定积分的近似计算Word文档下载推荐.docx
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quad(fun,a,b),注意此处的fun是函数,并且为数值形式的,所以使用*、/、^等运算时要在其前加上小数点,即.*、./、.^等.
例:
Q=quad('
1./(x.^3-2*x-5)'
0,2);
5.trapz():
梯形法求数值积分.
trapz(x,y)
其中x为带有步长的积分区间;
y为数值形式的运算(相当于上面介绍的函数fun)
计算
x=0:
pi/100:
pi;
y=sin(x);
6.dblquad():
抛物线法求二重数值积分.
dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax),fun可以用inline定义,也可以通过某个函数文件的句柄传递.
例1:
Q1=dblquad(inline('
y*sin(x)'
),pi,2*pi,0,pi)
顺便计算下面的Q2,通过计算,比较Q1与Q2结果(或加上手工验算),找出积分变量x、y的上下限的函数代入方法.
Q2=dblquad(inline('
),0,pi,pi,2*pi)
例2:
Q3=dblquad(@integrnd,pi,2*pi,0,pi)
这时必须存在一个函数文件integrnd.m:
functionz=integrnd(x,y)
z=y*sin(x);
7.fprintf(文件地址,格式,写入的变量):
把数据写入指定文件.
x=0:
.1:
1;
y=[x;
exp(x)];
fid=fopen('
exp.txt'
'
w'
);
%打开文件
fprintf(fid,'
%6.2f%12.8f\n'
y);
%写入
fclose(fid)
%关闭文件
8.syms变量1变量2…:
定义变量为符号.
9.sym('
表达式'
):
将表达式定义为符号.
解释:
Matlab中的符号运算事实上是借用了Maple的软件包,所以当在Matlab中要对符号进行运算时,必须先把要用到的变量定义为符号.
10.int(f,v,a,b):
求f关于v积分,积分区间由a到b.
11.subs(f,'
x'
,a):
将a的值赋给符号表达式f中的x,并计算出值.若简单地使用subs(f),则将f的所有符号变量用可能的数值代入,并计算出值。
三、实验内容
一、问题的提出
计算定积分的方法:
(1)求原函数;
(2)利用牛顿-莱布尼茨公式计算结果。
问题:
(1)被积函数的原函数不能用初等函数表示;
(2)被积函数难于用公式表示,而是用图形或表格给出的;
(3)被积函数虽然能用公式表示,但计算其原函数很困难。
解决办法:
建立定积分的近似计算方法。
思路:
在数值上表示曲边梯形的面积,只要近似地算出相应的曲边梯形的面积,就可得到所给定积分的近似值。
常用方法:
矩形法、梯形法、抛物线法.
二、矩形法
用分点a=x0,x1,…xn=b将区间[a,b]n等分,取小区间左端点的函数值yi(i=0,1,2,…,n-1)作为窄矩形的高,如图:
则有:
取小区间右端点的函数值yi(i=1,2,…,n)作为窄矩形的高,如图:
以上两公式称为矩形法公式。
用矩形法求
,并与用牛顿-莱布尼茨公式计算的结果进行比较。
程序如下:
#include<
stdio.h>
math.h>
voidmain()
{
doubleresult,a=0,b=1,i,n=1000000,h;
printf("
按牛顿公式计算得到的结果:
%f\n"
sin(b)-sin(a));
result=0;
h=(b-a)/n;
//计算区间高度
for(i=1;
i<
=n;
i++)//求和
result=result+cos(a+i*h);
result=h*result;
//乘以区间高度
用近似公式计算得到的结果:
result);
}
三、梯形法
梯形法就是在每个小区间上,以窄梯形的面积近似代替窄曲边梯形的面积,如图:
用梯形法求
=n-1;
result+=(cos(a)+cos(b))/2;
四、抛物线法
此法就是将曲线分成许多小段,用对称轴平行于y轴的二次抛物级上的一段弧来近似替代原来的曲线弧,从而得到定积分的近似值。
用分点a=x0,x1,…xn=b将区间[a,b]n等分(偶数),这些分点对应曲线上的点为Mi(xi,yi)(其中yi=f(xi),i=0,1,2,…,n),如图:
因为经过三个不同的点可以唯一确定一条抛物线,可将这些曲线上的点Mi互相衔接地分成n/2组{M0,M1,M2},{M2,M3,M4},…,{Mn-2,Mn-1,Mn},即每相邻两个区间为一组。
在每组{M2k-2,M2k-1,M2k}(k=1,2,…,n/2)所对应的子曲间[x2k-2,x2k]上,用经过点M2k-2,M2k-1,M2k的二次抛物线近似代替曲线弧。
下面讨论如何计算积分。
设h为区间高度,即h=x2k-x2k-1=x2k-1-x2k-2。
根据积分性质(积分在数值上表示曲边梯形的面积)有如下等式成立:
即将区间[x2k-2,x2k]平移到区间[-h,h]上,计算所得的定积分的值与原区间上的相同。
计算在[-h,h]上过三点的抛物线为曲边的面积。
抛物线中的可由下列方程组确定:
由此得:
于是所求面积为:
显然,曲边梯形的面积只与的纵坐标及底边所在的区间的长度2h有关。
由此可知n/2组梯形的面积为:
用抛物法求
=n/2;
result=result+2*cos(a+2*i*h)+4*cos(a+(2*i-1)*h);
result+=cos(a)+cos(b);
result=h*result/3;
注意:
对于以上三种方法当n取得越大时近似程度就越好。
练习题:
用三种积分法近似计算如下定积分的值:
4.直接应用Matlab命令计算结果
(1)
数值计算
方法1:
int('
1/(1+x^2)'
0,1)
(符号求积分)
方法2:
quad('
1./(1+x.^2)'
(抛物线法求数值积分)
方法3:
0.001:
y=1./(1+x.^2);
trapz(x,y)
(梯形法求数值积分)
(2)数值计算
int(int('
x+y^2'
y'
-1,1),'
0,2)
dblquad(inline('
),0,2,-1,1)
(抛物线法二重数值积分)
四、自己动手
1.
实现实验内容中的例子,即分别采用矩形法、梯形法、抛物线法计算,取,并比较三种方法的精确程度.
2.
分别用梯形法与抛物线法,计算,取.并尝试直接使用函数trapz()、quad()进行计算求解,比较结果的差异.
3.
试计算定积分.(注意:
可以运用trapz()、quad()或附录程序求解吗?
为什么?
)
4.
将的近似计算结果与Matlab中各命令的计算结果相比较,试猜测Matlab中的数值积分命令最可能采用了哪一种近似计算方法?
并找出其他例子支持你的观点.
5.
通过整个实验内容及练习,你能否作出一些理论上的小结,即针对什么类型的函数(具有某种单调特性或凹凸特性),用某种近似计算方法所得结果更接近于实际值?
6.
学习fulu2sum.m的程序设计方法,尝试用函数sum改写附录1和附录3的程序,避免for循环。
.
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