届陕西省黄陵中学高三重点班下学期开学考试数学理试题附答案.docx
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届陕西省黄陵中学高三重点班下学期开学考试数学理试题附答案
2018届陕西省黄陵中学高三(重点班)下学期开学考试数学(理)试题
第Ⅰ卷选择题(满分60分)
一、选择题:
本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合,,则()
A.B.C.D.
2.已知函数,则是在处取得极小值的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
3.已知与是共轭虚数,有个命题①;②;③;④,一定正确的是()
A.①②B.②③C.②③D.①②③
4.大致的图象是()
A.B.C.D.
5.若,满足约束条件则的最大值是()
A.B.C.D.
6.已知锐角满足,则等于()
A.B.C.D.
7.的展开式中,的系数为()
A.B.C.D.
8.数列中,已知,,且,(且),则此数列为()
A.等差数列B.等比数列
C.从第二项起为等差数列D.从第二项起为等比数列
9.已知平面向量,,满足,,,,则的最大值为()
A.-1B.-2C.D.
10.已知实数,满足约束条件,若不等式恒成立,则实数的最大值为()
A.B.C.D.
11.已知函数,若在恒成立,则实数的取值范围为()
A.B.C.D.
12.已知直线与曲线相交,交点依次为,,,且,则直线的方程为()
A.B.C.D.
二、填空题:
本大题共4小题,每题5分.
13.设满足.则的最大值是__________.
14.二项式的展开式中常数项是__________.(用数字作答)
15.若方程为标准方程的双曲线的一条渐近线与圆相切,则其离心率为__________.
16.已知数列共有26项,且,,,则满足条件的不同数列有__________个.
三、解答题:
(本大题6个小题,共70分).
17.已知数列的前项和。
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)令,求数列的前项和。
18如图,正三棱柱的所有棱长均,为棱(不包括端点)上一动点,是的中点.
(Ⅰ)若,求的长;
(Ⅱ)当在棱(不包括端点)上运动时,求平面与平面的夹角的余弦值的取值范围.
19.有甲、乙两个桔柚(球形水果)种植基地,已知所有采摘的桔柚的直径都在范围内(单位:
毫米,以下同),按规定直径在内为优质品,现从甲、乙两基地所采摘的桔柚中各随机抽取500个,测量这些桔柚的直径,所得数据整理如下:
(1)根据以上统计数据完成下面列联表,并回答是否有以上的把握认为
“桔柚直径与所在基地有关”?
(2)求优质品率较高的基地的500个桔柚直径的样本平均数(同一组数据用该区间的中点值作代表):
(3)经计算,甲基地的500个桔柚直径的样本方差,乙基地的500个桔柚直径的样本方差,,并且可认为优质品率较高的基地采摘的桔柚直径服从正态分布,其中近似为样本平均数,近似为样本方差.由优质品率较高的种植基地的抽样数据,估计该基地采摘的桔柚中,直径不低于86.78亳米的桔柚在总体中所占的比例.
附:
,.
若,则.
,.
20.已知过点的椭圆的离心率为.
(1)求椭圆方程;
(2)不过坐标原点的直线与椭圆交于两点(异于点,线段的中点为,直线的斜率为1.记直线的斜率分别为.问是否为定值?
若为定值,请求出定值.若不为定值,请说明理由.
21.已知函数,函数.
(Ⅰ)判断函数的单调性;
(Ⅱ)若时,对任意,不等式恒成立,求实数的最小值.
请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时请写清题号.
22.选修4-4:
坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线的极坐标方程为,为曲线上异于极点的动点,点在射线上,且,,成等比数列.
(1)求点的轨迹的直角坐标方程;
(2)已知,是曲线上的一点且横坐标为,直线与交于,两点,试求的值.
23.选修4-5:
不等式选讲
已知,.
(1)若,求不等式的解集;
(2)若时,的解集为空集,求的取值范围.
1-5:
CDDDC6-10.ABDDA11-12.CB
13.【答案】14.【答案】21015.【答案】或216.【答案】2300
17.解:
(Ⅰ)由题意知,当
…………………6分
(Ⅱ)解:
由(Ⅰ)知=,∴Tn=.…………………12分
18证明:
(Ⅰ),由AC=BC,AE=BE,知CE⊥AB,
又平面ABC⊥平面ABB1A1,所以CE⊥平面ABB1A1
而AD⊂平面ABB1A1,∴AD⊥CE,又AD⊥A1C所以AD⊥平面A1CE,
所以AD⊥A1E.易知此时D为BB1的中点,故BD=1.…………………5分
(Ⅱ)以E为原点,EB为x轴,EC为y轴,
过E作垂直于平面ABC的垂线为z轴,
建立空间直角坐标系,设 BD=t,
则A(-1,0,0),D(1,0,t),C1(0,,2),
=(2,0,t),=(1,,2),设平面ADC1的法向量=(x,y,z),
则,取x=1,得,
平面ABC的法向量=(0,0,1),设平面ADC1与平面ABC的夹角为θ,
∴cosθ====
由于t∈(0,2),故cosθ∈(,].
即平面ADC1与平面ABC的夹角的余弦值的取值范围为(,].………………12分
19.解:
(Ⅰ)由以上统计数据填写列联表如下:
甲基地
乙基地
合计
优质品
420
390
810
非优质品
80
110
190
合计
500
500
1000
,
所以,有95%的把握认为:
“两个基地采摘的水果直径有差异”.
(Ⅱ)甲基地水果的优质品率为,甲基地水果的优质品率为,
所以,甲基地水果的优质品率较高,
甲基地的500个桔柚直
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知,甲基地的桔柚直径
,
所以,估计甲基地采摘的桔柚中,直径不低于86.78毫米的桔柚在总体中所占的比例大约为.
20.解:
(Ⅰ)由题意得,解得,则椭圆的方程为
(Ⅱ)由题意可设直线方程为,令则.
直线的斜率为1,,
即
(1)
则
代入
(1)式得,
因此,
则
即为定值
21.解:
(I),其定义域为
为,.
(1)当时,,函数在上单调递增;
(2)当时,令,解得;令,解得.故函
数在上单调递增,在上单调递减.
(II)由题意知.,当时,函数
单调递增,不妨设,又函数单调递减,所以原问题等价于:
当时,对任意,不等式恒成立,即对任意,恒成立.
记,则在上单调递减.得对任意,恒成立.
令,,则
在上恒成立.则,而在上单调递增,所以函数在上的最大值为.由,解得.
故实数的最小值为.
22.解:
(1)设,,
则由成等比数列,可得,
即,.
又满足,即,
∴,
化为直角坐标方程为.
(2)依题意可得,故,即直线倾斜角为,
∴直线的参数方程为
代入圆的直角坐标方程,
得,
故,,
∴.
23.解:
(1)当时,化为,
当,不等式化为,解得或,
故;
当时,不等式化为,解得或,
故;
当,不等式化为,解得或
故;
所以解集为或.
(2)由题意可知,即为时,恒成立.
当时,,得;
当时,,得,
综上,.
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