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第十一讲
进位制与位值原理
经典精讲
进位制部分重点在于各种进位制与十进制之间转换及计算的规律,并熟悉进制的应用.
在有些数论问题中,用代数式来表示数往往能使问题迎刃而解,或收到意想不到的效果,起到简化解题过程的作用.
⑴掌握进位制的基本方法和常见技巧;
⑵了解整数的代数表现形式并能熟练应用.
同学们在进行整数四则计算时,用的都是十进制,即“满十进一”,十进制是最常用的进位制,这与人们屈指计数的习惯相符,使用起来也很方便.随着人类对数的认识不断深入,产生了各种不同的进位制,我们来一起看一些例子.
两只袜子为一双,两只水桶为一对,这里使用的是二进制;十二支铅笔为一打,十二个月算一年,这里使用的是十二进制;六十秒是一分,六十分是一时,这里使用的是六十进制;二十四时为一天,这里使用的是二十四进制;平方分米等于平方米,平方厘米等于平方分米,这里使用的是一百进制;米等于千米,克等于千克,这里使用的是一千进制;…….
进制问题与我们的生活息息相关,我们有必要掌握一些进制方面的知识,它会给我们的生活带来很多便利哦!
什么叫二进制
所谓二进制,就是只用与两个数字,在计数与计算时必须是“满二进一”.
大家知道:
数是计算物体的个数而引进的,代表什么也没有,有一个,记为“”;再多一个,记为“”(在十进制下记为);比“”再多一个,记为“”.依次类推,我们很容易接受二进制下从小到大的数列,列表如下:
十进制
二进制
十进制
二进制
十进制
二进制
十进制
二进制
1
2
3
4
1
10
11
100
5
6
7
8
101
110
111
1000
9
10
11
12
1001
1010
1011
1100
13
14
15
16
1101
1110
1111
10000
二进制的最大优点是:
每个数的各个数位上只有两种状态——0或1.这样,我们便可以通过简单的方法,例如白与黑、虚与实、负与正、点与划、小与大、暗与亮(在计算机中主要用电压的高与低)等等手段加以表示.当然,二进制也有不足,正如大家看到的那样,同一个数在二进制中要比在十进制中位数多得多.
十进制与二进制的互相转化
今天,当我们写上一个数目时,实际上意味着我们使用了“十进制”数,,也就是说:
中含有一个,九个,九个与九个.
为了叙述的方便,我们约定:
用表示括号内写的数是二进制数,如;用表示括号中写的数是十进制数,如;十进制的标志可省略,就代表十进制下的数.
二进制数表示十进制数;二进制数,表示十进制数;二进制数,表示十进制数;二进制数表示十进制数;…;可以看出规律:
二进制数应该表示十进制数,.那么我们可以得到,二进制数中计数单位与十进制数有如下关系:
二进制数
十进制数
⑴关于进位制的两个需要注意的地方:
二进制数有0,1两个数符,由低位向高位是“逢二进一”;八进制数有0,1,2,……,7八个数符,由低位向高位是“逢八进一”;十六进制数有0,1,2,……,13,14,15十六个数符,由低位向高位是“逢十六进一”.根据科学技术的需要,还可以扩充其他进位制数的概念和运算.
为了区别各种进位制数,进制中的数用表示.如果,那么从10到的这些数符可用专门记号(一般情况下用大写英文字母)来表示.比如,用表示10,表示11,表示12,表示13,表示14,表示15等等.
⑵十进制数与进制数的互换:
进制数写成十进制数是.
十进制数化成进制数,只要把十进制数用除,记下余数;再用除它的商,又记下余数;直到商为0;将余数自下而上依次排列,就得到一个进制的数.这叫做“除取余法”.
如把1234化成三进制数:
所以,.
⑶一般地,一个自然数可表示为的形式,其中,,…,,是0,1,2,3,…,9中的一个,且,即:
.
这就是十进制数,记作,简记为.十进制数有两个特征:
一是有十个不同的数符:
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9;
二是“逢十进一”的法则:
有个、十、百、千等自右向左的数位和十分位、百分位、千分位等自左向右的数位.
⑷对于进位制需要注意其本质:
进制就是逢进一.
例1
[分析]掌握十进制转化为进制的基本方法:
短除法.以和为例.我们用2去除37,记下每次得到的余数,一直除到商为0为止.然后将余数由下至上写出来,就是37的二进制数..
同样的方法,我们用8去除888,一直除到商为0为止,把余数由下至上写出来,得到:
.
.
[巩固](基础学案1)将、改写成二进制数.
[分析]可以按照短除法来做,也可以按照如下的方法.
[巩固](提高学案1)将、改写成七进制数.
[分析]短除法.;
[提高](尖子学案1)十六进制从古至今一直影响着我们的日常生活.我国古代1斤等于十六两,所以会有“半斤八两”这样一个成语.现在,我们通常用来表示十六进制中的.那么,聪明的同学们,你们能把十进制中的234化成十六进制数吗?
[分析]仍然用短除法.
例2
[分析]进制数化为十进制数的一般方法是:
首先将进制数按的次幂形式展开,然后按十进制数相加即可得结果.
当然计算时,数位是0的可以省略.
例3
[分析]
(1)可转化成十进制来计算:
;
如果对进制的知识较熟悉,可直接在二进制下对进行除法计算,只是每次借位都是2,可得;
(2)十进制中,两个数的和是整十整百整千的话,我们称为“互补数”,凑出“互补数”的这种方法叫“凑整法”,在进制中也有“凑整法”,要凑的就是整.
原式
;
(3)本题涉及到3个不同的进位制,应统一到一个进制下.统一到十进制比较适宜:
.
