高考数学四海八荒易错集专题15椭圆双曲线抛物线理Word格式.docx
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A.B.C.D.2
解析 如图,因为MF1与x轴垂直,所以|MF1|=.
4.已知F1、F2为椭圆+=1的左、右焦点,若M为椭圆上一点,且△MF1F2的内切圆的周长等于3π,则满足条件的点M有( )
A.0个B.1个
C.2个D.4个
答案 C
解析 由椭圆方程+=1可得a2=25,b2=16,
∴a=5,b=4,c=3.
由椭圆的定义可得|MF1|+|MF2|=2a=10,且|F1F2|=2c=6,
∴△MF1F2的周长|MF1|+|MF2|+|F1F2|=10+6=16.
设△MF1F2的内切圆的半径为r,
由题意可得2πr=3π,解得r=.
5.已知圆x2+y2=上点E处的一条切线l过双曲线-=1(a>
0,b>
0)的左焦点F,且与双曲线的右支交于点P,若=(+),则双曲线的离心率是______________.
答案
解析 如图所示,设双曲线的右焦点为H,连接PH,
由题意可知|OE|=,
由=(+),
可知E为FP的中点.
由双曲线的性质,可知O为FH的中点,
所以OE∥PH,且|OE|=|PH|,
故|PH|=2|OE|=.
6.经过椭圆+=1的右焦点的直线l交抛物线y2=4x于A、B两点,点A关于y轴的对称点为C,则·
=________.
答案 -5
解析 由椭圆+=1知右焦点为(1,0),当直线l的斜率为0时,不符合题意,故可设直线l的方程为x=my+1.
由得y2-4my-4=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1y2=-4,
∴x1x2=·
=1.
由题意知C(-x1,y1),∴·
=(x2,y2)·
(-x1,y1)=-x1x2+y1y2=-1-4=-5.
7.若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10,则M到y轴的距离是________.
答案 9
解析 抛物线y2=4x的焦点F(1,0).准线为x=-1,由M到焦点的距离为10,可知M到准线x=-1的距离也为10,故M的横坐标满足xM+1=10,解得xM=9,所以点M到y轴的距离为9.
8.已知椭圆C:
+=1(a>
b>
0)的离心率为,且点(1,)在该椭圆上.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过椭圆C的左焦点F1的直线l与椭圆C相交于A,B两点,若△AOB的面积为,求圆心在原点O且与直线l相切的圆的方程.
解
(1)由题意可得e==,
又a2=b2+c2,
所以b2=a2.
因为椭圆C经过点(1,),
所以+=1,
解得a=2,所以b2=3,
故椭圆C的方程为+=1.
化简得18t4-t2-17=0,
即(18t2+17)(t2-1)=0,
解得t=1,t=-(舍去),
又圆O的半径r==,
所以r=,故圆O的方程为x2+y2=.
9.已知椭圆C的长轴左,右顶点分别为A,B,离心率e=,右焦点为F,且·
=-1.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若P是椭圆C上的一动点,点P关于坐标原点的对称点为Q,点P在x轴上的射影点为M,连接QM并延长交椭圆于点N,求证:
∠QPN=90°
.
(1)解 依题意,设椭圆C的方程为+=1(a>
0),
则A(-a,0),B(a,0),F(c,0),
由e==,得a=c.①
由·
=-1,
得(c+a,0)·
(c-a,0)=c2-a2=-1.②
联立①②,解得a=,c=1,
所以b2=1,
故椭圆C的标准方程为+y2=1.
因为点P,N在椭圆上,
所以x+2y=2,x+2y=2,⑥
把⑥代入⑤,得kPQkPN+1==0,
即kPQkPN=-1,所以∠QPN=90°
【名师点睛,易错起源】
易错起源1、圆锥曲线的定义与标准方程
例1、
(1)△ABC的两个顶点为A(-4,0),B(4,0),△ABC周长为18,则C点轨迹方程为( )
A.+=1(y≠0)B.+=1(y≠0)
C.+=1(y≠0)D.+=1(y≠0)
(2)在平面直角坐标系中,已知△ABC的顶点A(-4,0)和C(4,0),顶点B在椭圆+=1上,则=________.
答案
(1)D
(2)
【变式探究】
(1)已知双曲线的一个焦点与抛物线x2=24y的焦点重合,其一条渐近线的倾斜角为30°
,则该双曲线的标准方程为( )
(2)抛物线y2=4x上的两点A,B到焦点的距离之和为8,则线段AB的中点到y轴的距离为________.
答案
(1)B
(2)3
解析
(1)由抛物线x2=24y得焦点坐标为(0,6),
∵双曲线的一个焦点与抛物线x2=24y的焦点相同,
∴c=6,设双曲线的标准方程为-=1(a>
0),又双曲线的一条渐近线的倾斜角为30°
,∴=,即b=a,又∵c2=a2+b2,∴a2=9,b2=27,
∴双曲线的标准方程为-=1.故选B.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由抛物线的定义及题意知,x1+1+x2+1=8,∴x1+x2=6.
∴线段AB的中点到y轴的距离为3.
