最新习题82反常积分的收敛判别法Word格式文档下载.docx

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，其中«

是正常数。

则

当«

收敛时«

也收敛；

发散时«

也发散。

证当«

收敛时，应用反常积分的Cauchy收敛原理，

«

，«

，«

：

。

于是

，

所以«

发散时，应用反常积分的Cauchy收敛原理，

（2）设在«

上有«

，且«

则当«

发散时，«

也发散；

但当«

收敛时，«

可能收敛，也可能发散。

例如«

，则«

显然有

收敛，而对于«

，则当«

时收敛，当«

时

发散。

设在«

可能发散，也可能收敛。

发散，而对于«

时发散，当«

时收敛。

⒉证明Cauchy判别法及其极限形式（定理8.2.3）。

证定理8.2.3（Cauchy判别法）设在«

⑴若«

收敛；

⑵若«

推论（Cauchy判别法的极限形式）设在«

，且

⑵若«

证直接应用定理8.2.2（比较判别法）及其推论（比较判别法的极限形式），将函数«

取为«

⒊讨论下列非负函数反常积分的敛散性：

⑴

;

⑵

⑶

⑷

（«

）.

解

（1）当«

时，

～«

所以积分«

收敛。

（2）当«

（3）因为当«

时有

而积分«

发散，所以积分«

（4）当«

所以在«

时，积分«

收敛，在其余情况下积分

⒋证明：

对非负函数«

收敛与«

收敛是等价的。

证显然，由«

收敛可推出«

收敛，现证明当«

时可由«

收敛推出«

由于«

收敛，可知极限

存在而且有限，由Cauchy收敛原理，

于是«

与«

，成立

与«

这说明积分«

都收敛，所以积分«

⒌讨论下列反常积分的敛散性（包括绝对收敛、条件收敛和发散，下同）：

）;

⑸

（«

分别是«

次多项式，

在«

范围无零点。

）

解

（1）因为«

有界，«

单调，且«

，由Dirichlet判别法，积分«

«

，而积分

发散，«

收敛，所以积分«

发散，即积分«

条件收敛。

，而«

收敛，所以当«

时积分

绝对收敛；

时，因为«

但因为当«

时积分«

发散，所以当«

（3）当«

（4）令«

，由于«

条件收敛，可知积分«

（5）当«

且«

充分大时，有«

，可知当«

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