自考线性代数经管类考点Word下载.docx

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一阶行列式

n阶行列式

其中为元素代数余子式.

　5．特殊行列式

上三角行列式

下三角行列式

对角行列式

（二）行列式性质

性质1行列式和它转置行列式相等，即

性质2用数k乘行列式D中某一行（列）所有元素所得到行列式等于kD，也就是说，行列式可以按行和列提出公因数.

性质3互换行列式任意两行（列），行列式值变化符号.

推论1如果行列式中有某两行（列）相似，则此行列式值等于零.

推论2如果行列式中某两行（列）相应元素成比例，则此行列式值等于零.

性质4行列式可以按行（列）拆开.

性质5把行列式D某一行（列）所有元素都乘以同一种数后来加到另一行（列）相应元素上去，所得行列式仍为D.

定理1（行列式展开定理）

n阶行列式等于它任意一行（列）各元素与其相应代数余子式乘积和，即

或

前一式称为D按第i行展开式，后一式称为D按第j列展开式.

本定理阐明，行列式可以按其任意一行或按其任意一列展开来求出它值.

定理2n阶行列式任意一行（列）各元素与另一行（列）相应元素代数余子式乘积之和等于零.即

（三）行列式计算

行列式计算重要采用如下两种基本办法：

（1）运用行列式性质，把原行列式化为上三角（或下三角）行列式再求值，此时要注意是，在互换两行或两列时，必要在新行列式前面乘上（－1），在按行或按列提取公因子k时，必要在新行列式前面乘上k.

（2）把原行列式按选定某一行或某一列展开，把行列式阶数减少，再求出它值，普通是运用性质在某一行或某一列中产生诸各种“0”元素，再按这一行或这一列展开：

　例1　计算行列式

　　解：

观测到第二列第四行元素为0，并且第二列第一行元素是，运用这个元素可以把这一列其他两个非零元素化为0，然后按第二列展开.

　　例2计算行列式

办法1　这个行列式元素具有文字，在计算它值时，切忌用文字作字母，由于文字也许取0值.要注意观测其特点，这个行列式特点是它每一行元素之和均为（咱们把它称为行和相似行列式），咱们可以先把后三列都加到第一列上去，提出第一列公因子，再将后三行都减去第一行：

　　办法2观测到这个行列式每一行元素中有各种b，咱们采用“加边法”来计算，即是构造一种与有相似值五阶行列式：

这样得到一种“箭形”行列式，如果，则原行列式值为零，故不妨假设，即，把后四列倍加到第一列上，可以把第一列（－1）化为零.

例3三阶范德蒙德行列式

（四）克拉默法则

　　定理1（克拉默法则）设具有n个方程n元线性方程组为

如果其系数行列式，则方程组必有唯一解：

其中是把D中第j列换成常数项后得到行列式.

把这个法则应用于齐次线性方程组，则有

定理2设有含n个方程n元齐次线性方程组

如果其系数行列式，则该方程组只有零解：

换句话说，若齐次线性方程组有非零解，则必有，在教材第二章中，将要证明，n个方程n元齐次线性方程组有非零解充分必要条件是系数行列式等于零.

第二章矩阵

（一）矩阵定义

　　　1．矩阵概念

由个数排成一种m行n列数表

称为一种m行n列矩阵或矩阵

当时，称为n阶矩阵或n阶方阵

元素全为零矩阵称为零矩阵，用或O表达

　2．3个惯用特殊方阵：

①n阶对角矩阵是指形如矩阵

②n阶单位方阵是指形如矩阵

③n阶三角矩阵是指形如矩阵

　　3．矩阵与行列式差别

矩阵仅是一种数表，而n阶行列式最后成果为一种数，因而矩阵与行列式是两个完全不同概念，只有一阶方阵是一种数，并且行列式记号“”与矩阵记号“”也不同，不能用错.

（二）矩阵运算

　　1．矩阵同型与相等

设有矩阵，，若，，则说A与B是同型矩阵.若A与B同型,且相应元素相等，即，则称矩阵A与B相等，记为

因而只有当两个矩阵从型号到元素全同样矩阵，才干说相等.

