正态分布及其经典习题和答案Word文件下载.docx
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3
4
5
6
8
10
12
15
20
P
0.1
∴E(X)=8.5.
(5)如图,两个正态分布曲线图:
1为1,1(x),2为22(x),
则12,12(填大于,小于)
<,>。
由正态密度曲线图象的特征知。
课内练习】
1.标准正态分布的均数与标准差分别为()。
A.0与1B.1与0C.0与0D.1与1
A。
由标准正态分布的定义知。
2.正态分布有两个参数与,()相应的正态曲线的形状越扁平。
A.越大B.越小C.越大D.越小答案:
C。
3.已在n个数据x1,x2,,xn,那么xix是指
ni1
A.B.C.2D.2()
由方差的统计定义知。
4.设~B(n,p),E12,D4,则n的值是。
4。
Enp12,Dnp(1p)4
23
5.对某个数学题,甲解出的概率为2,乙解出的概率为3,两人独立解题。
记X为解出该题的人数,则E
34
X)=。
17。
P(X0)111,P(X1)21145,P(X2)231。
123412343412342
15117
∴E(X)012。
212212
6.设随机变量服从正态分布N(0,1),则下列结论正确的是
(1)P(||a)P(||a)P(||a)(a0)
(2)P(||a)2P(a)1(a0)
(3)P(||a)12P(a)(a0)
(4)P(||a)1P(||a)(a0)
(1),
(2),(4)。
P(||a)0。
7.抛掷一颗骰子,设所得点数为X,则D(X)=
35。
P(Xk)1,k1,2,,6,按定义计算得E(X)7,V(X)35。
126212作业本】
A组
E(X)等于
1.袋中装有5只球,编号为1,2,3,4,5,从中任取3球,以X表示取出球的最大号码,则)
A、4B、5C、4.5D、4.75
X的分布列为
0.3
0.6
故E(X)=30.1+40.3+50.6=4.5。
2.下列函数是正态分布密度函数的是
3.正态总体为0,1概率密度函数f(x)是
4.已知正态总体落在区间0.2,的概率是0.5,那么相应的正态曲线在x时达到最高点。
0.2。
正态曲线关于直线x对称,由题意知0.2。
5.一次英语测验由40道选择题构成,每道有4个选项,其中有且仅有一个是正确的,每个选对得3分,选错或不选均不得分,满分120分,某学生选对一道题的概率为0.7,求该生在这次测验中的成绩的期望
为;
方差为。
84;
75.6。
设X为该生选对试题个数,η为成绩,则X~B(50,0.7),η=3X∴E(X)=40×
0.7=28
V(X)=40×
0.7×
0.3=8.4
故E(η)=E(3X)=3E(X)=84V(η)=V(3X)=9V(X)=75.6
6.某人进行一个试验,若试验成功则停止,若实验失败,再重新试验一次,若试验三次均失败,则放弃试2
验,若此人每次试验成功的概率为,求此人试验次数X的分布列及期望和方差。
3解:
1
9
2211322113238
故E(X)123,V(X)149()2。
3999399981
7.甲、乙两名射击运动员,甲射击一次命中10环的概率为0.5,乙射击一次命中10环的概率为s,若他们
独立的射击两次,设乙命中10环的次数为X,则EX=,Y为甲与乙命中10环的差的绝对值.求s的值及Y的
3分布列及期望.
42答案:
解:
由已知可得X~B(2,s),故EX2s4,所以s2.
33有Y的取值可以是0,1,2.
