圆 综合培优练习题 解答题含答案.docx
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圆综合培优练习题解答题含答案
期末总复习:
圆综合培优练习题
1.如图,AB,AC分别是⊙O的直径和弦,动点D为劣弧AC上一点,弦ED交⊙O于点E,交AB于点H,交AC于点F,P为ED延长线上的点.
(1)连接PC,当=且PC=PF时,求证:
PC是⊙O的切线;
(2)连接CD,OC,AD,则点C、D在劣弧AC上满足什么条件时,四边形ADCO为菱形.
2.已知△ABC中,AB=AC,∠BAC为钝角,以AB为直径的⊙O交BC于点D,CA的延长线与⊙O相交于点E,连结BE.
(1)求证:
∠BAC=2∠EBC.
(2)若AC=5,BC=8,求BE的长.
3.如图,AB是⊙O的直径,CD是⊙O的弦,且CD⊥AB于点E.
(1)求证:
∠BCO=∠D;
(2)若⊙O的半径为5,AE=2,则CD= .
4.如图,在Rt△ABC中,点O在斜边AB上,以O为圆心,OB为半径作圆,分别与BC,AB相交于点D,E,连接AD.已知∠CAD=∠B.
(1)求证:
AD是⊙O的切线;
(2)若CD=2,AC=4,BD=6,求⊙O的半径.
5.如图,线段AB经过圆心O,交⊙O于点A、C,点D为⊙O上一点,连结AD、OD、BD,∠BAD=∠B=30°.
(1)求证:
BD是⊙O的切线.
(2)若OA=8,求OA、OD与围成的扇形的面积.
6.如图,PA切⊙O于点A,射线PC交⊙O于C、B两点,半径OD⊥BC于E,连接BD、DC和OA,DA交BP于点F;
(1)求证:
∠ADC+∠CBD=∠AOD;
(2)在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图中相等的线段.
7.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,点O在边AB上,以点O为圆心,OA为半径的圆经过点C,过点C作直线MN,使∠BCM=2∠A.
(1)判断直线MN与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若OA=6,∠BCM=60°,求图中阴影部分的面积.
8.已知△ABC内接于以AB为直径的⊙O,过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点D,且DA:
AB=1:
2.
(1)求∠CDB的度数;
(2)在切线DC上截取CE=CD,连接EB,判断直线EB与⊙O的位置关系,并证明.
9.如图,四边形ABCD内接于⊙O,AB是⊙O的直径,点P在CA的延长线上,∠CAD=45°.
(1)若AB=4,求弧CD的长;
(2)若弧BC=弧AD,AD=AP,求证:
PD是⊙O的切线.
10.如图,AB是⊙O的直径,PA切⊙O于A,OP交⊙O于C,连BC.若∠P=30°,求∠B的度数.
11.如图,已知AB是⊙O的直径,点C是⊙O上一点,AD与过点C的切线垂直,垂足为点D,直线DC与AB的延长线相交于点P,弦CE平分∠ACB,交AB于点F,连接BE.
(1)求证:
AC平分∠DAB;
(2)求证:
△PCF是等腰三角形;
(3)若AF=6,EF=2,求⊙O的半径长.
12.如图,PA、PB是⊙O的两条切线,A、B是切点,AC是⊙O的直径,∠BAC=35°,求∠P的度数.
13.如图,⊙O的直径AB为10cm,弦BC为5cm,D、E分别是∠ACB的平分线与⊙O,AB的交点,P为AB延长线上一点,且PC=PE.
(1)求AC、AD的长;
(2)试判断直线PC与⊙O的位置关系,并说明理由.
14.如图,AB是⊙O的直径,点C、D在⊙O上,且AC平分∠BAD,点E为AB的延长线上一点,且∠ECB=∠CAD.
(1)①填空:
∠ACB= ,理由是 ;
②求证:
CE与⊙O相切;
(2)若AB=6,CE=4,求AD的长.
15.如图,已知AB是⊙的直径,AC是弦,点P是BA延长线上一点,连接PC,BC.∠PCA=∠B
(1)求证:
PC是⊙O的切线;
(2)若PC=6,PA=4,求直径AB的长.
16.如图,△ABC内接于⊙O,∠B=60°,CD是⊙O的直径,点P是CD延长线上的一点,且AP=AC.
