中考数学一轮复习 第7讲一元二次方程知识归纳+真题解析.docx
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中考数学一轮复习第7讲一元二次方程知识归纳+真题解析
一元二次方程知识归纳+真题解析
【知识归纳】
1.一元二次方程:
在整式方程中,只含个未知数,并且未知数的最高次数是的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是.其中叫做二次项,叫做一次项,叫做常数项;叫做二次项的系数,叫做一次项的系数.
2.一元二次方程的常用解法:
(1)直接开平方法:
形如或的一元二次方程,就可用直接开平方的方法.
(2)配方法:
用配方法解一元二次方程的一般步骤是:
①;②,③,④,⑤如果是非负数,即,就可以用直接开平方求出方程的解.如果n<0,则原方程无解.
(3)公式法:
一元二次方程的求根公式是.
(4)因式分解法:
因式分解法的一般步骤是:
①;②;③令每个因式都等于0,得到两个一元一次方程,解这两个一元一次方程,它们的解就是原一元二次方程的解.
3.一元二次方程根的判别式:
关于x的一元二次方程的根的判别式为.
(1)>0一元二次方程有两个实数根,即.
(2)=0一元二次方程有相等的实数根,即.
(3)<0一元二次方程实数根.
4.一元二次方程根与系数的关系
若关于x的一元二次方程有两根分别为,,那么,.
【知识归纳答案】
1.一元二次方程:
两、2、.、、bx、c、a、b.
2.一元二次方程的常用解法:
(1)直接开平方法:
、
(2)配方法:
①化二次项系数为1,即方程两边同时除以二次项系数;②移项,使方程左边为二次项和一次项,右边为常数项,③配方,即方程两边都加上一次项系数一半的平方,④化原方程为的形式,⑤如果是非负数,即,就可以用直接开平方求出方程的解.如果n<0,则原方程无解.
(3)公式法:
.
(4)因式分解法:
①将方程的右边化为0;②将方程的左边化成两个一次因式的乘积;③令每个因式都等于0,得到两个一元一次方程,解这两个一元一次方程,它们的解就是原一元二次方程的解.
3.一元二次方程根的判别式:
.
(1)不等、.
(2)两个、.
(3)没有
4.一元二次方程根与系数的关系,.
真题解析
1.若1﹣是方程x2﹣2x+c=0的一个根,则c的值为( )
A.﹣2B.4﹣2C.3﹣D.1+
【考点】A3:
一元二次方程的解.
【分析】把x=1﹣代入已知方程,可以列出关于c的新方程,通过解新方程即可求得c的值.
【解答】解:
∵关于x的方程x2﹣2x+c=0的一个根是1﹣,
∴(1﹣)2﹣2(1﹣)+c=0,
解得,c=﹣2.
故选:
A.
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2.我们知道方程x2+2x﹣3=0的解是x1=1,x2=﹣3,现给出另一个方程(2x+3)2+2(2x+3)﹣3=0,它的解是( )
A.x1=1,x2=3B.x1=1,x2=﹣3C.x1=﹣1,x2=3D.x1=﹣1,x2=﹣3
【考点】A3:
一元二次方程的解.
【分析】先把方程(2x+3)2+2(2x+3)﹣3=0看作关于2x+3的一元二次方程,利用题中的解得到2x+3=1或2x+3=﹣3,然后解两个一元一次方程即可.
【解答】解:
把方程(2x+3)2+2(2x+3)﹣3=0看作关于2x+3的一元二次方程,
所以2x+3=1或2x+3=﹣3,
所以x1=﹣1,x2=﹣3.
故选D.
3.若|x2﹣4x+4|与互为相反数,则x+y的值为( )
A.3B.4C.6D.9
【考点】A6:
解一元二次方程﹣配方法;16:
非负数的性质:
绝对值;23:
非负数的性质:
算术平方根.
【分析】根据相反数的定义得到|x2﹣4x+4|+=0,再根据非负数的性质得x2﹣4x+4=0,2x﹣y﹣3=0,然后利用配方法求出x,再求出y,最后计算它们的和即可.
