初三数学函数综合题型及解题方法讲解文档格式.docx
- 文档编号:14840314
- 上传时间:2022-10-25
- 格式:DOCX
- 页数:19
- 大小:415.92KB
初三数学函数综合题型及解题方法讲解文档格式.docx
《初三数学函数综合题型及解题方法讲解文档格式.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《初三数学函数综合题型及解题方法讲解文档格式.docx(19页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
两点之间线段最短。
A A
B B
M或者 M
A’ B’
例2:
已知抛物线的函数解析式为,若抛物线经过点,方程的两根为,,且。
(1)求抛物线的顶点坐标.
(2)已知实数,请证明:
≥,并说明为何值时才会有.
(3)若抛物线先向上平移4个单位,再向左平移1个单位后得到抛物线,设,是上的两个不同点,且满足:
,,.请你用含有的表达式表示出△的面积,并求出的最小值及取最小值时一次函数的函数解析式。
解析:
(1)∵抛物线过(0,-3)点,∴-3a=-3
∴a=1
∴y=x2+bx-3
∵x2+bx-3=0的两根为x1,x2且=4
∴=4且b<
∴b=-2
∴y=x2-2x-3=(x-1)2-4
∴抛物线C1的顶点坐标为(1,-4)
(2)∵x>
0,∴
∴显然当x=1时,才有
(3)方法一:
由平移知识易得C2的解析式为:
y=x2
∴A(m,m2),B(n,n2)
∵ΔAOB为RtΔ
∴OA2+OB2=AB2
∴m2+m4+n2+n4=(m-n)2+(m2-n2)2
化简得:
m n=-1
∵SΔAOB==
∵m n=-1
∴SΔAOB=
=
∴SΔAOB的最小值为1,此时m=1,A(1,1)
∴直线OA的一次函数解析式为y=x
①已知一元二次方程两个根x1,x2,求|x1-x2|。
因为|x1-x2|=
②
例3:
如图,已知抛物线经过点A(﹣1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点.
(1)求抛物线的解析式.
(2)点M是线段BC上的点(不与B,C重合),过M作MN∥y轴交抛物线于N,若点M的横坐标为m,请用m的代数式表示MN的长.
(3)在
(2)的条件下,连接NB、NC,是否存在m,使△BNC的面积最大?
若存在,求m的值;
若不存在,说明理由.
(1)设抛物线的解析式为:
y=a(x+1)(x﹣3),则:
a(0+1)(0﹣3)=3,a=﹣1;
∴抛物线的解析式:
y=﹣(x+1)(x﹣3)=﹣x2+2x+3.
(2)设直线BC的解析式为:
y=kx+b,则有:
,
解得;
故直线BC的解析式:
y=﹣x+3.
已知点M的横坐标为m,则M(m,﹣m+3)、N(m,﹣m2+2m+3);
∴故MN=﹣m2+2m+3﹣(﹣m+3)=﹣m2+3m(0<m<3).
(3)如图;
∵S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN(OD+DB)=MN×
OB,
∴S△BNC=(﹣m2+3m)×
3=﹣(m﹣)2+(0<m<3);
∴当m=时,△BNC的面积最大,最大值为.
因为△BNC的面积不好直接求,将△BNC的面积分解为△MNC和△MNB的面积和。
然后将△BNC的面积表示出来,得到一个关于m的二次函数。
此题利用的就是二次函数求最值的思想,当二次函数的开口向下时,在顶点处取得最大值;
当二次函数的开口向上时,在顶点处取得最小值。
题型二:
二次函数与三角形的综合问题
例4:
如图,已知:
直线交x轴于点A,交y轴于点B,抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C(1,0)三点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点D的坐标为(-1,0),在直线上有一点P,使ΔABO与ΔADP相似,求出点P的坐标;
(3)在(2)的条件下,在x轴下方的抛物线上,是否存在点E,使ΔADE的面积等于四边形APCE的面积?
如果存在,请求出点E的坐标;
如果不存在,请说明理由.
解:
(1):
由题意得,A(3,0),B(0,3)
∵抛物线经过A、B、C三点,∴把A(3,0),B(0,3),C(1,0)三点分别代入得方程组
解得:
∴抛物线的解析式为
(2)由题意可得:
△ABO为等腰三角形,如图所示,
若△ABO∽△AP1D,则
∴DP1=AD=4 ,
∴P1
若△ABO∽△ADP2,过点P2作P2M⊥x轴于M,AD=4,
∵△ABO为等腰三角形,∴△ADP2是等腰三角形,由三线合一可得:
DM=AM=2=P2M,
即点M与点C重合∴P2(1,2)
(3)如图设点E,则
①当P1(-1,4)时,
S四边形AP1CE=S△ACP1+S△ACE
=
ﻩﻩ ∴ ∴
∵点E在x轴下方∴
代入得:
即
∵△=(-4)2-4×
7=-12<
∴此方程无解
②当P2(1,2)时,S四边形AP2CE=S三角形ACP2+S三角形ACE =
ﻩ∴ ∴
∵点E在x轴下方∴ 代入得:
即,∵△=(-4)2-4×
5=-4<
综上所述,在x轴下方的抛物线上不存在这样的点E。
方法提炼:
①求一点使两个三角形相似的问题,我们可以先找出可能相似的三角形,一般是有几种情况,需要分类讨论,然后根据两个三角形相似的边长相似比来求点的坐标。
②要求一个动点使两个图形面积相等,我们一般是设出这个动点的坐标,然后根据两个图形面积相等来求这个动点的坐标。
如果图形面积直接求不好求的时候,我们要考虑将图形面积分割成几个容易求解的图形。
例5:
如图,点A在x轴上,OA=4,将线段OA绕点O顺时针旋转120°
至OB的位置.