【名师点睛】
(1)准确把握圆锥曲线的定义和标准方程及其简单几何性质,注意焦点在不同坐标轴上时,椭圆、双曲线、抛物线方程的不同表示形式.
(2)求圆锥曲线方程的基本方法就是待定系数法,可结合草图确定.
【锦囊妙计,战胜自我】
1.圆锥曲线的定义
(1)椭圆:
|PF1|+|PF2|=2a(2a>
|F1F2|);
(2)双曲线:
||PF1|-|PF2||=2a(2a<
(3)抛物线:
|PF|=|PM|,点F不在直线l上,PM⊥l于M.
2.求解圆锥曲线标准方程“先定型,后计算”
所谓“定型”,就是曲线焦点所在的坐标轴的位置;
所谓“计算”,就是指利用待定系数法求出方程中的a2,b2,p的值.
易错起源2、圆锥曲线的几何性质
例2
(1)椭圆Γ:
0)的左,右焦点分别为F1,F2,焦距为2c.若直线y=(x+c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1,则该椭圆的离心率等于________.
(2)已知双曲线-=1的左、右焦点分别为F1、F2,过F1作圆x2+y2=a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C,且|BC|=|CF2|,则双曲线的渐近线方程为( )
A.y=±
3xB.y=±
2x
C.y=±
(+1)xD.y=±
(-1)x
答案
(1)-1
(2)C
易得直线BC的斜率为,cos∠CF1F2=,
又由双曲线的定义及|BC|=|CF2|可得
|CF1|-|CF2|=|BF1|=2a,
|BF2|-|BF1|=2a⇒|BF2|=4a,
故cos∠CF1F2==⇒b2-2ab-2a2=0⇒()2-2()-2=0⇒=1+,
故双曲线的渐近线方程为y=±
(+1)x.
(1)设椭圆C:
+=1(a>b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,P是C上的点,PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°
,则椭圆C的离心率为( )
A.B.C.D.
(2)设双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,右顶点为A,过F作AF的垂线与双曲线交于B,C两点,过B,C分别作AC,AB的垂线,两垂线交于点D,若D到直线BC的距离小于a+,则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是( )
A.(-1,0)∪(0,1)B.(-∞,-1)∪(1,+∞)
C.(-,0)∪(0,)D.(-∞,-)∪(,+∞)
答案
(1)D
(2)A
由-=1可知A(a,0),F(c,0).
易得B,C.
∵kAB==,
∴kCD=.
∵kAC==,
∴kBD=-.
∴lBD:
y-=-(x-c),
即y=-x++,
(1)明确圆锥曲线中a,b,c,e各量之间的关系是求解问题的关键.
(2)在求解有关离心率的问题时,一般并不是直接求出c和a的值,而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几何特点,建立关于参数c,a,b的方程或不等式,通过解方程或不等式求得离心率的值或范围.
1.椭圆、双曲线中,a,b,c之间的关系
(1)在椭圆中:
a2=b2+c2,离心率为e==;
(2)在双曲线中:
c2=a2+b2,离心率为e==.
2.双曲线-=1(a>
0)的渐近线方程为y=±
x.注意离心率e与渐近线的斜率的关系.
易错起源3、直线与圆锥曲线
例3、如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,且右焦点F到直线l:
x=-的距离为3.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过F的直线与椭圆交于A,B两点,线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P,C,若|PC|=2|AB|,求直线AB的方程.
解
(1)由题意,得=且c+=3,
解得a=,c=1,则b=1,
所以椭圆的标准方程为+y2=1.
(2)当AB⊥x轴时,|AB|=,又|CP|=3,不合题意.
当AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2),
将直线AB的方程代入椭圆方程,
得(1+2k2)x2-4k2x+2(k2-1)=0,
则x1,2=,
则P点的坐标为,
从而|PC|=.
因为|PC|=2|AB|,
所以=,
解得k=±
1.
此时直线AB的方程为y=x-1或y=-x+1.
(1)设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围为( )
A.[-,]B.[-2,2]
C.[-1,1]D.[-4,4]
(2)设椭圆C:
+=1与函数y=tan的图象相交于A1,A2两点,若点P在椭圆C上,且直线PA2的斜率的取值范围是[-2,-1],那么直线PA1斜率的取值范围是________.
答案
(1)C
(2)[,]
解析
(1)由题意知抛物线的准线为x=-2,∴Q(-2,0),显然,直线l的斜率存在,故设直线l的方程为y=k(x+2),由得k2x2+4(k2-2)x+4k2=0,
当k=0时,x=0,此时交点为(0,0),当k≠0时,Δ≥0,
即[4(k2-2)]2-16k4≥0,解得-1≤k<
0或0<
k≤1,
解决直线与圆锥曲线问题的通法是联立方程,利用根与系数的关系,设而不求思想,弦长公式等简化计算;
涉及中点弦问题时,也可用“点差法”求解.
判断直线与圆锥曲线公共点的个数或求交点问题有两种常用方法
(1)代数法:
即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x,y的方程组,消去y(或x)得一元方程,此方程根的个数即为交点个数,方程组的解即为交点坐标.
(2)几何法:
即画出直线
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- 高考 数学 四海 八荒 易错集 专题 15 椭圆 双曲线 抛物线