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乘积序列f(n)可表示为5序列的标乘序列的标乘序列x(n)的标乘是指x(n)的每个序列值乘以常数c。
标乘序列f(n)可表示为6累加累加设某序列为x(n),则x(n)的累加序列y(n)定义为第1章离散时间信号与系统7差分运算差分运算前向差分x(n)=x(n+1)-x(n)后向差分x(n)=x(n)-x(n-1)由此得出x(n)=x(n-1)第1章离散时间信号与系统v8离散卷积离散卷积设两序列为x(n)和h(n),则二者的卷积和y(n)定义为(1-1)性质:
卷积与两序列的先后次序无关,即性质:
卷积与两序列的先后次序无关,即第1章离散时间信号与系统离散卷积运算可以分为4步:
(1)翻褶:
先在变量坐标m上作出x(m)和h(m),将h(m)以m=0的垂直轴为对称轴翻褶成h(-m)。
(2)移位:
将h(-m)移位n,即得h(n-m)。
当n为正整数时,右移n位;
当n为负整数时,左移n位。
(3)相乘:
再将h(n-m)和x(m)的相同m值的对应点值相乘。
(4)相加:
把以上所有对应点的乘积累加起来,即得y(n)值。
依上法,取n=,-2,-1,0,1,2,各值,可得全部y(n)值。
第1章离散时间信号与系统图1-4离散卷积例例第1章离散时间信号与系统图1-4离散卷积第1章离散时间信号与系统1.1.2几种常用序列几种常用序列v1单位脉冲序列(或单位采样序列)单位脉冲序列(或单位采样序列)(n)这个序列只在n=0处有一个单位值1,其余点上皆为0,因此也称为“单位采样序列”。
(1-3)重要性质:
可以用单位采样序列来表示任意序列,即:
重要性质:
第1章离散时间信号与系统v2单位阶跃序列单位阶跃序列u(n)它很类似于连续时间信号与系统中的单位阶跃函数u(t),但u(t)在t=0处通常不予定义。
(1-5)(n)和u(n)间的关系为(1-6)(1-8)第1章离散时间信号与系统v3矩形序列矩形序列RN(n)(1-9)RN(n)和(n)、u(n)的关系为:
(1-10)(1-11)第1章离散时间信号与系统4实指数序列实指数序列式中,a为实数。
当|a|1时,序列是发散的。
a为负数时,序列是摆动的。
第1章离散时间信号与系统v5正弦型序列正弦型序列x(n)=Asin(n0+)(1-12)式中:
A为幅度;
为起始相位;
0为数字域的频率,它反映了序列变化的速率。
不同于正弦型连续信号,正弦序列不一定具有周期性。
第1章离散时间信号与系统6复指数序列复指数序列序列值为复数的序列称为复数序列。
复数序列的每个值具有实部和虚部两部分。
复指数序列是最常用的一种复序列:
(1-13a)或或(1-13b)式中,0是复正弦的数字域频率。
第1章离散时间信号与系统v1.1.3序列的周期性序列的周期性如果对所有n存在一个最小的正整数N,满足(1-14)则称序列x(n)是周期性序列,周期为N。
现在讨论上述正弦序列的周期性。
由于则第1章离散时间信号与系统若N0=2k,当k为正整数时,则这时的正弦序列就是周期性序列,其周期满足N=2k/0(N,k必须为整数)。
可分几种情况讨论如下。
(1)当2/0为正整数时,周期为2/0,见图1-9。
(2)当2/0不是整数,而是一个有理数时(有理数可表示成分数),则式中,k,N为互素的整数,则为最小正整数,序列的周期为N。
第1章离散时间信号与系统(3)当2/0是无理数时,则任何k皆不能使N取正整数。
这时,正弦序列不是周期性的。
这和连续信号是不一样的。
同样,指数为纯虚数的复指数序列的周期性与正弦序列的情况相同。
下面,我们来进一步讨论,如果一个正弦型序列是由一个连续信号采样而得到的,那么,采样时间间隔T和连续正弦信号的周期之间应该是什么关系才能使所得到的采样序列仍然是周期序列呢?
第1章离散时间信号与系统设连续正弦信号xa(t)为这一信号的频率为f0,角频率0=2f0,信号的周期为T0=1/f0=2/0。
如果对连续周期信号xa(t)进行采样,其采样时间间隔为T,采样后信号以x(n)表示,则有如果令0为数字域频率,满足第1章离散时间信号与系统式中,fs是采样频率。
可以看出,0是一个相对频率,它是连续正弦信号的频率f0对采样频率fs的相对频率乘以2,或说是连续正弦信号的角频率0对采样频率fs的相对频率。
用0代替0T,可得这就是上面讨论的正弦型序列。
第1章离散时间信号与系统下面我们来看2/0与T及T0的关系,从而讨论上面所述正弦型序列的周期性的条件意味着什么?
