平面向量经典习题提高篇.docx
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平面向量经典习题提高篇.docx
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平面向量经典习题提高篇
平面向量:
1.已知向量a=(1,2),b=(2,0),若向量λa+b与向量c=(1,-2)共线,则实数λ等于( )
A.-2 B.-
C.-1D.-
[答案] C
[解析] λa+b=(λ,2λ)+(2,0)=(2+λ,2λ),
∵λa+b与c共线,
∴-2(2+λ)-2λ=0,∴λ=-1.
2.(文)已知向量a=(,1),b=(0,1),c=(k,),若a+2b与c垂直,则k=( )
A.-1B.-
C.-3D.1
[答案] C
[解析] a+2b=(,1)+(0,2)=(,3),
∵a+2b与c垂直,∴(a+2b)·c=k+3=0,
∴k=-3.
(理)已知a=(1,2),b=(3,-1),且a+b与a-λb互相垂直,则实数λ的值为( )
A.-B.-
C.D.
[答案] C
[解析] a+b=(4,1),a-λb=(1-3λ,2+λ),
∵a+b与a-λb垂直,
∴(a+b)·(a-λb)=4(1-3λ)+1×(2+λ)=6-11λ=0,∴λ=.
3.设非零向量a、b、c满足|a|=|b|=|c|,a+b=c,则向量a、b间的夹角为( )
A.150°B.120°
C.60°D.30°
[答案] B
[解析] 如图,在▱ABCD中,
∵|a|=|b|=|c|,c=a+b,∴△ABD为正三角形,
∴∠BAD=60°,∴〈a,b〉=120°,故选B.
(理)向量a,b满足|a|=1,|a-b|=,a与b的夹角为60°,则|b|=( )
A.B.
C.D.
[答案] A
[解析] ∵|a-b|=,∴|a|2+|b|2-2a·b=,
∵|a|=1,〈a,b〉=60°,
设|b|=x,则1+x2-x=,∵x>0,∴x=.
4.若·+2=0,则△ABC必定是( )
A.锐角三角形B.直角三角形
C.钝角三角形D.等腰直角三角形
[答案] B
[解析] ·+2=·(+)=·=0,∴⊥,
∴AB⊥AC,∴△ABC为直角三角形.
5.(文)若向量a=(1,1),b=(1,-1),c=(-2,4),则用a,b表示c为( )
A.-a+3bB.a-3b
C.3a-bD.-3a+b
[答案] B
[解析] 设c=λa+μb,则(-2,4)=(λ+μ,λ-μ),
∴,∴,∴c=a-3b,故选B.
(理)在平行四边形ABCD中,AC与BD交于O,E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交于点F,若=a,=b,则等于( )
A.a+bB.a+b
C.a+bD.a+b
[答案] B
[解析] ∵E为OD的中点,∴=3,
∵DF∥AB,∴=,
∴|DF|=|AB|,∴|CF|=|AB|=|CD|,
∴=+=+=a+(-)
=a+(b-a)=a+b.
6.若△ABC的三边长分别为AB=7,BC=5,CA=6,则·的值为( )
A.19B.14
C.-18D.-19
[答案] D
[解析] 据已知得cosB==,故·=||×||×(-cosB)=7×5×=-19.
7.若向量a=(x-1,2),b=(4,y)相互垂直,则9x+3y的最小值为( )
A.12B.2
C.3D.6
[答案] D
[解析] a·b=4(x-1)+2y=0,∴2x+y=2,∴9x+3y=32x+3y≥2=6,等号在x=,y=1时成立.
8.若A,B,C是直线l上不同的三个点,若O不在l上,存在实数x使得x2+x+=0,实数x为( )
A.-1B.0
C.D.
[答案] A
[解析] x2+x+-=0,∴x2+(x-1)+=0,由向量共线的充要条件及A、B、C共线知,1-x-x2=1,∴x=0或-1,当x=0时,=0,与条件矛盾,∴x=-1.
9.(文)已知P是边长为2的正△ABC边BC上的动点,则·(+)( )
A.最大值为8B.最小值为2
C.是定值6D.与P的位置有关
[答案] C
[解析] 以BC的中点O为原点,直线BC为x轴建立如图坐标系,则B(-1,0),C(1,0),A(0,),+=(-1,-)+(1,-)=(0,-2),
设P(x,0),-1≤x≤1,则=(x,-),
∴·(+)=(x,-)·(0,-2)=6,故选C.
(理)在△ABC中,D为BC边中点,若∠A=120°,·=-1,则||的最小值是( )
A.B.
C.D.
[答案] D
[解析] ∵∠A=120°,·=-1,
∴||·||·cos120°=-1,
∴||·||=2,
∴||2+||2≥2||·||=4,
∵D为BC边的中点,∴=(+),∴||2=(||2+||2+2·)=(||2+||2-2)≥(4-2)=,
∴||≥.
10.如图所示,点P是函数y=2sin(ωx+φ)(x∈R,ω>0)的图象的最高点,M,N是该图象与x轴的交点,若·=0,则ω的值为( )
A.B.
C.4D.8
[答案] B
[解析] ∵·=0,∴PM⊥PN,又P为函数图象的最高点,M、N是该图象与x轴的交点,∴PM=PN,yP=2,∴MN=4,∴T==8,∴ω=.
11.如图,一直线EF与平行四边形ABCD的两边AB,AD分别交于E、F两点,且交其对角线于K,其中=,=,=λ,则λ的值为( )
A.B.
C.D.
[答案] A
[解析] 如图,取CD的三等分点M、N,BC的中点Q,则EF∥DG∥BM∥NQ,易知=,∴λ=.