　　2．矩阵加、减法

设，是两个同型矩阵则规定

注意：

只有A与B为同型矩阵，它们才可以相加或相减.

由于矩阵相加体现为元素相加，因而与普通数加法运算有相似运算律.

　　3．数乘运算

设，k为任一种数，则规定

故数k与矩阵A乘积就是A中所有元素都乘以k，要注意数k与行列式D乘积，只是用k乘行列式中某一行或某一列，这两种数乘截然不同.

矩阵数乘运算具备普通数乘法所具备运算律.

　　4．乘法运算

设，，则规定

其中

由此定义可知，只有当左矩阵A列数与右矩阵B行数相等时，AB才故意义，并且矩阵AB行数为A行数，AB列数为B列数，而矩阵AB中元素是由左矩阵A中某一行元素与右矩阵B中某一列元素相应相乘再相加而得到.

故矩阵乘法与普通数乘法有所不同，普通地：

①不满足互换律，即

②在时，不能推出或，因而也不满足消去律.

特别，若矩阵A与B满足，则称A与B可互换，此时A与B必为同阶方阵.

矩阵乘法满足结合律，分派律及与数乘结合律.

　　5．方阵乘幂与多项式方阵

设A为n阶方阵，则规定

特别

又若，则规定

称为A方阵多项式，它也是一种n阶方阵

　　6．矩阵转置

设A为一种矩阵，把A中行与列互换，得到一种矩阵，称为A转置矩阵，记为，转置运算满足如下运算律：

，，，

由转置运算给出对称矩阵，反对称矩阵定义

设A为一种n阶方阵，若A满足，则称A为对称矩阵，若A满足，则称A为反对称矩阵.

7．方阵行列式

矩阵与行列式是两个完全不同概念，但对于n阶方阵，有方阵行列式概念.

设为一种n阶方阵，则由A中元素构成一种n阶行列式，称为方阵A行列式，记为

方阵行列式具备下列性质：

设A，B为n阶方阵，k为数，则

①；

②

③

（三）方阵逆矩阵

　　1．可逆矩阵概念与性质

设A为一种n阶方阵，若存在另一种n阶方阵B，使满足，则把B称为A逆矩阵，且说A为一种可逆矩阵，意指A是一种可以存在逆矩阵矩阵，把A逆矩阵B记为，从而A与一方面必可互换，且乘积为单位方阵E.

逆矩阵具备如下性质：

设A，B为同阶可逆矩阵，为常数，则

①是可逆矩阵，且；

②AB是可逆矩阵，且；

③kA是可逆矩阵，且

④是可逆矩阵，且

⑤可逆矩阵可从矩阵等式同侧消去，即

　　设P为可逆矩阵，则

　　2．随着矩阵

设为一种n阶方阵，为A行列式中元素代数余子式，则矩阵称为A随着矩阵，记为（务必注意中元素排列特点）

随着矩阵必满足

（n为A阶数）

　　3．n阶阵可逆条件与逆矩阵求法

定理：

n阶方阵A可逆，且

推论：

设A，B均为n阶方阵，且满足，则A，B都可逆，且，

　　例1设

（1）求A随着矩阵

（2）a，b，c，d满足什么条件时，A可逆？

此时求

　　解：

（1）对二阶方阵A，求口诀为“主互换，次变号”即

（2）由，故当时，即，A为可逆矩阵

此时

（四）分块矩阵

1．分块矩阵概念与运算

对于行数和列数较高矩阵，为了表达以便和运算简洁，惯用某些贯穿于矩阵横线和纵线把矩阵分割成若干小块，每个小块叫做矩阵子块，以子块为元素形式上矩阵叫做分块矩阵.

在作分块矩阵运算时，加、减法，数乘及转置是完全类似，特别在乘法时，要注意到应使左矩阵A列分块方式与右矩阵B行分块方式一致，然后把子块当作元素来看待，相乘时A各子块分别左乘B相应子块.