12121甲、乙两人命中10环的次数都是0次的概率是()2()2,
2336
111121122
甲、乙两人命中10环的次数都是1次的概率是()(),
222233339
11221
甲、乙两人命中10环的次数都是2次的概率是()()
22339
12113所以P(Y0);
369936
12121甲命中10环的次数是2且乙命中10环的次数是0次的概率是()2()2,
11221甲命中10环的次数是0且乙命中10环的次数是2次的概率是()()
所以P(Y2)115,故P(Y1)1P(Y0)P(Y2)1
369362
所以Y的分布列是
Y
13
36
所以Y的期望是E(Y)=97。
B。
3.在一次英语考试中,考试的成绩服从正态分布(100,36),那么考试成绩在区间88,112内的概率是
A.0.6826B.0.3174C.0.9544D.0.9974答案:
由已知X—N(100,36),
88100112100
故P(88X112)P(Z)P(2Z2)2P(Z2)10.9544。
66
1分,
4.袋中有4个黑球,3个白球,2个红球,从中任取2个球,每取到一个黑球得0分,每取到一个白球得若取到一个红球则得2分,用X表示得分数,则E(X)=;
D(X)=.
14165
14;
165。
由题意知,X可取值是0,1,2,3,4。
易得其概率分布如下:
9162
11
14
E(X)=0
×
+1×
+2×
+3×
+4×
=
21
211
142
=165
V(X)=
0×
+
+2
+32×
+
42×
-
162
-5。
2,2,E(2X1)2E(X)12
(2)15。
6.一本书有500页,共有100个错字,随机分布在任意一页上,求一页上错字个数X的均值、标准差。
1111
∵X—B(100,),E(X)1000.2,V(X)100
(1)0.1996
500500500500
X的标准差V(X)0.04468。
8.一批电池(一节)用于手电筒的寿命服从均值为35.6小时、标准差为4.4小时的正态分布,随机从这批电池
中任意取一节,问这节电池可持续使用不少于40小时的概率是多少?
电池的使用寿命X—N(35.6,4.42)
则P(X40)P(X35.64035.6)P(Z1)1P(Z1)0.1587
4.44.4
即这节电池可持续使用不少于40小时的概率是0.1587。
双基自测
平均数与标准差分别是().
A.0.6B.0.4C.0.3D.0.2
解析由P(ξ<
4)=0.8知P(ξ>
4)=P(ξ<
0)=0.2,故P(0<
ξ<
2)=0.3.故选C.答案C
3.(2010·
广东)已知随机变量X服从正态分布N(3,1),且P(2≤X≤4)=0.6826,则P(X>
4)等于().
A.0.1588B.0.1587C.0.1586D.0.1585
解析由正态曲线性质知,其图象关于直线x=3对称,∴P(X>
4)=0.5-2P(2≤X≤4)=0.5-2×
0.6826
=0.1587.故选B
4.(2010·
山东)已知随机变量X服从正态分布N(0,σ2),若P(X>
2)=0.023,则P(-2≤X≤2)等于().
A.0.477B.0.628C.0.954D.0.977
解析P(-2≤X≤2)=1-2P(X>
2)=0.954.答案C
5.设随机变量X服从正态分布N(2,9),若P(X>
c+1)=P(X<
c-1),则c等于().
A.1B.2C.3D.4
考向一正态曲线的性质
例1】?
若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数,且该函数的最大值为
(1)求该正态分布的概率密度函数的解析式;
(2)求正态总体在(-4,4]的概率.
(2)P(-4<
X≤4)=P(0-4<
X≤0+4)=P(μ-σ<
X≤μ+σ)=0.6826.
【训练1】设两个正态分布N(μ1,σ21)(σ1>
0)和N(μ2,σ22)(σ2>
0)的密度函数图象如图所示,则有().A.μ1<
μ2,σ1<
σ2
B.μ1<
μ2,σ1>
C.μ1>
D.μ1>
σ2解析根据正态分布N(μ,σ2)函数的性质:
正态分布曲线是一条关于直线x=μ
对称,在x=μ处取得最大值的连续钟形曲线;
σ越大,曲线的最高点越低且较平缓;
反过来,σ越小,曲线的最高点越高且较陡峭,故选A.
考向二
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- 正态分布 及其 经典 习题 答案