最新厦门大学网络教育线性代数复习题B含答案Word文件下载.docx
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3.向量,,线性无关,则下列向量组线性相关的是()。
A.,,;
B.,,;
C.,,;
D.,,。
4.若3阶方阵及,都不可逆,则的特征多项式中常数项为()。
B.;
C.;
5.下列命题错误的是()。
A.相似矩阵有相同的特征多项式;
B.个维向量必线性相关;
C.矩阵是阶正交矩阵的充分必要条件是;
D.若矩阵的秩是,并且存在阶子式,则其所有的阶子式全为。
6.下列命题正确的是()。
A.若,为同阶方阵,且,则也是对称阵;
B.若,且,其中为零矩阵,则;
C.齐次线性方程组(是矩阵)有唯一解的充分必要条件是;
D.设非齐次线性方程组有无穷多解,则相应的齐次线性方程组有唯一解。
二、填空题(每小题3分,共18分)
7.设矩阵,,其中,,,,均为四维列向量,且已知行列式,,则行列式。
8.若,当_______时,。
9.与正交,则。
10.已知3阶矩阵的特征值为,,,则矩阵(为三阶单位矩阵)的特征值为。
11.设为可逆矩阵,且,则。
12.若,均可逆,,则可逆,且。
三、计算题(共64分)
13.行列式计算(10分)
求行列式,其中,是阶行列式,主对角线上的元素为,其余元素为。
14.求解矩阵方程(10分)
设,,求。
15.线性方程组的计算(12分)
设有线性方程组,问取何值时,此方程组
(1)有唯一解;
(2)无解;
(3)有无穷多解?
并在有无限多解时求其通解。
16.向量组计算(10分)
已知向量组,,,,,试求,,,,的一个极大线性无关组,并把其余向量用此极大线性无关组线性表示。
17.设二次型可通过正交变换化成标准型,求参数及使用的正交变换(20分)
说明:
(1)先将二次型表示成矩阵形式(2分);
(2)求出的值(5分);
(3)求出对应于特征值的特征向量(6分);
(4)将这些特征向量正交单位化(3分);
(5)最后写出所作的正交变换(4分)。
请按上述五步顺利给出解题过程。
1.B。
解:
由行列式的性质可知
。
2.C。
由于,,因此,均可逆,故选C。
3.C.解:
显然有,所以,,线性相关,故选C。
4.A。
根据定理5.1知,设是的特征值,则必有,于是不可逆,又及,都不可逆,那么,,不可逆,知的特征值为,,,而的特征多项式中常数项的值等于。
5.D。
A.正确,相似矩阵有相同的特征多项式(§
5.2性质5)。
B.正确,个维向量必线性相关(定理2.5)。
C.正确,矩阵是阶正交矩阵的充分必要条件是,这是正交矩阵的定义。
D.错误,矩阵的秩是,若其所有的阶子式全为,则的任何阶子式都为,这与矩阵的秩为矛盾(注意矩阵的秩是,说明其存在一个阶非零子式)。
6.A。
A.正确,若,为同阶方阵,且,则,则也是对称矩阵。
B.错误,反例:
,记,但
注意矩阵乘法不满足消去律,当,只有可逆时,才有。
C.错误,齐次线性方程(是矩阵)有唯一解的充分必要条件是。
D.错误,非齐次线性方程组有无穷多解,则的秩小于的列秩,即的秩小于方程未知数的个数,是相应的齐次线性方程组有无穷多解的充要条件。
7.解:
8.解:
,又,故。
9.因为,正交,所以,则。
10.解:
由,可知是的特征值,于是由的特征值,,可知的特征值为,,。
11.解:
为可逆矩阵,则可写成一系列初等矩阵的乘积,由左乘得到,相当于可通过初等行变换把变成,由于初等变换不改变矩阵的秩,故,而,所以。
12.解:
由且、可逆可知,可逆,设矩阵,使得,即,则,故;
,则;
,故,;
,则,故所以。
13.解:
(将各列分别加到第1列得)
再将第一行乘以分别加到其余各行,得
14.解:
由,可得。
由于
,
而,所以可逆,则。
~~
因此。
15.解:
对增广矩阵作初等行变换把它变为行阶梯形矩阵,有
(1)当且时,,方程组有唯一解。
(2)当时,,,方程组无解。
(3)当时,,方程组有无限个解,
这时,
由此便得通解
(可任意取值)
1、购买“女性化”即
,()。
1、作者:
蒋志华《市场调查与预测》,中国统计出版社2002年8月§
11-2市场调查分析书面报告16.解:
将向量,,,,看成一个矩阵的列向量组,得矩阵
喜欢□一般□不喜欢□对矩阵仅施以初等行变换,把化为阶梯形矩阵
因此向量组,,是向量组,,,,的一个极大线性无关组,且,。
17.解:
(1)二次型,其中
据上述部分的分析可见,我校学生就达4000多人。
附近还有两所学校,和一些居民楼。
随着生活水平的逐渐提高,家长给孩子的零用钱也越来越多,人们对美的要求也越来越高,特别是大学生。
他们总希望自己的无论是衣服还是首饰都希望与众不同,能穿出自己的个性。
但在我们美丽的校园里缺少自己的个性和琳琅满目的饰品,所以我们的小饰品店存在的竞争力主要是南桥或是市区的。
这给我们小组的创业项目提供了一个很好的市场机会。
,。
当然,在竞争日益激烈的现代社会中,创业是件相当困难的事。
我们认为,在实行我们的创业计划之前,我们首先要了解竞争对手,吸取别人的经验教训,制订相应竞争的策略。
我相信只要我们的小店有自己独到的风格,价格优惠,服务热情周到,就一定能取得大多女孩的信任和喜爱。
由题意知的特征值为,,。
将代入,得
得,于是。
2、传统文化对大学生饰品消费的影响(3)下面求特征向量:
当时,解得方程组的基础解系为。
(2)东西全当时,解方程组,可得线性方程组的基础解系为。
图1-2大学生购买手工艺品可接受价位分布当时,解方程组,可得线性方程组的基础解系为。
容易看出,,两两正交。
营销调研课题(4)下面将,,单位化
,,。
还有一点就是beadwork公司在“碧芝自制饰品店”内设立了一个完全的弹性价格空间:
选择饰珠的种类和多少是由顾客自己掌握,所以消费者可以根据自己的消费能力进行取舍;
此外由于是顾客自己制作,所以从原料到成品的附加值就可以自己享用。
(5)取。
令,其中所作的正交线性变换为,即
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