全等三角形证明经典及答案.docx
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全等三角形证明经典及答案
中考数学专练三角形的专题
1.已知:
AB=4,AC=2,D是BC中点,AD是整数,求AD
B
D
1.已知:
D是AB中点,∠ACB=90°,求证:
CD
1AB2
2.已知:
BC=DE,∠B=∠E,∠C=∠D,F是CD中点,求证:
∠1=∠2
3.已知:
∠1=∠2,CD=DE,EF//AB,求证:
EF=AC
4.已知:
AD平分∠BAC,AC=AB+BD,求证:
∠B=2∠C
B
5.已知:
AC平分∠BAD,CE⊥AB,∠B+∠D=180°,求证:
AE=AD+BE
6.已知:
AB=4,AC=2,D是BC中点,AD是整数,求AD
B
D
7.已知:
D是AB中点,∠ACB=90°,求证:
CD
1AB2
8.已知:
BC=DE,∠B=∠E,∠C=∠D,F是CD中点,求证:
∠1=∠2
9.已知:
∠1=∠2,CD=DE,EF//AB,求证:
EF=AC
10.已知:
AD平分∠BAC,AC=AB+BD,求证:
∠B=2∠C
B
11.已知:
AC平分∠BAD,CE⊥AB,∠B+∠D=180°,求证:
AE=AD+BE
12.如图,四边形ABCD中,AB∥DC,BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD,且点E在AD上。
求证:
BC=AB+DC。
13.已知:
AB//ED,∠EAB=∠BDE,AF=CD,EF=BC,求证:
∠F=∠C
14.已知:
AB=CD,∠A=∠D,求证:
∠B=∠C
15.P是∠BAC平分线AD上一点,AC>AB,求证:
PC-PB<AC-AB
AD
16.已知∠ABC=3∠C,∠1=∠2,BE⊥AE,求证:
AC-AB=2BE
17.已知,E是AB中点,AF=BD,BD=5,AC=7,求DC
18.(5分)如图,在△ABC中,BD=DC,∠1=∠2,求证:
AD⊥BC.
19.(5分)如图,OM平分∠POQ,MA⊥OP,MB⊥OQ,A、B为垂足,AB交OM于点N.
求证:
∠OAB=∠OBA
20.(5分)如图,已知AD∥BC,∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E,CE的连线
交AP于D.求证:
AD+BC=AB.
P
D
A
21.(6分)如图,△ABC中,AD是∠CAB的平分线,且AB=AC+CD,求证:
∠C=2∠B
A
CD
22.(6分)如图①,E、F分别为线段AC上的两个动点,且DE⊥AC于E,BF⊥AC于F,若AB=CD,AF=CE,BD交AC于点M.
(1)求证:
MB=MD,ME=MF
(2)当E、F两点移动到如图②的位置时,其余条件不变,上述结论能否成立?
若成立请给予证明;若不成立请说明理由.
EB
B
23.(7分)已知:
如图,DC∥AB,且DC=AE,E为AB的中点,
(1)求证:
△AED≌△EBC.
EB24.(7分)如图,△ABC中,∠BAC=90度,AB=AC,BD是∠ABC的平分线,BD的延长
线垂直于过C点的直线于E,直线CE交BA的延长线于F.求证:
BD=2CE.
25、(10分)如图:
DF=CE,AD=BC,∠D=∠C。
求证:
△AED≌△BFC。
26、(10分)如图:
AE、BC交于点M,F点在AM上,BE∥CF,BE=CF。
求证:
AM是△ABC的中线。
B
F
A
(2)观看图前,在不添辅助线的情况下,除△EBC外,请再写出两个与△AED的面积
相等的三角形.(直接写出结果,不要求证明):
A
D
C
F
A
E
D
EF
C
B
A
B
C
E
M
C
27、(10分)如图:
在△ABC中,BA=BC,D是AC的中点。
求证:
BD⊥AC。
B
A
DC
28、(10分)AB=AC,DB=DC,F是AD的延长线上的一点。
求证:
BF=CF
29、(12分)如图:
AB=CD,AE=DF,CE=FB。
求证:
AF=DE。
AB
FBDCA
F
E
CD
30.公园里有一条“Z”字形道路ABCD,如图所示,其中AB∥CD,在AB,CD,BC三段路旁各有一只小石凳E,F,M,且BE=CF,M在BC的中点,试说明三只石凳E,F,M恰好在一条直线上.
31.已知:
点A、F、E、C在同一条直线上,AF=CE,BE∥DF,BE=DF.求证:
△ABE≌△CDF.
32.已知:
如图所示,AB=AD,BC=DC,E、F分别是DC、BC的中点,求证:
AE=AF。
33.如图,在四边形ABCD中,E是AC上的一点,∠1=∠2,∠3=∠4,求证:
∠5=∠6.
34.已知AB∥DE,BC∥EF,D,C在AF上,且AD=CF,求证:
△ABC≌△DEF.
35.已知:
如图,AB=AC,BDAC,CEAB,垂足分别为D、E,BD、CE相交于点F,求证:
BE=CD.
BE
A
A
C
36、如图,在△ABC中,AD为∠BAC的平分线,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F。
求证:
DE=DF.
37.已知:
如图,ACBC于C,DEAC于E,ADAB于A,BC=AE.若AB=5,求AD的长?
38.如图:
AB=AC,ME⊥AB,MF⊥AC,垂足分别为E、F,ME=MF。
求证:
MB=MC
39.如图,给出五个等量关系:
①ADBC②ACBD③CEDE④DC⑤DABCBA.请你以其中两个为条件,另三个中的一个为结论,推出一个正确的结论(只需写出一种情况),并加以证明.已知:
求证:
A
C
B
证明:
40.在△ABC中,ACB90,ACBC,直线MN经过点C,且ADMN于D,BEMN于E.
