第五章惟一分解整环PPT文件格式下载.pptx
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4.域上的非零元素均域上的非零元素均为单为单位。
5.域域上上的的多多项项式式环环中中的的全全体体零零次次多多项项式式是是它它的的单单位。
定定义义对对于于K中中的的单单位位,a叫叫做做a的的相相伴伴元元,也也称称为为做做a的的平平凡凡因因子子,其其余的余的a的因的因子子,叫,叫做做真真因因子子.K中中元元素素的的相相伴伴关关系系是是一一个个等等价价关关系系。
即即a,b在在K中中相相伴伴a,b互互相相整整除除。
例例4因因为为整整数数环环Z的的单单位位仅仅有有1与与-1,故故任任一一非非零零元元a有有2个个相相伴伴元元:
a与与a.例例5Zi有有4个个单单位位,1,-1,.任一非零元任一非零元abi(a,bZ)有有4个相伴元个相伴元:
(abi),(bai).例例6设设a,bK.证证明明:
ab当且当且仅仅当当(a)(b).例例7求求Gauss整整环环的所有的所有单单位以及位以及整整数数5在在Zi中的所有真因子。
中的所有真因子。
解解5的全部真因子共的全部真因子共8个:
个:
12i,12i,2i,2i而而5的不相伴真因子只有两个:
的不相伴真因子只有两个:
12i。
二二不可不可约约元素元素定定义义2设设aK0,a不是不是单单位。
如位。
如果果a只只有有平凡平凡因子,因子,则则称称a为为环环K的不可的不可约约元素元素;
否否则则称称为环为环K的的可可约约元素。
元素。
定理定理1环环K中的不可中的不可约约元元素素p与与任何任何单单位的乘位的乘积积永永远远是是K中的不可中的不可约约元素,即不可元素,即不可约约元素的相伴元素元素的相伴元素仍仍为为不可不可约约元素。
定理定理2aK0,则则a有有真因子真因子的的充分必要条件是,存充分必要条件是,存在在K中的非中的非单单位元位元素素b,c,使,使得得abc。
推推论论假定假定a0,并且并且a有有真因子真因子,a=bc,那那么么c也也是是a的的真因子。
真因子。
定定义义3我我们们说说,一,一个个整整环环K的的一一个元个元a在在K里里有唯有唯一一分分解解,假,假如如以下以下条条件件能能被被满满足足:
(i)ap1pt,p1,pt在K中不可约;
(ii)若若同同时时aq1qs,q1,qs在K中不可约那那么么rs,且且可可把把不可不可约约元素元素的的次序次序适适当当调调换换,使使得得piqii,i为K中单位(i1,t)。
则则称称a在在K上上可以可以惟惟一分一分解解。
Note环环K中,零元素和中,零元素和单单位不可以惟一位不可以惟一分分解。
解。
问题问题:
如何判断:
如何判断K中一个元素的惟中一个元素的惟一一分解性呢分解性呢?
没没有有一一般的解决方案,般的解决方案,对对于特殊的于特殊的环环中的中的特特殊元素可以作出判殊元素可以作出判断断。
例例8证证明明9在在有有单单位元素的整位元素的整环环Z5iab5i|a,bZ.三三素元素素元素环环K中中的的不不可可约约元元素素p与与任任何何单单位位的的乘乘积积永永远远是是K中中的的不不可可约约元元素素,即不即不可可约约元元素素的相的相伴伴元元素素仍仍为为不不可可约约元元素。
素。
定定义义整整环环K的的一一个个元元p叫叫做做一一个个素素元元,假假如如p既既不不是是零零元元,也也不不是是单单位位,并且并且p只有只有平平凡凡因因子。
子。
定定理理3整整环环K中的中的素素元素元素一一定定是是不可不可约约元元素。
推推论论素素元元素的素的相相伴元伴元素素仍仍为为素素元元素素。
例例子子:
P229-230例例8在在Z中中,任一任一素素数数p既既是是素元素元又又是不可是不可约约元元.例例9在在Z3中中,证证明明:
13是是不不可可约约元元,但但不是不是素元素元.P230习题习题5.1,3,45.2唯一分解整环的定义定定义义1一一个个整整环环K叫叫做一做一个个唯唯一一分解分解环环,假如假如K的的每个每个既既不不等等于于零零又又不是不是单单位位的的元元都都有有唯一唯一分分解。
整整数数环环和和域域上上的多的多项项式式环环均均为为惟惟一一分分解解整整环环,但但是是Z5iab5i|a,bZ不不是是惟惟一一分分解解整整环环。
Z例例1证证明明:
在在3中中,4没有没有唯唯一分解一分解.素元素一定是不可素元素一定是不可约约元素,但是不元素,但是不可可约约元素元素则则未必未必是素元素。
是素元素。
整数整数环环和域上的多和域上的多项项式式环环来来说说,二,二者者是一致的。
是一致的。
更一般的,有更一般的,有定定理理1设设K是任意一个唯一分是任意一个唯一分解解整整环环,则则p为为K的素元素当且的素元素当且仅仅当当p为为K的的不可不可约约元元素。
推推论论一一个个唯唯一一分分解解环环有有以以下性下性质质:
若若一一个个素素元元p能能够够整整除除ab,那那么么p能能够够整整除除a或或b。