这表明,若要2/0为整数,就表示连续正弦信号的周期T0应为采样时间间隔T的整数倍;
若要2/0为有理数,有(1-15)式中,k和N皆为正整数,从而有即N个采样间隔应等于k个连续正弦信号的周期。
第1章离散时间信号与系统1.2离散时间系统离散时间系统一个离散时间系统是将输入序列变换成输出序列的一种运算。
若以T来表示这种运算,则一个离散时间系统可由图1-10来表示,即(1-16)离散时间系统中最重要、最常用的是“线性时不变系统”。
第1章离散时间信号与系统v1.2.1线性系统线性系统满足叠加原理的系统称为线性系统,即若某一输入是由N个信号的加权和组成,则输出就是系统对这几个信号中每一个的响应的同样加权和组成。
如果系统在x(n)和x2(n)单独输入时的输出分别为y1(n)和y2(n)即:
那么当且仅当式(1-17a)和式(1-17b)成立时,该系统是线性的(1-17a)第1章离散时间信号与系统(1-17b)式中,a为任意常数。
上述两个性质分别称为可加性和齐次性(比例性)。
这两个性质合在一起就成为叠加原理,写成(1-18)式(1-18)对任意常数a1和a2都成立。
该式还可推广,即(1-19)式中,yk(n)就是系统对输入xk(n)的响应。
注注意意:
在证明一个系统是线性的时,必须证明系统同时满足可加性和比例性,而且信号及任何比例常数都可以是复数。
第1章离散时间信号与系统例例以下系统是否为线性系统:
y(n)=2x(n)+3很容易证明这个系统不是线性的,因为此系统不满足叠加原理。
证证很明显,在一般情况下所以此系统不满足叠加性,故不是线性系统。
第1章离散时间信号与系统注意注意:
证明一个是非线性系统的方法主要有三个:
1)证明不符合线性系统定义;
2)举反例;
3)证明违反线性系统的一个重要性质:
零输入产生零输出。
第1章离散时间信号与系统v1.2.2移不变系统移不变系统系统的运算关系T在整个运算过程中不随时间(也即不随序列的延迟)而变化,这种系统称为时不变系统(或称移不变系统)。
这个性质可用以下关系表达:
若输入x(n)的输出为y(n),则将输入序列移动任意位后,其输出序列除了跟着移位外,数值应该保持不变,即若Tx(n)=y(n)则Tx(n-m)=y(n-m)(m为任意整数)(1-20)满足以上关系的系统就称为时不变系统。
第1章离散时间信号与系统例例证明不是时不变系统。
证证由于二者不相等,故不是时不变系统。
第1章离散时间信号与系统说明:
说明:
一个移不变系统的证明应严格根据定义。
一个移变系统的证明有三种主要方法:
1)依据定义;
2)举个反例;
3)依据移不变系统所具有的一个重要结论:
若系统有一个移变增益,则该系统一定是移变系统。
同时具有线性和时不变性的离散时间系统称为线性时不变(LTI)离散时间系统,简称LTI系统。
除非特殊说明,本书都是研究LTI系统。
第1章离散时间信号与系统v1.2.3单位脉冲响应与系统的输入输出关系单位脉冲响应与系统的输入输出关系线性时不变系统可用它的单位脉冲响应h(n)(又称单位抽样响应)来表征。
单位脉冲响应是指输入为单位脉冲序列时系统的输出,即h(n)=T(n)基于h(n),可得到此系统对任意输入的输出,如下:
设系统输入序列为x(n),输出序列为y(n),则(1-21)图1-11线性时不变系统第1章离散时间信号与系统v1.2.4线性时不变系统的性质线性时不变系统的性质1交换律交换律(1-22)2结合律结合律(1-23)3分配律分配律(1-24)第1章离散时间信号与系统v1.2.5因果系统因果系统所谓因果系统,就是系统此时的输出y(n)只取决于此时,以及此时以前的输入,即x(n),x(n-1),x(n-2),。
如果系统的输出y(n)还取决于x(n+1),x(n+2),,也即系统的输出还取决于未来的输入,这样在时间上就违背了因果关系,因而是非因果系统,也即不现实的系统。
例,y(n)=nx(n)和y(n)=x(n+2)+ax(n)分别是因果和非因果系统。
第1章离散时间信号与系统一个线性时不变系统是因果系统的充分必要条件是:
(1-25)额外说额外说明明:
依照因果性定义,我们将n0,x(n)=0的序列称为因果序列,表示这个因果序列可以作为一个因果系统的单位脉冲响应。
第1章离散时间信号与系统v1.2.6稳定系统稳定系统稳定系统是指有界输入产生有界输出的系统。
如果对于输入序列x(n),存在一个不变的正有限值Bx,对于所有n值满足|x(n)|Bx(1-26)则称该输入序列是有界的。
稳定性要求对于每个有界输入存在一个不变的正有限值By,对于所有n值,输出序列y(n)满足|y(n)|By0时,h(n)=y(n)=0,将式(1-31)改写为另一种递推关系y(n-1)=y(n)-x(n)/a或y(n)=y(n+1)-x(n+1)/a又利用已得出的结果h(n)=0(n0),则有:
第1章离散时间信号与系统可见,这样的系统是非因果系统,而且时,是非稳定的。
第1章离散时间信号与系统第1章离散时间信号与系统例例利用与上述同一例子,初始条件假设y(0)=1,分析其系统的线性及移不变性。
解解第1章离散时间信号与系统第1章离散时间信号与系统第1章离散时间信号与系统同样,利用上面的迭代法求出单位抽样响应后,我们就可以利用前面的卷积公式求出任意输入下的输出。
另外,如前所述,差分方程不但便于求解系统的瞬态响应,而且具有另一个典型优点,即可以直接获得系统的结构。
以上述例子为例,结构如下图所示。
a第1章离散时间信号与系统第2章Z变换与序列的傅里叶变换2.1Z变换变换2.2序列的序列的Z变换与连续信号的拉氏变换变换与连续信号的拉氏变换/傅里叶变换的关系傅里叶变换的关系2.3序列的傅里叶变换序列的傅里叶变换2.4离散系统的系统函数以及系统的频率响应离散系
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