(1)求证:
PA是⊙O的切线;
(2)若AB=4+,BC=2,求⊙O的半径.
17.如图,⊙O是△ABC的外接圆,∠ABC=45°,OC∥AD,AD交BC的延长线于D,AB交OC于E.
(1)求证:
AD是⊙O的切线;
(2)若AE=2,CE=4.求图中阴影部分的面积.
参考答案
1.
(1)证明:
连接OC,
∵OA=OC,
∴∠ACO=∠OAC,
∵PC=PF,
∴∠PCF=∠PFC,
∵=,AB是⊙O的直径,
∴DE⊥AB,
∴∠OAC+∠AFH=90°,
∵∠PDF=∠AFH,
∴∠PFC+∠OAC=90°,
∴∠PCF+∠AC0=90°,
即OC⊥PC,
∴PC是⊙O的切线;
(2)解:
当C,D在半圆弧上的三等分点时,四边形ADCO是菱形,
连接DC,OC,OD,
则==,
∴∠COD=∠DOA=60°,
∵OC=OD=OA,
∴△OAD与△OCD是等边三角形,
∴OC=OD=OA=AD=CD,
∴四边形ADCO为菱形.
2.
(1)证明:
连接AD.
∵AB为直径,
∴∠ADB=90°,
∴AD⊥BC,
又∵AB=AC,
∴∠BAD=∠CAD=∠BAC,
∵∠CAD+∠DAE=180°,∠CBE+∠DAE=180°,
∴∠CAD=∠CBE,
∴∠BAC=2∠CBE.
(2)∵AB=AC,AD⊥BC,
∴BD=CD=BC=4,
∵∠C=∠C,∠CAD=∠CBE,
∴△CAD∽△CBE,
∴=,
∴=,
∴CE=,
∴AE=CE﹣AC=﹣5=,
∵AB是直径,
∴∠E=90°,
∴BE===.
3.
(1)证明:
∵OB=OC,
∴∠B=∠OCB,
∵∠B=∠D,
∴∠BCO=∠D.
(2)∵BA是直径,AB⊥CD,
∴CE=ED,
∵OC=OA=5,AE=2,
∴OE=3,
∵∠CEO=90°,
∴CE==4,
∴CD=2CE=8,
故答案为8.
4.
(1)证明:
连接OD,
∵OB=OD,
∴∠3=∠B,
∵∠B=∠1,
∴∠1=∠3,
在Rt△ACD中,∠1+∠2=90°,
∴∠4=180°﹣(∠2+∠3)=90°,
∴OD⊥AD,
则AD为圆O的切线;
(2)过点O作OF⊥BC,垂足为F,
∵OF⊥BD
∴DF=BF=BD=3
∵AC=4,CD=2,∠ACD=90°°
∴AD==2
∵∠CAD=∠B,∠OFB=∠ACD=90°
∴△BFO∽△ACD
∴
即
∴OB=
∴⊙O的半径为.
5.
(1)证明:
∵OA=OD,∠A=∠B=30°,
∴∠A=∠ADO=30°,
∴∠DOB=∠A+∠ADO=60°,
∴∠ODB=180°﹣∠DOB﹣∠B=90°,
∵OD是半径,
∴BD是⊙O的切线;
(2)∵∠DOB=60°,
∴∠AOD=120°,
∵AO=8,
∴OA、OD与围成的扇形的面积==π.
6.
(1)证明:
∵OD⊥BC,
∴=,
∴∠CBD=∠DCB,
∵∠DFE+∠EDF=90°,
∴∠EDF=90°﹣∠DFE,
∵OD=OA,
∴∠ODA=(180°﹣∠AOD)=90°﹣∠AOD,
∴90°﹣∠DFE=90°﹣∠AOD,
∴∠DEF=∠AOD,
∵∠DFE=∠ADC+∠DCB=∠ADC+∠CBD,
∴∠ADC+∠CBD=∠AOD;
(2)解:
∵OD⊥BC,
∴BE=CE,=,
∴BD=CD,
∵OA=OD,
∴∠ADO=∠OAD,
∵PA切⊙O于点A,
∴∠PAO=90°,
∴∠OAD+∠DAP=90°,
∵∠PFA=∠DFE,
∴∠PFA+∠ADO=90°,
∴∠PAF=∠PFA,
∴PA=PF.
7.解:
(1)MN是⊙O切线.
理由:
连接OC.