(1)求点B的坐标;
(2)求经过点A.O、B的抛物线的解析式;
(3)在此抛物线的对称轴上,是否存在点P,使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形?
若存在,求点P的坐标;
若不存在,说明理由.
(1)如图,过B点作BC⊥x轴,垂足为C,则∠BCO=90°
∵∠AOB=120°
∴∠BOC=60°
又∵OA=OB=4,
∴OC=OB=×
4=2,BC=OB•sin60°
=4×
=2,
∴点B的坐标为(﹣2,﹣2);
(2)∵抛物线过原点O和点A.B,
∴可设抛物线解析式为y=ax2+bx,
将A(4,0),B(﹣2.﹣2)代入,得
解得,
∴此抛物线的解析式为y=﹣x2+x
(3)存在,
如图,抛物线的对称轴是x=2,直线x=2与x轴的交点为D,设点P的坐标为(2,y),
①若OB=OP,
则22+|y|2=42,
解得y=±
2,
当y=2时,在Rt△POD中,∠PDO=90°
sin∠POD==,
∴∠POD=60°
∴∠POB=∠POD+∠AOB=60°
+120°
=180°
即P、O、B三点在同一直线上,
∴y=2不符合题意,舍去,
∴点P的坐标为(2,﹣2)
②若OB=PB,则42+|y+2|2=42,
解得y=﹣2,
故点P的坐标为(2,﹣2),
③若OP=BP,则22+|y|2=42+|y+2|2,
解得y=﹣2,
故点P的坐标为(2,﹣2),
综上所述,符合条件的点P只有一个,其坐标为(2,﹣2),
求一动点使三角形成为等腰三角形成立的条件,这种题型要用分类讨论的思想。
因为要使一个三角形成为等腰三角形,只要三角形的任意两个边相等就可以,所以应该分三种情况来讨论。
题型三:
二次函数与四边形的综合问题
例6:
综合与实践:
如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A.B两点,与y轴交于点C,点D是该抛物线的顶点.
(1)求直线AC的解析式及B,D两点的坐标;
(2)点P是x轴上一个动点,过P作直线l∥AC交抛物线于点Q,试探究:
随着P点的运动,在抛物线上是否存在点Q,使以点A.P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形?
若存在,请直接写出符合条件的点Q的坐标;
若不存在,请说明理由.
(3)请在直线AC上找一点M,使△BDM的周长最小,求出M点的坐标.
(1)当y=0时,﹣x2+2x+3=0,解得x1=﹣1,x2=3.
∵点A在点B的左侧,
∴A.B的坐标分别为(﹣1,0),(3,0).
当x=0时,y=3.
∴C点的坐标为(0,3)
设直线AC的解析式为y=k1x+b1(k1≠0),
则,
解得,
∴直线AC的解析式为y=3x+3.
∵y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,
∴顶点D的坐标为(1,4).
(2)抛物线上有三个这样的点Q,
①当点Q在Q1位置时,Q1的纵坐标为3,代入抛物线可得点Q1的坐标为(2,3);
②当点Q在点Q2位置时,点Q2的纵坐标为﹣3,
代入抛物线可得点Q2坐标为(1+,﹣3);
③当点Q在Q3位置时,点Q3的纵坐标为﹣3,
代入抛物线解析式可得,点Q3的坐标为(1﹣,﹣3);
综上可得满足题意的点Q有三个,分别为:
Q1(2,3),Q2(1+,﹣3),Q3(1﹣,﹣3).
(3)点B作BB′⊥AC于点F,使B′F=BF,则B′为点B关于直线AC 的对称点.
连接B′D交直线AC与点M,则点M为所求,
过点B′作B′E⊥x轴于点E.
∵∠1和∠2都是∠3的余角,
∴∠1=∠2.
∴Rt△AOC~Rt△AFB,
∴,
由A(﹣1,0),B(3,0),C(0,3)得OA=1,OB=3,OC=3,
∴AC=,AB=4.
∴BF=,
∴BB′=2BF=,
由∠1=∠2可得Rt△AOC∽Rt△B′EB,
∴,
∴,即.
∴B′E=,BE=,
∴OE=BE﹣OB=﹣3=.
∴B′点的坐标为(﹣,).
设直线B′D的解析式为y=k2x+b2(k2≠0).
∴直线B'
D的解析式为:
y=x+,
联立B'
D与AC的直线解析式可得:
∴M点的坐标为(,).
求一动点使四边形成为平行四边形成立的条件,这种题型要用分类讨论的思想,一般需要分三种情况来讨论。
题型四:
二次函数与圆的综合问题
例7:
如图,半径为2的⊙C与x轴的正半轴交于点A,与y轴的正半轴交于点B,点C的坐标为(1,0).若抛物线过A、B两点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)在抛物线上是否存在点P,使得∠PBO=∠POB?
若存在,求出点P的坐标;
若不存在说明理由;
(3)若点M是抛物线(在第一象限内的部分)上一点,△MAB的面积为S,求S的最大(小)值.
(1)如答图1,连接OB.
∵BC=2,OC=1
∴OB=
∴B(0,)
将A(3,
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 初三 数学 函数 综合 题型 解题 方法 讲解
![提示](https://static.bdocx.com/images/bang_tan.gif)