【解答】解:
根据题意得|x2﹣4x+4|+=0,
所以|x2﹣4x+4|=0,=0,
即(x﹣2)2=0,2x﹣y﹣3=0,
所以x=2,y=1,
所以x+y=3.
故选A.
4.三角形的两边a、b的夹角为60°且满足方程x2﹣3x+4=0,则第三边的长是( )
A.B.2C.2D.3
【考点】A8:
解一元二次方程﹣因式分解法;T7:
解直角三角形.
【分析】先利用因式分解法解方程x2﹣3x+4=0得到a=2,b=,如图,△ABC中,a=2,b=,∠C=60°,作AH⊥BC于H,再在Rt△ACH中,利用含30度的直角三角形三边的关系得到CH=,AH=,则BH=,然后在Rt△ABH中利用勾股定理计算AB的长即可.
【解答】解:
x2﹣3x+4=0,
(x﹣2)(x﹣)=0,
所以x1=2,x2=,
即a=2,b=,
如图,△ABC中,a=2,b=,∠C=60°,
作AH⊥BC于H,
在Rt△ACH中,∵∠C=60°,
∴CH=AC=,AH=CH=,
∴BH=2﹣=,
在Rt△ABH中,AB==,
即三角形的第三边的长是.
故选A.
5.已知a、b、c为常数,点P(a,c)在第二象限,则关于x的方程ax2+bx+c=0根的情况是( )
A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根
C.没有实数根D.无法判断
【考点】AA:
根的判别式;D1:
点的坐标.
【分析】先利用第二象限点的坐标特征得到ac<0,则判断△>0,然后根据判别式的意义判断方程根的情况.
【解答】解:
∵点P(a,c)在第二象限,
∴a<0,c>0,
∴ac<0,
∴△=b2﹣4ac>0,
∴方程有两个不相等的实数根.
故选B.
6.下列方程中,没有实数根的是( )
A.x2﹣2x=0B.x2﹣2x﹣1=0C.x2﹣2x+1=0D.x2﹣2x+2=0
【考点】AA:
根的判别式.
【分析】分别计算各方程的判别式的值,然后根据判别式的意义判定方程根的情况即可.
【解答】解:
A、△=(﹣2)2﹣4×1×0=4>0,方程有两个不相等的实数根,所以A选项错误;
B、△=(﹣2)2﹣4×1×(﹣1)=8>0,方程有两个不相等的实数根,所以B选项错误;
C、△=(﹣2)2﹣4×1×1=0,方程有两个相等的实数根,所以C选项错误;
D、△=(﹣2)2﹣4×1×2=﹣4<0,方程没有实数根,所以D选项正确.
故选D.
二.填空题(共5小题)
7.已知x=1是关于x的方程ax2﹣2x+3=0的一个根,则a= ﹣1 .
【考点】A3:
一元二次方程的解.
【分析】根据一元二次方程的解的定义,把x=1代入方程得到关于a的一次方程,然后解一次方程即可.
【解答】解:
把x=1代入方程,得a﹣2+3=0,
解得a=﹣1.
故答案为﹣1.
8.关于x的方程x2+2x+c=0有两个不相等的实数根,则c的取值范围为 c<1 .
【考点】AA:
根的判别式.
【分析】根据方程的系数结合根的判别式,即可得出关于c的一元一次不等式,解之即可得出结论.
【解答】解:
∵关于x的方程x2+2x+c=0有两个不相等的实数根,
∴△=22﹣4c=4﹣4c>0,
解得:
c<1.
故答案为:
c<1.
9.在△ABC中BC=2,AB=2,AC=b,且关于x的方程x2﹣4x+b=0有两个相等的实数根,则AC边上的中线长为 2 .
【考点】AA:
根的判别式;KP:
直角三角形斜边上的中线;KS:
勾股定理的逆定理.
【分析】由根的判别式求出AC=b=4,由勾股定理的逆定理证出△ABC是直角三角形,再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结论.
【解答】解:
∵关于x的方程x2﹣4x+b=0有两个相等的实数根,
∴△=16﹣4b=0,
∴AC=b=4,
∵BC=2,AB=2,
∴BC2+AB2=AC2,
∴△ABC是直角三角形,AC是斜边,
∴AC边上的中线长=AC=2;
故答案为:
2.