定定理理2具有具有以以下下性性质质的的整整环环K一一定是定是一一个个唯唯一一分分解解环环.(i)K的的每每一一个即个即不不是是零零也也不是不是单单位位的的元元a都都可以可以分分解成解成不不可可约约元元素素的的乘乘积积;
(ii)K的的不可不可约约元素元素均均为为K的的素素元元素。
二二惟一分解整惟一分解整环环中的最大中的最大公公因子因子整数整数环环中的最大公因子推广中的最大公因子推广:
定定义义3一个唯一分解一个唯一分解环环K中中,cK,如如果果c是每个元素是每个元素a1,a2,an的因子,的因子,则则称称c为为a1,a2,an的公因子。
的公因子。
若若d为为a1,a2,an的公因子,的公因子,且且a1,a2,an的任意一个公的任意一个公因因子子c均均为为d的因子,的因子,则则称称d为为a1,a2,an的最大公因的最大公因子子。
定理定理3一个惟一分解一个惟一分解环环K的的任任意意两个元两个元a和和b,在在K里里一定一定有有最大公因子最大公因子,a和和b的两个的两个最最大公因子大公因子d和和d只能差一只能差一个个单单位因位因子。
推推论论一个唯一分解一个唯一分解环环K的的n个个元元a1,a2,an在在K里一定有最里一定有最大公因子大公因子,a1,a2,an的两个最大公因子只能的两个最大公因子只能差差一个一个单单位因子。
位因子。
例例2证证明明:
在在Z3中中,2(13)与与4无无最高公因子最高公因子.作作业业P235习习题题5.23,45.3主理主理想想整整环环主理想整主理想整环环的定的定义义定定义义一一个个整整环环K叫叫做做一一个个主主理理想想整整环环,假假如如K的的每一每一个个理想理想都都是是一一个个主主理理想。
想。
Note整整数数环环和和域域上的上的多多项项式式环环均均为为主主理理想想整整环环。
但但是是Zx不不是是主主理理想想整整环环,因,因为为其中其中的的理理想想2,x不不是是主主理理想。
定定理理1Gauss整整环环Zi是是主主理想理想整整环环。
二二主要主要结论结论的的证证明明引理引理1假定假定K是一个主理想是一个主理想环环,若在序列若在序列a1,a2,ai,(aiK)里每一个元均是前面一个元素的真里每一个元均是前面一个元素的真因因子,那么子,那么这这个序列一定是一个有限个序列一定是一个有限序列。
序列。
引理引理2假定假定K是一个主理想是一个主理想环环,那么那么K的一个不可的一个不可约约元元素素p生成一生成一个极大理想。
个极大理想。
定定理理2主理想主理想环环K是一个惟一是一个惟一分分解整解整环环。
作作业业P239习习题题5.31,35.4欧氏欧氏环环欧氏欧氏环环定定义义和例子和例子定定义义一一个个有有单单位位元素元素的的整整环环K叫叫做一做一个个欧欧氏氏环环,假假如:
如:
i.)有有一一个从个从K的的非非零零元无元无所所作成作成的的集合集合到到所所有有非非负负整整数数集集合合的的映映射射存存在在。
ii.)给给定定了了K的的一一个不个不等等于于零零的元的元b,K的的任任何何元元a都都可可以以写成写成abqr,r0或者(r)(b)例例1整数整数环环是一个欧氏是一个欧氏环环。
其欧氏映射其欧氏映射为为:
(x)|x|,xZ.例例2一个一个域域F上上的一元多的一元多项项式式环环Fx是一个欧氏是一个欧氏环环。
其欧氏映射其欧氏映射为为:
(f(x))(f(x),f(x)Fx.二二主要主要结论结论定理定理任何欧氏任何欧氏环环K一定是一个主一定是一个主理理想想环环,因而一定是一个,因而一定是一个惟一分解惟一分解环环。
逆命逆命题题不成立:
主理想整不成立:
主理想整环环未必是未必是欧欧氏氏环环。
欧氏环主理想整环惟一分解环有单位元素的环。
作作业业P240-241,习题5.41,2,35.5*惟惟一一分分解整解整环环的多的多项项式式扩扩张张基基本本内容内容定定义义如果如果环环R是是环环S的一个子的一个子环环,则则称称S是是环环R的一的一个推广。
个推广。
惟一分解惟一分解环环K上的多上的多项项式式环环Kx就就是是K的一个的一个扩张扩张。
定定义义2多多项项式式环环Kx的一个的一个元元f(x)叫做一个本原多叫做一个本原多项项式,假式,假如如f(x)的系数的最大公因的系数的最大公因子子是是单单位。
一般多一般多项项式理式理论论可以推广到惟一分可以推广到惟一分解解环环上的多上的多项项式式环环中,例如中,例如带带余除法、最大公因式等余除法、最大公因式等概概念。
念。
例例1设设f(x)x3x21,g(x)x2x1Zx,求求2u(x),v(x)Zx2,使得使得(f(x),g(x)u(x)f(x)v(x)g(x)有有结结果:
果:
引理引理1(Gauss引理)两个本引理)两个本原原多相式的乘多相式的乘积积仍仍为为本原本原的。
的。
设设F是惟一是惟一分分解解环环K的分式的分式域域。
有。
有结结果:
引理引理2Kx中两个中两个本本原多原多项项式式在在Kx中相伴当中相伴当且且仅仅当在当在Fx中相伴。
中相伴。
定理定理1Kx中本原中本原多多项项式在式在K
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