2．准对角矩阵逆矩阵

形如分块矩阵称为准对角矩阵，其中均为方阵空白处都是零块.

若都是可逆矩阵，则这个准对角矩阵也可逆，并且

（五）矩阵初等变换与初等方阵

1．初等变换

对一种矩阵A施行如下三种类型变换，称为矩阵初等行（列）变换，统称为初等变换，

（1）互换A某两行（列）；

（2）用一种非零数k乘A某一行（列）；

（3）把A中某一行（列）k倍加到另一行（列）上.

矩阵初等变换与行列式计算有本质区别，行列式计算是求值过程，用等号连接，而对矩阵施行初等变换是变换过程用“”连接先后矩阵.

初等变换是矩阵理论中一种惯用运算，并且最常用是运用矩阵初等行变换把矩阵化成阶梯形矩阵，以至于化为行简化阶梯形矩阵.

2．初等方阵

由单位方阵E通过一次初等变换得到矩阵称为初等方阵.

由于初等变换有三种类型，相应有三种类型初等方阵，依次记为，和，容易证明，初等方阵都是可逆矩阵，且它们逆矩阵还是同一类初等方阵.

3．初等变换与初等方阵关系

设A为任一种矩阵，当在A左边乘一种初等方阵乘积相称于对A作同类型初等行变换；

在A右边乘一种初等方阵乘积相称于对A作同类型初等列变换.

4．矩阵等价与等价原则形

若矩阵A通过若干次初等变换变为B，则称A与B等价，记为

对任一种矩阵A，必与分块矩阵等价，称这个分块矩阵为A等价原则形.即对任一种矩阵A，必存在n阶可逆矩阵P及n阶可逆矩阵Q，使得

5．用初等行变换求可逆矩阵逆矩阵

设A为任一种n阶可逆矩阵，构造矩阵（A，E）

然后

这里初等变换必要是初等行变换.

　　例2求逆矩阵

则

例3求解矩阵方程

令，则矩阵方程为，这里A即为例2中矩阵，是可逆，在矩阵方程两边左乘，得

也能用初等行变换法，不用求出，而直接求

（六）矩阵秩

1．秩定义

设A为矩阵，把A中非零子式最高阶数称为A秩，记为秩或

零矩阵秩为0，因而，对n阶方阵A，若秩，称A为满秩矩阵，否则称为降秩矩阵.

2．秩求法

由于阶梯形矩阵秩就是矩阵中非零行行数，又矩阵初等变换不变化矩阵秩.对任一种矩阵A，只要用初等行变换把A化成阶梯形矩阵T，则秩（A）=秩（T）=T中非零行行数.

3．与满秩矩阵等价条件

n阶方阵A满秩A可逆，即存在B，使

A非奇异，即

A等价原则形为E

A可以表达为有限个初等方阵乘积

齐次线性方程组只有零解

对任意非零列向量b，非齐次线性方程组有唯一解

A行（列）向量组线性无关

A行（列）向量组为一种基

任意n维行（列）向量均可以表达为A行（列）向量组　

　　　　　　　　　　　　　　线性组合，且表达法唯一.

A特性值均不为零

为正定矩阵.

（七）线性方程组消元法.

对任一种线性方程组

可以表达到矩阵形式，其中为系数矩阵，为常数列矩阵，为未知元列矩阵.

从而线性方程组与增广矩阵一一相应.

对于给定线性方程组，可运用矩阵初等行变换，把它增广矩阵化成简化阶梯形矩阵，从而得到易于求解同解线性方程组，然后求出方程组解.

第三章向量空间

（一）n维向量定义与向量组线性组合

1．n维向量定义与向量线性运算

由n个数构成一种有序数组称为一种n维向量，若用一行表达，称为n维行向量，即矩阵，若用一列表达，称为n维列向量，即矩阵

与矩阵线性运算类似，有向量线性运算及运算律.

2．向量线性组合

设是一组n维向量，是一组常数，则称

为一种线性组合，常数称为组合系数.

若一种向量可以表达到

则称是线性组合，或称可用线性表出.

3．矩阵行、列向量组