中考专题之与三角形有关的辅助线Word文件下载.docx
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例4、已知:
如图,在△ABC中,AB=AC,D点在AB上,E在AC延长线上,且BD=CE,连结DE交BC于点F。
DF=EF。
DF=EF证明如下:
过点D作平行于BC的直线交AC于点G因为AB=AC;
DG//BC所以BD=CG又BD=CE,故CG=CE又因为CF//DG所以CF是三角形DEG的中位线所以F是DE的中点所以DF=EF
综合演练:
1、如图,菱形ABCD的边长为2,BD=2,E、F分别是边AD、CD上的两个动点,且满足AE+CF=2。
(1)求证:
△BDE≌△BCF;
(2)判断△BEF的形状,并说明理由;
(3)设△BEF的面积为S,求S的取值范围。
(1)AE+CF=2=CD=DF+CF∴AE=DFAB=BD∠A=∠BDF=60°
∴△BDE全等于△BCF
(2)由
(1)得BE=BF且∠EBF=∠EBD+∠DBF=∠EBD+∠ABE=∠ABD=60°
∴△BEF是等边三角形(3)3√3/4<
=S<
=√3
第二节直角三角形常用的辅助线
例1、如图,在△ABC中,∠ACB=90°
,AC=BC,AD是∠BAC的平分线,求证:
AC+CD=AB。
例2、如图,AC=BD,AD⊥AC,BD⊥BC,求证:
AD=BC。
1、如图,CD是斜边AB上的高,将△BCD沿CD折叠,B点恰好落在AB的中点E处。
则∠A等于()
A、25°
B、30°
C、45°
D、60°
2、如图
(1),△ABC的边BC在直线上,AC⊥BC,且AC=BC;
△EFP的边FP也在直线上,边EF与边AC重合,且EF=FP。
(1)在图
(1)中,请你通过观察、测量,猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系;
(2)将△EFP沿直线向左平移到图
(2)所示的位置时,EP交AC于点Q,连结AP、BQ。
猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系,请证明你的猜想。
(3)将△EFP沿直线向左平移到图(3)所示的位置时,EP的延长线交AC的延长线于点Q,连结AP、BQ。
你认为图
(2)中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗?
若成立,给出证明;
若不成立,请说明理由。
3、如图,在锐角△ABC中,BE、CF是高,在BE、CF或其延长线上分别截取CP=AB,BQ=AC,分别过P、Q作PM⊥BC、QN⊥BC,M、N是垂足,求证:
PM+QN=BC。
第三节全等三角形的辅助线
例1、已知:
如图,在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AC边上一点,BE与AD交于F,若AE=EF。
AC=BF。
例2、
(1)已知:
如图
(1)在四边形ABCD中,BC>AB,AD=CD,BD平分∠ABC。
∠BAD+∠C=180°
。
(2)已知:
如图
(2)在△ABC中,BE是∠ABC的平分线,AD⊥BE,垂足为D。
∠BAD=∠DAC+∠C。
如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=80°
,P为△ABC内一点,若∠PBC=10°
,∠PCB=30°
,求∠PAB的度数。
如图,BD是四边形ABCD的∠ABC的平分线,∠A+∠BCD=180°
AD=DC。
例5、已知:
如图,在△ABC中,DE∥GF∥BC,且AD=GB。
AE=CF。
例6、已知:
如图,P为∠AOB平分线OP上一点,PC⊥OA于C,∠OAP+∠OBP=180°
AO+BO=2OC。
例7、如图,在△ABC中,∠B=60°
,AD、CE是△ABC的角平分线,且交于点O。
AC=AE+CD。
1、操作:
如图①,△ABC是正三角形,△BDC是顶角∠BDC=120°
的等腰三角形,以D为顶点作一个60°
的角,角的两边分别交AB、AC边于M、N两点,连结MN。
探究:
线段BM、MN、NC之间的关系,并加以证明。
说明:
(1)如果你经历反复探究,没有找到解决问题上的方法,请你把探究过程中的某种思路写出来(要求至少写3步);
(2)在你经历说明
(1)的过程之后,可以从下列①、②中选取一个补充或更换已知条件,完成你的证明。
①AN=NC(如图②);
②DM∥AC(如图③)。
附加题:
若点M、N分别是射线AB、AC上的点,其他条件不变,再探索线段BM、MN、NC之间的关系,在图④中画出图形,丙说明理由。
①②③④
2、如图,两个全等的含30°
,60°
的三角形ADE和ABC,E、A、C在一条直线上,连结BD,取BD的中点M,连结ME、MC,试判断△EMC的形状,并说明理由。
3、如图①,小明将一张矩形纸片沿对角线剪开,得到两张三角形纸片(如图②),量得他们的斜边长为10,较小锐角为30°
,再将这两张三角形纸片摆成如图③所示的形状,但点B、C、F、D在同一直线上,且点C与点F重合。
(在图③至图⑥中统一用F表示)。
小明在对这两张三角形纸进行如下操作时遇到了三个问题,请你帮助解决。
(1)将图③中的△ABF沿BD向右平移到图④的位置,使点B与点F重合,请你求出平移的距离。
(2)将图③中的△ABF绕点F顺时针方向旋转30°
到图⑤的位置,交DE于点G,请你求出线段FG的长度。
(3)将图③中的△ABF沿直线AF翻折到图⑥的位置,AB交DE于点H,请证明:
AH=DH。
①②③④⑤⑥
4、已知:
点O到△ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等,且OB=OC。
(1)如图
(1),若点O在边BC上,求证:
AB=AC;
(2)如图
(2),若点O在△ABC的内部,求证:
(3)若点O在△ABC的外部,AB=AC成立吗?
