全国卷理科数学十年真题分类汇编导数Word格式文档下载.docx

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从而，f（x）在（－∞，0）上单调递减，在（0，＋∞）上单调递增．

（2）由已知条件得ex－（a＋1）x≥b.①

（ⅰ）若a＋1＜0，则对任意常数b，当x＜0，且时，可得ex－（a＋1）x＜b，因此①式不成立．

（ⅱ）若a＋1＝0，则（a＋1）b＝0.

所以f（x）≥x2＋ax＋b等价于

b≤a＋1－（a＋1）ln（a＋1）．②

因此（a＋1）b≤（a＋1）2－（a＋1）2ln（a＋1）．

设h（a）＝（a＋1）2－（a＋1）2ln（a＋1），

则h′（a）＝（a＋1）（1－2ln（a＋1））．

所以h（a）在（－1，）上单调递增，在（，＋∞）上单调递减，

故h（a）在处取得最大值．

从而，即（a＋1）b≤.

当，时，②式成立，

故f（x）≥x2＋ax＋b.

综合得，（a＋1）b的最大值为.

4.【2009全国卷Ⅰ，理22】

设函数=x3+3bx2+3cx有两个极值点x1、x2，且x1∈－1，0］，x2∈1,2］.

（Ⅰ）求b、c满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点（b，c）的区域；

（Ⅱ）证明：

－10≤f（x2）≤.

满足这些条件的点（b,c）的区域为图中阴影部分.

（Ⅱ）由题设知f′（x2）=3x22+6bx2+3c=0,故.

于是f（x2）=x22+3bx22+3cx2=.

由于x2∈1,2］,而由（Ⅰ）知c≤0,故

-4+3c≤f（x2）≤.

又由（Ⅰ）知-2≤c≤0,

所以-10≤f（x2）≤.

5.【2008全国1，理19】

（本小题满分12分）

已知函数，．

（Ⅰ）讨论函数的单调区间；

（Ⅱ）设函数在区间内是减函数，求的取值范围．

（2），且解得：

二．能力题组

1.【2011全国新课标，理9】由曲线，直线y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为（　　）

A．B．4C．D．6

【答案】C

2.【2011全国，理8】曲线y＝e－2x＋1在点（0，2）处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为（　　）

A.B．C．D．1

【答案】：

A

【解析】：

，故曲线在点（0,2）处的切线方程为，易得切线与直线和围成的三角形的面积为。

3.【2009全国卷Ⅰ，理9】已知直线y=x+1与曲线y=ln（x+a）相切，则a的值为（）

A.1B.2C.-1D.-2

【答案】B

4.【2008全国1，理7】设曲线在点处的切线与直线垂直，则（）

A．2B．C．D．

【答案】D.

5.【2014课标Ⅰ，理21】

（12分）设函数，曲线在点处的切线方程为

（I）求

（II）证明：

【答案】

（I）；

（II）详见解析.

三．拔高题组

1.【2013课标全国Ⅰ，理21】

（本小题满分12分）设函数f（x）＝x2＋ax＋b，g（x）＝ex（cx＋d）．若曲线y＝f（x）和曲线y＝g（x）都过点P（0,2），且在点P处有相同的切线y＝4x＋2.

（1）求a，b，c，d的值；

（2）若x≥－2时，f（x）≤kg（x），求k的取值范围．

（1）由已知得f（0）＝2，g（0）＝2，f′（0）＝4，g′（0）＝4.

而f′（x）＝2x＋a，g′（x）＝ex（cx＋d＋c），

故b＝2，d＝2，a＝4，d＋c＝4.

从而a＝4，b＝2，c＝2，d＝2.

（2）由

（1）知，f（x）＝x2＋4x＋2，g（x）＝2ex（x＋1）．

设函数F（x）＝kg（x）－f（x）＝2kex（x＋1）－x2－4x－2，

则F′（x）＝2kex（x＋2）－2x－4＝2（x＋2）（kex－1）．

由题设可得F（0）≥0，即k≥1.

令F′（x）＝0得x1＝－lnk，x2＝－2.

①若1≤k＜e2，则－2＜x1≤0.从而当x∈（－2，x1）时，F′（x）＜0；

当x∈（x1，＋∞）时，F′（x）＞0.即F（x）在（－2，x1）单调递减，在（x1，＋∞）单调递增．故F（x）在－2，＋∞）的最小值为F（x1）．

而F（x1）＝2x1＋2－－4x1－2＝－x1（x1＋2）≥0.

故当x≥－2时，F（x）≥0，即f（x）≤kg（x）恒成立．

②若k＝e2，则F′（x）＝2e2（x＋2）（ex－e－2）．

从而当x＞－2时，F′（x）＞0，即F（x）在（－2，＋∞）单调递增．

而F（－2）＝0，故当x≥－2时，F（x）≥0，即f（x）≤kg（x）恒成立．

③若k＞e2，则F（－2）＝－2ke－2＋2＝－2e－2（k－e2）＜0.

从而当x≥－2时，f（x）≤kg（x）不可能恒成立．

综上，k的取值范围是1，e2]．

2.【2011全国新课标，理21】已知函数，曲线y＝f（x）在点（1，f

（1））处的切线方程为x＋2y－3＝0.

（1）求a，b的值；

（2）如果当x＞0，且x≠1时，，求k的取值范围．

（1）.

由于直线x＋2y－3＝0的斜率为－，且过点（1，1），故即解得

（ⅰ）设k≤0.由知，当x≠1时，h′（x）＜0.而h

（1）＝0，故当x∈（0，1）时，h（x）＞0，可得；

当x∈（1，＋∞）时，h（x）＜0，可得.