∵OA=OC,
∴∠OAC=∠OCA,
∵∠BOC=∠A+∠OCA=2∠A,∠BCM=2∠A,
∴∠BCM=∠BOC,
∵∠B=90°,
∴∠BOC+∠BCO=90°,
∴∠BCM+∠BCO=90°,
∴OC⊥MN,
∴MN是⊙O切线.
(2)由
(1)可知∠BOC=∠BCM=60°,
∴∠AOC=120°,
在RT△BCO中,OC=OA=6,∠BCO=30°,
∴BO=OC=3,BC=3,
∴S阴=S扇形OAC﹣S△OAC=﹣•6=12π﹣9.
8.解:
(1)连接OC,∵CD是⊙O的切线,
∴∠OCD=90°.
设⊙O的半径为R,则AB=2R,
∵DA:
AB=1:
2,
∴DA=R,DO=2R.
∴A为DO的中点,
∴AC=DO=R,
∴AC=CO=AO,
∴三角形ACO为等边三角形
∴∠COD=60°,即∠CDB=30°.
(2)直线EB与⊙O相切.
证明:
连接OC,
由
(1)可知∠CDO=30°,
∴∠COD=60°.
∵OC=OB,
∴∠OBC=∠OCB=30°
.∴∠CBD=∠CDB.
∴CD=CB.
∵CD是⊙O的切线,
∴∠OCE=90°.
∴∠ECB=60°.
又∵CD=CE,
∴CB=CE.
∴△CBE为等边三角形.
∴∠EBA=∠EBC+∠CBD=90°.
∴EB是⊙O的切线.
9.解:
(1)连接OC,OD,
∵∠COD=2∠CAD,∠CAD=45°,
∴∠COD=90°,
∵AB=4,
∴OC=AB=2,
∴的长=×π×2=π;
(2)∵=,
∴∠BOC=∠AOD,
∵∠COD=90°,
∴∠AOD=45°,
∵OA=OD,
∴∠ODA=∠OAD,
∵∠AOD+∠ODA+∠OAD=180°,
∴∠ODA=67.5°,
∵AD=AP,
∴∠ADP=∠APD,
∵∠CAD=∠ADP+∠APD,∠CAD=45°,
∴∠ADP=∠CAD=22.5°,
∴∠ODP=∠ODA+∠ADP=90°,
∴PD是⊙O的切线.
10.解:
∵PA切⊙O于A,AB是⊙O的直径,
∴∠PAO=90°,
∵∠P=30°,
∴∠AOP=60°,
∴∠B=∠AOP=30°.
11.
(1)证明:
∵PD为⊙O的切线,
∴OC⊥DP,
∵AD⊥DP,
∴OC∥AD,
∴∠DAC=∠OCA,
∵OA=OC,
∴∠OAC=∠OCA,
∴∠OAC=∠DAC,
∴AC平分∠DAB;
(2)证明:
∵AB为⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∵CE平分∠ACB,
∴∠BCE=45°,
∴∠BOE=2∠BCE=90°,
∴∠OFE+∠OEF=90°,
而∠OFE=∠CFP,
∴∠CFP+∠OEF=90°,
∵OC⊥PD,
∴∠OCP=90°,即∠OCF+∠PCF=90°,
而∠OCF=∠OEF,
∴∠PCF=∠CFP,
∴△PCF是等腰三角形;
(3)解:
连结OE.
∵AB为⊙O的直径,∴∠ACB=90°,
∵CE平分∠ACB,∴∠BCE=45°,
∴∠BOE=90°,即OE⊥AB,
设⊙O的半径为r,则OF=6﹣r,
在Rt△EOF中,∵OE2+OF2=EF2,
∴r2+(6﹣r)2=
(2)2,
解得,r1=4,r2=2,
当r1=4时,OF=6﹣r=2(符合题意),
当r2=2时,OF=6﹣r=4(不合题意,舍去),
∴⊙O的半径r=4.
12.解:
∵PA、PB是⊙O的两条切线,A、B是切点,AC是⊙O的直径,
∴∠OAP=∠OBP=90°,
∵∠BAC=35°,OA=OB,
∴∠BAC=∠OBA=35°,
∴∠PAB=∠PBA=55°,
∴∠P=180°﹣∠PAB﹣∠PBA=70°,
即∠P的度数是70°.
13.解:
(1)
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