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求函数的值域.
分析:
根据绝对值的定义
及题设中函数的表达式可知,要分别对绝对值号中的sinx,cosx,tgx,ctgx按照其大于零,小于零(不能为零)来讨论,以去掉绝对值号.而决定三角函数值正负的因素是角x所在的象限,故按角x的终边所在的象限为分类标准,进行分类讨论:
解
(1)角x在第一象限时,
(2)角x在第二象限时,
(3)角x在第三象限时,
(4)角x在第四象限时,
综上所述:
函数的值域为{4,0,-2}
说明:
数学中的概念有些是含有不同种类的,当题目涉及这样的概念时,必须按给出概念的分类方式进行分类讨论,才能使解答完整无误.
例2,已知扇形的圆心角为60°
,半径为5cm,求这个扇形的内接长方形的最大面积.图
解:
如图一,内接长方形CDEF的面积为:
S=ED·
EF,ED=OE·
sinθ=5sinθ
在△EFO中,运用正弦定理,得
∴
∴
如图二.取的中点M,连接OM分扇形为两个小扇形,在这两个小扇形中,各有原内接长方形的一半,∴内接长方形的面积为一个小扇形中内接长方形面积的2倍.
即
再比较S大与S大′的大小
图1
图2
综上,所求扇形的最大内接长方形的面积为.
说明:
本题是由图形的位置及形状不能确定引起的分类讨论,其原因在于扇形内接长方形相对于扇形的位置不确定,故而求出两种位置下的面积后判断最大为多少.
例3已知直角坐标平面上点Q(2,0)和圆C:
x2+y2=1,动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数λ(λ>0)。
求动点M的轨迹方程,说明它表示什么曲线.
解如图,设直线MN切圆O于N,则动点M组成的集合是
P={M||MN|=λ|MQ|}(其中λ>
0)
∵圆半径|ON|=1,∴|MN|2=|MO|2-|ON|2=|MO|2-1
设点M的坐标为(x,y),则
整理得:
经检验,坐标适合这个方程的点都属于集合P,故这个方程为所求的轨迹方程.
当λ=1时,方程化为,它表示一条直线,该直线与x轴垂直且交x轴于点
当λ≠1时,方程化为
它表示圆,该圆圆心的坐标为,半径为
本题在求出轨迹方程之后,在判定为何曲线时,因参数引起了分类讨论:
一些问题中的数学表达式中因含有会导致不同结论的参数,从而需对参数分情况讨论,求得问题的结果.
例4已知a>1,解关于x的不等式:
原不等式
(i)当1<a<2时,由①得:
x<a或x>2
∵
∴又∵
∴解集为
(ii)当a=2时,由①得x≠2,由③得
∴解集为
(iii)当a>2时,由①得,x<2或x>a
本题中参数a,在求解集过程中,不同的取值,影响解集,故而要分类讨论,这是变形所需.
例5某城市用水收费方法是:
水费=基本费+超额费+排污费,若每月水量不超过最低限量am3时,只付基本费8元和每户每定额排污费c元;
若用水量超过am3时,除了付给同上的基本费和排污费外,超过部分每方米付b元的超额费.已知每户每月的排污费不超过4元,该市一家庭今年第一季度的用水量和支付费用如下表所示:
月份
用水量(m3)
水费(元)
1
8
9
2
15
19
3
13
解:
设每月用水量为xm3,支付费用为y元.
则y=
由题意知0<c≤4,8+c≤12.
故第2、3月份用水量15am3,13am3大于最低用水限量am3
将分别代入中,得
①
再分析1月份用水量是否超过最低限量am3
不妨设8>a,
将中,得
9=8+2(8–a)+c,
得2a=c+15②
显然①、②矛盾
∴1月份用水量不超过最低限量.
又∵y=8+c
∴9=8+c,c=1
∴a=10,b=2,c=1
本题为实际应用问题,在解题过程中,隐含着分类讨论:
a>
8,a=8,a<
8,根据条件,逐一讨论,使问题得以解决.
例6设a>0,且a≠1,解关于x的不等式:
当0<a<1时,
或(Ⅱ)
或(Ⅲ)
解不等式组(Ⅰ),得;
解不等式组(Ⅱ),得
解不等式组(Ⅲ),无解.
∴原不等式的解集为
当a>1时,
(Ⅰ)
解不等式组(Ⅰ),得
解不等式组(Ⅱ),得a≤x<
a2;
不等式(Ⅲ)无解
∴原不等式的解集是
本题在对a进行分类的过程中,又对x进行分类,以去掉绝对值符号,是多次分类。
例7设,比较的大小.
本题可用比差法,但要对a进行分类讨论,而用商比较法,可以不再进行分类讨论,解起来简单了.
解∵0<x<1
分类讨论的目的是为了解决问题,但要视情况而定,若能不分类即可把问题解决就不要分类讨论.
三、巩固练习
1.已知不共面的三条直线a、b、c,a∥b∥c,过a作平面α,使b、c到α的距离相等,则满足条件的平面α有(
)
(A)1个
(B)2个
(C)4个
(D)无数个
2.函数与它的反函数是同一函数的充要条件是(
(A)a=1,b=0
(B)a=-1,b=0
(C)a=±
1,b=0
(D)a=1,b=0或a=-1,b∈R
3.已知k是常数,若双曲线的焦距与k值无关,则k的取值范围是(
(A)-2<k≤2
(B)k>5
(C)-2<k≤0
(D)0≤k<2
4.已知数列{an}前n项之和Sn满足,则an=_________.
5.直线m过点P(-2,1),点A(-1,-2)到直线m的距离等于1,则直线m的方程为________.
6.根据实数k的不同取值,讨论直线y=k(x+1)与双曲线
的公共点个数.
7.已知数列{an}和函数当n为正偶数时,;
当n为正奇数时,.求{an}的通项公式.
8.设a>
0,a≠1,解关于x的不等式.
四、练习解析
1.B)提示:
两种情况:
过a与b、c所确定平面平行,或过a与b、c所确定平面相交.
2.选(D),提示:
的反函数为,依题意
∴由①得a=±
1,当a=1时,b=0,当a=-1时,b∈R.
3.选(C)提示:
表示双曲线,则,此时,,不合题意,当k≤0时,-2<k≤0,此时,,则,与k无关.
4.提示:
由且当n≥2时,
,若,
5.4x+3y+5=0或x=-2提示:
直线m的斜率不存在时,方程为x=-2,满足条件,当斜率存在时,设其方程为y-1=k(x+2),由点到直线的距离公式,可得
6.解:
由消去y整理得
当时,,此时直线分别与双曲线的渐近线平行,它们分别与双曲线的一支交于一点
当时,
∴当时,直线分别与双曲线只有一个公共点;
当时,直线与双曲线有两个公共点;
当时,直线与双曲线无交点.
7.解当n为正偶数时,
此时n-1为正奇数,则
∴
当n为正奇数时,(n>1)
此时n-1为正偶数,则
∴,解得
而当n=1时,由已知得∴
故数列的通项公式为
8.解:
当
∴原不等式的解集是;
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