(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时,求证:
①ADC≌CEB;②DEADBE;
(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时,
(1)中的结论还成立吗?
若成立,请给出证明;若不成立,说明理由.
41.如图所示,已知AE⊥AB,AF⊥AC,AE=AB,AF=AC。
求证:
(1)EC=BF;
(2)EC⊥BF
E
C
42.如图:
BE⊥AC,CF⊥AB,BM=AC,CN=AB。
求证:
(1)AM=AN;
(2)AM⊥AN。
43.如图,已知∠A=∠D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求证:
BC∥EF
44.如图,已知AC∥BD,EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA,CD过点E,则AB与AC+BD相等吗?
请说明理由
45、(10分)如图,已知:
AD是BC上的中线,且DF=DE.求证:
BE∥CF.
46、(10分)已知:
如图,AB=CD,DE⊥AC,BF⊥AC,E,F是垂足,DEBF.求证:
AB∥CD.
CD
A
B
47、(10分)如图,已知∠1=∠2,∠3=∠4,求证:
AB=CD
DA
.34
BC
48、(10分)如图,已知AC⊥AB,DB⊥AB,AC=BE,AE=BD,试猜想线段CE与DE的大小与位置关系,并证明你的结论.
E
49、(10分)如图,已知AB=DC,AC=DB,BE=CE,求证:
AE=DE.
50.如图9所示,△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,AD是BC边上的中线,过C作AD的垂线,交AB于点E,交AD于点F,求证:
∠ADC=∠BDE.
BE
图9
参考答案
12.已知:
AB=4,AC=2,D是BC中点,AD是整数,求ADB
证明:
延长AD到E,使DE=AD,则三角形ADC全等于三角形EBD即BE=AC=2
在三角形ABE中,AB-BE<AE<AB+BE
即:
10-2<2AD<10+2
4<AD<6
又AD是整数,则AD=5
2.如图,在△
ABC中,AB=AC,M为BC的中点,点D、E分别在AB、AC上,且AD=AE.
求证:
MD=ME.D
证明:
(法一)
∵AB=AC,
∴∠B=∠C.
∵M为BC的中点,
∴BM=CM.
∵AB=AC,AD=AE,
∴BD=CE.
在△DBM和△ECM中,
∴BD=CE,∠B=∠C,BM=CM.
∴△DBM≌△ECM.
∴MD=ME.
(法二)
连接AM,(1分)
∵AB=AC,M为BC的中点,
∴AM平分∠BAC,
∴∠BAM=∠CAM.
在△ADM和△AEM中,
∵AD=AE,∠DAM=∠EAM,AM=AM,
∴△ADM≌△AEM.
∴MD=ME.
3.在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于D,BE⊥MN于E.
(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时,求证:
①△ADC≌△CEB;②DE=AD+BE;
(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时,求证:
DE=AD-BE;
(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时,试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系?
请写出这个等量关系,并加以证明.
(1)证明:
∵∠ACB=90°,
∴∠ACD+∠BCE=90°,
而AD⊥MN于D,BE⊥MN于E,
∴∠ADC=∠CEB=90°,∠BCE+∠CBE=90°,
∴∠ACD=∠CBE.
在Rt△ADC和Rt△CEB中,{∠ADC=∠CEB∠ACD=∠CBEAC=CB,∴Rt△ADC≌Rt△CEB(AAS),
∴AD=CE,DC=BE,
∴DE=DC+CE=BE+AD;
(2)证明:
在△ADC和△CEB中,{∠ADC=∠CEB=90°∠ACD=∠CBEAC=CB,∴△ADC≌△CEB(AAS),
∴AD=CE,DC=BE,
∴DE=CE-CD=AD-BE;
(3)DE=BE-AD.证明的方法与
(2)相同.
4.如图所示,已知AE⊥AB,AF⊥AC,AE=AB,AF=AC。
求证:
(1)EC=BF;
(2)EC⊥BF
证明:
(1)∵AE⊥AB,AF⊥AC⇒∠EAB=90°=∠FAC⇒∠EAB+∠BAC=∠FAC+∠BAC
又∵∠EAC=∠EAB+∠BAC,∠BAF=∠FAC+∠BAC
∴∠EAC=∠BAF
在△EAC与△BAF中,AE=AB∠EAC=∠BAFAF=AC}⇒△EAC
≌△BAF∴EC=BFE
(2)∵AE⊥AB
∴∠EAB=90°
∴∠AEB+∠ABE=90°
∴∠AEC+∠CEB+∠ABE=90°
∴∠CEB+∠ABE+∠ABF=90°
(由全等可知∠AEC=∠ABF)
∴∠EMF=90°
∴EC⊥BF
5.如图:
BE⊥AC,CF⊥AB,BM=AC,CN=AB。
求证:
(1)AM=AN;
(2)AM⊥AN。
证明:
(1)
∵BE⊥AC,CF⊥AB
∴∠ABM+∠BAC=90°,∠ACN+∠BAC=90°
∴∠ABM=∠ACN
∵BM=AC,CN=AB
∴△ABM≌△NAC
∴AM=AN
(2)
∵△ABM≌△NAC
∴∠BAM=∠N
∵∠N+∠BAN=90°
∴∠BAM+∠BAN=90°
即∠MAN=90°
∴AM⊥ANC
6.已知:
如图AC∥BD,AE和BE分别平分∠CAB和∠DBA,CD过点E.求证:
(1)A
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