{an}中,a1=1,an+1=2an+3,求an.
解 递推公式an+1=2an+3可以转化为an+1-t=2(an-t),即an+1=2an-t,则t=-3.
故递推公式为an+1+3=2(an+3).
令bn=an+3,则b1=a1+3=4,且==2.
所以{bn}是以4为首项,2为公比的等比数列.
所以bn=4×
2n-1=2n+1,即an=2n+1-3.
反思与感悟 型如an+1=pan+q(其中p,q为常数,且pq(p-1)≠0)可用待定系数法求得通项公式,步骤如下:
第一步 假设将递推公式改写为an+1+t=p(an+t);
第二步 由待定系数法,解得t=;
第三步 写出数列的通项公式;
第四步 写出数列{an}通项公式.
跟踪训练3 已知数列{an}满足an+1=2an+3×
5n,a1=6,求数列{an}的通项公式.
解 设an+1+x×
5n+1=2(an+x×
5n),①
将an+1=2an+3×
5n代入①式,得2an+3×
5n+x×
5n+1=2an+2x×
5n,等式两边消去2an,得3×
5n+1=2x×
5n,两边除以5n,得3+5x=2x,则x=-1,代入①式得an+1-5n+1=2(an-5n).②
由a1-51=6-5=1≠0及②式得an-5n≠0,则=2,则数列{an-5n}是以1为首项,2为公比的等比数列,则an-5n=2n-1,故an=2n-1+5n.
类型三 利用前n项和Sn与an的关系求通项公式
例4 已知数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=2an-4,n∈N*,则an等于( )
A.2n+1B.2nC.2n-1D.2n-2
考点 an与Sn关系
题点 由Sn与an递推式求通项
答案 A
解析 因为Sn=2an-4,所以Sn-1=2an-1-4,两式相减可得Sn-Sn-1=2an-2an-1,即an=2an-2an-1,整理得an=2an-1,即=2,因为S1=a1=2a1-4,即a1=4,所以数列{an}是首项为4,公比为2的等比数列,则an=4×
2n-1=2n+1,故选A.
反思与感悟 已知Sn=f(an)或Sn=f(n)解题步骤:
第一步 利用Sn满足条件p,写出当n≥2时,Sn-1的表达式;
第二步 利用an=Sn-Sn-1(n≥2),求出an或者转化为an的递推公式的形式;
第三步 若求出n≥2时的{an}的通项公式,则根据a1=S1求出a1,并代入{an}的通项公式进行验证,若成立,则合并;
若不成立,则写出分段形式.如果求出的是{an}的递推公式,则问题化归为类型二.
跟踪训练4 在数列{an}中,a1=1,a1+2a2+3a3+…+nan=an+1(n∈N*),求数列{an}的通项an.
解 由a1+2a2+3a3+…+nan=an+1,得
当n≥2时,a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1=an,
两式作差得nan=an+1-an,
得(n+1)an+1=3nan(n≥2),
即数列{nan}从第二项起是公比为3的等比数列,且a1=1,a2=1,于是2a2=2,故当n≥2时,nan=2·
3n-2.
于是an=
1.在数列{an}中,a1=3,an+1=an+,则通项公式an=________.
答案 4-
解析 原递推公式可化为an+1=an+-,
则a2=a1+-,a3=a2+-,
a4=a3+-,…,an-1=an-2+-,an=an-1+-,逐项相加得an=a1+1-,
故an=4-.
2.设数列{an}的前n项和为Sn,若S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*,则a1=________,S5=________.
答案 1 121
解析 a1+a2=4,a2=2a1+1,解得a1=1,a2=3,
再由an+1=2Sn+1,即an=2Sn-1+1(n≥2),得an+1-an=2an,即an+1=3an(n≥2),又a2=3a1,所以an+1=3an(n≥1),S5==121.
3.如果数列{an}的前n项和Sn=2an-1,则此数列的通项公式an=________.
答案 2n-1
解析 当n=1时,S1=2a1-1,∴a1=2a1-1,∴a1=1.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2an-1)-(2an-1-1),
∴an=2an-1,∴{an}是首项为1,公比为2的等比数列,
∴an=2n-1,n∈N*.
4.已知数列{an}的前n项和Sn=1+λan,其中λ≠0.证明{an}是等比数列,并求其通项公式.
解 由题意得a1=S1=1+λa1,故λ≠1,a1=,a1≠0.
由Sn=1+λan,Sn+1=1+λan+1,
得an+1=λan+1-λan,
即an+1(λ-1)=λan.
由a1≠0,λ≠0得an≠0,
所以=.
所以{an}是首项为,公比为的等比数列,
所以an=n-1.
1.不论哪种类型求通项公式,都是以等差数列、等比数列为基础.
2.利用数列前若干项归纳通项公式,对无穷数列来说只能算是一种猜想,是否对所有项都适用还需论证.
3.待定系数法求通项,其本质是猜想所给递推公式可以变形为某种等差数列或等比数列,只是其系数还不知道,一旦求出系数,即意味着猜想成立,从而可以借助等差数列或等比数列求得通项.
4.使用递推公式或前n项和求通项时,要注意n的取值范围.
一、选择题
1.已知数列{an}中,a1=2,an+1=an+2n(n∈N*),则a100的值是( )
A.9900B.9902
C.9904D.11000
答案 B
解析 a100=(a100-a99)+(a99-a98)+…+(a2-a1)+a1
=2(99+98+…+2+1)+2
=2×
+2=9902.
2.已知数列{an}中,a1=1,an+1=,则这个数列的第n项为( )
A.2n-1B.2n+1
C.
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- 数列 习题