[铺垫](基础学案2)尝试用竖式来计算二进制的加减法
[分析]十进制的加减法运算,需要“满十进一”,“借十当一”.那么在二进制里面也一样,“满二进一”,“借二当一”.
[铺垫](提高学案2)尝试用竖式来计算二进制的乘除法
[分析]⑴列竖式:
⑵列竖式:
得:
得:
[拓展](尖子学案2)完成下列进制的转化
[分析]不同进制之间的互化有一个通法,就是先化成十进制,再从十进制再转化.二进制和十六进制的互化有一个更简单的方法.二进制是计算机工作的基本语言.但是二进制数位太长了,不利于人类识别和使用,因此我们把二进制的每4位和在一起,就变成了十六进制.
那么第一个问题,我们把它每4位数码合在一起
,因此.
第二个问题,我们把它每一位拆成4位二进制数,
,因此,.
例4
[分析]利用尾数分析来解决这个问题:
由于,由于式中为100,尾数为0,也就是说已经将12全部进到上一位.所以说进位制为12的约数,也就是12,6,4,3,2中的一个.
但是式子中出现了4,所以要比4大,不可能是4,3,2进制.另外,由于,因为,也就是说不到10就已经进位,才能是100,于是知道,那么不能是12.
所以,只能是6.
[巩固](基础学案3)在几进制中有?
[分析]注意,因为,所以一定是不到10就已经进位,才能得到16324,所以.再注意尾数分析,,而16324的末位为4,于是进到上一位.
所以说进位制为21的约数,又小于10,也就是可能为7或3.
因为出现了6,所以只能是7.
[拓展](提高学案3)算式是几进制数的乘法?
[分析]注意到尾数,在足够大的进位制中有乘积的个位数字为,但是现在为4,说明进走,所以进位制为16的约数,可能为16、8、4或2.
因为原式中有数字5,所以不可能为4、2进位,而在十进制中有,所以在原式中不到10就有进位,即进位制小于10,于是原式为8进制.
[拓展](尖子学案3)记号表示k进制的数,如果是的两倍,那么,在十进制表示的数是多少?
[分析]可用位值原理来进行计算.
,依题意,,解得.
.
例5
[分析]设此数为,利用位值原理转化为十进制数.
.又是三进制中的数字,所以,那么易得,.十进制表示是22.
[巩固]在七进制中有三位数,化为九进制为,求这个三位数在十进制中为多少?
[分析]首先还原为十进制:
;.
于是;得到,即.
因为是8的倍数,也是8的倍数,所以也应该是8的倍数,于是或8.但是在7进制下,不可能有8这个数字.于是,,则.
所以为的倍数,为3的倍数.所以,或5,但是,首位不可以是0,于是,;所以.
于是,这个三位数在十进制中为248.
[拓展]用分别代表五进制中五个互不相同的数字,如果,,是由小到大排列的连续正整数,那么所表示的整数写成十进制的表示是多少?
[分析]注意,第二位改变了,也就是说求和过程个位有进位,则,而,则.
而,所以,则.
又,所以,.
那么,为.
即所表示的整数写成十进制的表示是108.
[提高]自然数化为二进制后是一个7位数,那么x是多少?
[分析]根据位值原理,
于是.又是二进制中的数字,因此,那么易得..
[补充]是自然数,进制数和进制数相等,的最小值是多少?
[分析],根据位值原理,.
左右两边取4的模,有,那么,的最小值是9,此时.那么,.
例6
[分析]若给每个盒子分别放入:
,,,,发子弹,即相当于二进制数中的:
,,,,即在十个盒子对应的数位上是1,而其余位上均为0.这样我们可以任意抽出:
以内的任何发子弹,但由于现在总共只有1000发子弹,所以先在前9个盒子中分别装:
,,,,发子弹,相当于二进制数中的,,,,发子弹,最后一个盒子中只能放发子弹,即发子弹.即可凑出1000以内的任何数发子弹.所以十个盒子中应分别装子弹数为:
1,2,4,8,16,32,64,128,256,489.
[铺垫](基础学案4)茶叶店以“两”为单位整两出售茶叶,顾客来买茶叶时,店员们先用天平称出重量,再打成小包交给顾客.由于顾客时多时少,所以店员们有时忙不过来,有时又闲的无事.于是,老板想出一个办法,闲的时候让店员们将茶叶称好后打成小包,忙的时候让店员们直接拿出小包交给顾客,省去了用天平称重量,效率大大提高.现在我们的问题是:
如果顾客要买中的任何整两数茶叶,那么茶叶店至少要有几包茶叶才能一次付给顾客?
这些茶叶的重量分别是多少两?
[分析]我们知道任何一个正整数都可以唯一的用二进制数来表示.因为,所以用,,,,就可以表示中的所有整数.因为,,,,,所以茶叶店只要有包茶叶,分别重,,,,两,就可以满足一位顾客两茶叶的需要.
[拓展](提高学案4)现有六个筹码,上面分别标有数值:
.任意搭配这些筹码(也可以只选择一个筹码)可以得到很多不同的和,将这些和从小到大排列起来,第个是多少?
[分析]由例题我们可以知道一共有个不同的和.在2进制中的第39个非零自然数,即将10进制中的39转化为2进制,应记为:
.
所以,在3进制中,只用1和0表示的数,第39个也是100111,将其转化为10进制,有.即其中第39个数是256.
[拓展](尖子学案4)我们可以通过天平和砝码来称量物体的重量.一般来说我们把砝码放在天平的左边,物体放在右边.现在我希望这台天平能称量从1克到1000克的所有整数克的物体,那么最少需要几个砝码?
[分析]称量1克,需要1克的砝码;
称量2克,需要2克的砝码;
称量3克,需要1克和2克的砝码;
称量4克,需要4克的砝码;
……
有了这3个砝码,我们可以称量1克到7克的所有重量了,接下来
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