请画图表示。
(1)
(2)
5、请阅读下列材料:
问题:
如图
(1),在菱形ABCD和菱形BEFG中,点A,B,E在同一条直线上,P是线段DF的中点,连结PG,PC。
若∠ABC=∠BEF=60°
,探究PG与PC的位置关系及的值。
小聪同学的思路是:
延长GP交DC于点H,构造全等三角形,经过推理使问题得到解决。
请你参考小聪同学的思路,探究并解决下列问题:
(1)写出上面问题中线段PG与PC的位置关系及的值;
(2)将图
(1)中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转,使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上,原问题中的其他条件不变(如图
(2))。
你在
(1)中得到的两个结论是否发生变化?
写出你的猜想并加以证明。
(3)若图
(1)中∠ABC=∠BEF=,将菱形BEFG绕点B顺时针旋转任意角度,原问题的其他条件不变,请你直接写出的值。
(用含的式子表示)
第四节相似三角形中常用的辅助线
例1、如图,△ABC中,点D、E在BC上,且BD=DE=EC,又AB上的中线CF分别交AD、AE于G、H,
求FG:
GH:
HC。
例2、如图,□ABCD中,点E在AB上,AE=2BE。
点F是BC的中点,连结EF交对角线BD于点G。
求:
BG:
BD的值。
如图,过△ABC的顶点C任作一条直线,与边AB及中线AD分别交于点F和E。
AE:
ED=2AF:
FB。
例4、如图,△ABC中,AB=8,AC=6,点D在AB上,且AD=2。
试在边AC上找一点E,使△ADE与原三角形(△ABC)相似,求AE的长。
例5、如图,△ABC中,∠C=90°
,AB=5,AC=4,点D在AB的延长线上,且BD=AB,动点P在线段BC上移动,作直线DP交AC于点E。
设BP=,AE=。
(1)求关于的函数解析式及定义域;
(2)当PB为何值时,直线DP恰将△ABC的面积平分?
例6、如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,矩形DEFG的顶点D在AB上,E、F在BC上,G在AC上。
(1)设BE=,,求与之间的函数关系式和自变量的取值范围。
(2)连结EG,当取何值时,EG∥AB?
求此时矩形DEFG的面积。
例7、如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°
,BC=8,AB=12,AD=。
试问:
能否在边AB上找到点P,使得△ADP与△BCP相似?
并说明的取值对点P的个数是否有影响,请加以说明。
例8、如图,在△ABC内有一点O,连结AO、BO、CO并分别延长后与BC、CA、AB相交于点D、E、F。
1、已知:
如图,在△ABC中,D为AB边上一点,∠A=36°
,AC=BC,。
(1)试说明:
△ADC和△BDC都是等腰三角形;
(2)若AB=1,求AC的值;
(3)试构造一个等腰梯形,该梯形连同它的两条对角线,得到了8个三角形,要求构造出的图形中有尽可能多的等腰三角形。
(标明各角的度数)
2、如图所示,一段街道的两边缘所在的直线分别为AB、PQ,并且AB∥PQ。
建筑物的一端DE所在的直线MN⊥AB于点M,交PQ于点N。
小亮从胜利街的A处,沿着AB方向前进,小明一直站在点P的位置等候小亮。
(1)请你在图纸中画出小亮恰好看见小明时的视线,以及此时小亮所在位置(用点C标出)
(2)已知MN=20,MD=8,PN=24,求
(1)中的点C到胜利街口的距离CM。
3、已知:
如图
(1),在中,∠C=90°
,AC=4,BC=3,点P由B出发沿BA向点A匀速运动,速度为1∕;
点Q由A出发沿CA方向向点C匀速运动,速度为2∕;
连结PQ。
若设运动的时间为,解答下列问题:
(1)当为何值时,PQ∥BC?
(2)设△AQP的面积为,求与之间的函数关系式;
(3)是否存在某一时刻,使线段PQ恰好把的周长和面积同时平分?
若存在,求出此时的值;
若不存在,说明理由;
(4)如图
(2),连结PC,并把△PQC沿QC翻折,得到四边形,那么是否存在某一时刻,使四边形为菱形?
若存在,求出此时菱形的边长;
若不存在,说明理由。
4、如图,四边形ABCD为一梯形纸片,AB∥CD,AD=BC,翻折纸片ABCD,使点A与点C重合,折痕为EF,已知CE⊥AB。
EF∥BD。
(2)若AB=7,CD=3。
求线段EF的长。
5、如图,在中,∠A=90°
,AB=6,AC=8,D、E分别是边AB、AC的中点,点P从点D出发沿DE方向运动,过点P作PQ⊥BC于Q,过点Q作QR∥BA交AC于R,当点Q与点C重合时,点P停止运动。
设BQ=,QR=。
(1)求点D到BC的距离DH的长;
(2)求关于的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围);
(3)是否存在点P,使△PQR为等腰三角形?
若存在,请求
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