从而当x＞0，且x≠1时，，

即.

（ⅱ）设0＜k＜1.由于当x∈（1，）时，（k－1）（x2＋1）＋2x＞0，故h′（x）＞0.而h

（1）＝0，故当x∈（1，）时，h（x）＞0，可得，与题设矛盾．

（ⅲ）设k≥1.此时h′（x）＞0，而h

（1）＝0，故当x∈（1，＋∞）时，h（x）＞0，可得.与题设矛盾．

综合得，k的取值范围为（－∞，0]．

3.【2011全国，理22】

（1）设函数，证明：

当x＞0时，f（x）＞0；

（2）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽得的20个号码互不相同的概率为p.证明：

.

由

（1）知：

当x＞0时，，

因此.

在上式中，令，则，即.

所以.

4.【2010新课标，理21】

（12分）（理）设函数f（x）＝ex－1－x－ax2.

（1）若a＝0，求f（x）的单调区间；

（2）若当x≥0时f（x）≥0，求a的取值范围．

（1）a＝0时，f（x）＝ex－1－x，f′（x）＝ex－1.

当x∈（－∞，0）时，f′（x）＜0；

当x∈（0，＋∞）时，f′（x）＞0.故f（x）在（－∞，0）上单调减少，在（0，＋∞）上单调增加．

（2）f′（x）＝ex－1－2ax.

由

（1）知ex≥1＋x，当且仅当x＝0时等号成立，

故f′（x）≥x－2ax＝（1－2a）x，

从而当1－2a≥0，

即a≤时，f′（x）≥0（x≥0），而f（0）＝0，

于是当x≥0时，f（x）≥0.

由ex＞1＋x（x≠0）可得e－x＞1－x（x≠0）．从而当a＞时，

f′（x）＜ex－1＋2a（e－x－1）＝e－x（ex－1）（ex－2a），

故当x∈（0，ln2a）时，f′（x）＜0，而f（0）＝0，于是当x∈（0，ln2a）时，f（x）＜0.

综合得a的取值范围为（－∞，]．

5.【2008全国1，理22】

设函数．数列满足，．

（Ⅰ）证明：

函数在区间是增函数；

（Ⅱ）证明：

；

（Ⅲ）设，整数．证明：

．

（ⅱ）假设当时，成立，即

那么当时，由在区间是增函数，得

.而，则，

，也就是说当时，也成立；

根据（ⅰ）、（ⅱ）可得对任意的正整数，恒成立.

6.【2006全国，理21】

（本小题满分14分）

已知函数.

（Ⅰ）设讨论的单调性；

（Ⅱ）若对任意恒有，求a的取值范围。

（Ⅰ）的定义域为对求导数得

（i）当时，，在和均大于0，所以在，为增函数.

（ii）当0＜a＜2时，＞0，在，为增函数.

（iii）当时，

令，解得

当变化时，和的变化情况如下表，

+

－

↗

↘

在，，为增函数，

在为减函数.

（iii）当时，对任意，恒有且，得

综上当且仅当时，对任意恒有

7.【2015高考新课标1，理12】设函数=,其中a1，若存在唯一的整数，使得0，则的取值范围是（）

（A）-，1）（B）-，）（C），）（D），1）

【答案】D

【解析】设=，，由题知存在唯一的整数，使得在直线的下方.因为，所以当时，＜0，当时，＞0，所以当时，=，当时，=-1，，直线恒过（1,0）斜率且，故，且，解得≤＜1，故选D.

【考点定位】本题主要通过利用导数研究函数的图像与性质解决不等式成立问题

8.【2015高考新课标1，理21】已知函数f（x）=.

（Ⅰ）当a为何值时，x轴为曲线的切线；

（Ⅱ）用表示m,n中的最小值，设函数，讨论h（x）零点的个数.

（Ⅰ）；

（Ⅱ）当或时，由一个零点；

当或时，有两个零点；

当时，有三个零点.

（Ⅱ）当时，，从而，

∴在（1，+∞）无零点.

当=1时，若，则，,故=1是的零点；

若，则，,故=1不是的零点.

当时，，所以只需考虑在（0,1）的零点个数.

（ⅰ）若或，则在（0,1）无零点，故在（0,1）单调，而，

，所以当时，在（0，1）有一个零点；

当0时，在（0，1）无零点.

③若＜0，即，由于，，所以当时，在（0,1）有两个零点；

当时，在（0,1）有一个零点.…10分

综上，当或时，由一个零点；

当

时，有三个零点.……12分

【考点定位】利用导数研究曲线的切线；

对新概念的理解；

分段函数的零点；

分类整合思想

9.【2016高考新课标理数1】已知函数有两个零点.

（I）求a的取值范围；

（II）设x1，x2是的两个零点，证明：

（II）见解析

【解析】

试题分析：

（I）求导，根据导函数的符号来确定（主要要根据导函数零点来分类）；

（II）借助（I）的结论来证明，由单调性可知等价于，即．设，则．则当时，，而，故当时，．从而，故．

（iii）设，由得或．

若，则，故当时，，因此在单调递增．又当时，所以不存在两个零点．

若，则，故当时，；

当时，．因此在单调递减，在单调递增．又当时，，所以不存在两个零点．

综上，的取值范围为．

（Ⅱ）不妨设，由（Ⅰ）知，，在单调递减，所以等价于，即．

由于，而，所以

设，则．

所以当时，，而，故当时，．

从而，故．

【考点】导数及其应用

【名师点睛】对于含有参数的函数单调性、极值、零点问题,通常要根据参数进行分类讨论,要注意分类讨论的原则：

互斥