12.已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若ma+4b与a-2b共线,则m的值为( )
A. B.2
C.-2D.-
[答案] C
[解析] ma+4b=(2m-4,3m+8),a-2b=(4,-1),
由条件知(2m-4)·(-1)-(3m+8)×4=0,
∴m=-2,故选C.
13.在△ABC中,C=90°,且CA=CB=3,点M满足=2,则·等于( )
A.2 B.3
C.4 D.6
[答案] B
[解析] ·
=(+)·
=(+)·
=·+·
=||·||·cos45°
=×3×3×=3.
14.在正三角形ABC中,D是BC上的点,AB=3,BD=1,则·=________.
[答案]
[解析] 由条件知,||=||=||=3,〈,〉=60°,〈,〉=60°,=,
∴·=·(+)=·+·=3×3×cos60°+×3×3×cos60°=.
15.已知向量a=(3,4),b=(-2,1),则a在b方向上的投影等于________.
[答案] -
[解析] a在b方向上的投影为==-.
16.已知向量a与b的夹角为,且|a|=1,|b|=4,若(2a+λb)⊥a,则实数λ=________.
[答案] 1
[解析] ∵〈a,b〉=,|a|=1,|b|=4,∴a·b=|a|·|b|·cos〈a,b〉=1×4×cos=-2,∵(2a+λb)⊥a,∴a·(2a+λb)=2|a|2+λa·b=2-2λ=0,∴λ=1.
17.已知:
||=1,||=,·=0,点C在∠AOB内,且∠AOC=30°,设=m+n(m,n∈R+),则=________.
[答案] 3
[解析] 设m=,n=,则=+,
∵∠AOC=30°,∴||·cos30°=||=m||=m,
||·sin30°=||=n||=n,
两式相除得:
===,∴=3.
18.(文)设i、j是平面直角坐标系(坐标原点为O)内分别与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量,且=-2i+j,=4i+3j,则△OAB的面积等于________.
[答案] 5
[解析] 由条件知,i2=1,j2=1,i·j=0,∴·=(-2i+j)·(4i+3j)=-8+3=-5,又·=||·||·cos〈,〉=5cos〈,〉,
∴cos〈,〉=-,∴sin〈,〉=,
∴S△OAB=||·||·sin〈,〉=××5×=5.
(理)三角形ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,能得出三角形ABC一定是锐角三角形的条件是________(只写序号)
①sinA+cosA= ②·<0 ③b=3,c=3,B=30° ④tanA+tanB+tanC>0.
[答案] ④
[解析] 若A为锐角,则sinA+cosA>1,∵sinA+cosA=,∴A为钝角,∵·<0,∴·>0,∴∠B为锐角,由∠B为锐角得不出△ABC为锐角三角形;由正弦定理=得,=,∴sinC=,∴C=60°或120°,∵c·sinB=,3<<3,∴△ABC有两解,故①②③都不能得出△ABC为锐角三角形.
④由tanA+tanB+tanC=tan(A+B)(1-tanAtanB)+tanC=-tanC(1-tanAtanB)+tanC=tanAtanBtanC>0,及A、B、C∈(0,π),A+B+C=π知A、B、C均为锐角,
∴△ABC为锐角三角形.
19.已知平面向量a=(1,x),b=(2x+3,-x).
(1)若a⊥b,求x的值.
(2)若a∥b,求|a-b|.
[解析]
(1)若a⊥b,
则a·b=(1,x)·(2x+3,-x)=1×(2x+3)+x(-x)=0,
整理得x2-2x-3=0,解得x=-1或x=3.
(2)若a∥b,则有1×(-x)-x(2x+3)=0,
则x(2x+4)=0,解得x=0或x=-2,
当x=0时,a=(1,0),b=(3,0),
∴|a-b|=|(1,0)-(3,0)|=|(-2,0)|
==2,
当x=-2时,a=(1,-2),b=(-1,2),
∴|a-b|=|(1,-2)-(-1,2)|=|(2,-4)|
==2.
20.已知向量a=(sinx,-1),b=(cosx,-),函数f(x)=(a+b)·a-2.
(1)求函数f(x)的最小正周期T;
(2)将函数f(x)的图象向左平移上个单位后,再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的3倍,得到函数g(x)的图象,求函数g(x)的解析式及其对称中心坐标.
[解析]
(1)f(x)=(a+b)·a-2=a2+a·b-2
=sin2x+1+sinxcosx+-2
=+sin2x-=sin2x-cos2x
=sin(2x-),
∴周期T==π.
(2)向左平移个单位得,y=sin[2(x+)-]
=sin(2x+),横坐标伸长为原来的3倍得,
g(x)=sin(x+),
令x+=kπ得对称中心为(-,0),k∈Z.
21.(文)三角形的三个内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c,设向量m=(c-a,b-a),n=(a+b,c),若m∥n.
(1)求角B的大小;
(2)若sinA+sinC的取值范围.
[解析]
(1)由m∥n知=,
即得b2=a2+c2-ac,据余弦定理知
cosB=,得B=.
(2)sinA+sinC=sinA+sin(A+B)=sinA+sin(A+)
=sinA+sinA+cosA=sinA+cosA
=sin(A+),
∵B=,∴A+C=,∴A∈(0,),
∴A+∈(,),∴sin(A+)∈(,1],
∴sinA+sinC的取值范围为(,].
(理)在钝角三角形ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边,m=(2b-c,cosC),n=(a,cosA),且m∥n.
(1)求角A的大小;
(2)求函数y=2sin2B+cos(-2B)的值域.
[解析]
(1)由m∥n得(2b-c)cosA-acosC=0,
由正弦定理得2sinBcosA-sinCcosA-sinAc
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