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10.经过两次连续降价,某药品销售单价由原来的50元降到32元,设该药品平均每次降价的百分率为x,根据题意可列方程是 50(1﹣x)2=32 .
【考点】AC:
由实际问题抽象出一元二次方程.
【分析】根据某药品经过连续两次降价,销售单价由原来50元降到32元,平均每次降价的百分率为x,可以列出相应的方程即可.
【解答】解:
由题意可得,
50(1﹣x)2=32,
故答案为:
50(1﹣x)2=32.
11.原价100元的某商品,连续两次降价后售价为81元,若每次降低的百分率相同,则降低的百分率为 10% .
【考点】AD:
一元二次方程的应用.
【分析】先设平均每次降价的百分率为x,得出第一次降价后的售价是原来的(1﹣x),第二次降价后的售价是原来的(1﹣x)2,再根据题意列出方程解答即可.
【解答】解:
设这两次的百分率是x,根据题意列方程得
100×(1﹣x)2=81,
解得x1=0.1=10%,x2=1.9(不符合题意,舍去).
答:
这两次的百分率是10%.
故答案为:
10%.
三.解答题(共8小题)
12.根据要求,解答下列问题:
①方程x2﹣2x+1=0的解为 x1=x2=1 ;
②方程x2﹣3x+2=0的解为 x1=1,x2=2 ;
③方程x2﹣4x+3=0的解为 x1=1,x2=3 ;
…
(2)根据以上方程特征及其解的特征,请猜想:
①方程x2﹣9x+8=0的解为 1、8 ;
②关于x的方程 x2﹣(1+n)x+n=0 的解为x1=1,x2=n.
(3)请用配方法解方程x2﹣9x+8=0,以验证猜想结论的正确性.
【考点】A6:
解一元二次方程﹣配方法;A3:
一元二次方程的解;A8:
解一元二次方程﹣因式分解法.
【分析】
(1)利用因式分解法解各方程即可;
(2)根据以上方程特征及其解的特征,可判定方程x2﹣9x+8=0的解为1和8;②关于x的方程的解为x1=1,x2=n,则此一元二次方程的二次项系数为1,则一次项系数为1和n的和的相反数,常数项为1和n的积.
(3)利用配方法解方程x2﹣9x+8=0可判断猜想结论的正确.
【解答】解:
(1)①(x﹣1)2=0,解得x1=x2=1,即方程x2﹣2x+1=0的解为x1=x2=1,;
②(x﹣1)(x﹣2)=0,解得x1=1,x2=2,所以方程x2﹣3x+2=0的解为x1=1,x2=2,;
③(x﹣1)(x﹣3)=0,解得x1=1,x2=3,方程x2﹣4x+3=0的解为x1=1,x2=3;
…
(2)根据以上方程特征及其解的特征,请猜想:
①方程x2﹣9x+8=0的解为x1=1,x2=8;
②关于x的方程x2﹣(1+n)x+n=0的解为x1=1,x2=n.
(3)x2﹣9x=﹣8,
x2﹣9x+=﹣8+,
(x﹣)2=
x﹣=±,
所以x1=1,x2=8;
所以猜想正确.
故答案为x1=x2=1;x1=1,x2=2;x1=1,x2=3;x2﹣(1+n)x+n=0;
13.由多项式乘法:
(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab,将该式从右到左使用,即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式:
x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
示例:
分解因式:
x2+5x+6=x2+(2+3)x+2×3=(x+2)(x+3)
(1)尝试:
分解因式:
x2+6x+8=(x+ 2 )(x+ 4 );
(2)应用:
请用上述方法解方程:
x2﹣3x﹣4=0.
【考点】A8:
解一元二次方程﹣因式分解法;57:
因式分解﹣十字相乘法等.
【分析】
(1)类比题干因式分解方法求解可得;
(2)利用十字相乘法将左边因式分解后求解可得.
【解答】解:
(1)x2+6x+8=x2+(2+4)x=2×4=(x+2)(x+4),
故答案为:
2,4;
(2)∵x2﹣3x﹣4=0,
∴(x+1)(x﹣4)=0,
则x+1=0或x﹣4=0,
解得:
x=﹣1或x=4.
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14.已知关于x
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