北师大版九年级数学上《四边形》讲义.docx
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北师大版九年级数学上《四边形》讲义
1.菱形的性质
学习目标:
①通过折、剪纸张的方法,探索菱形独特的性质。
②通过学生间的交流、计论、分析、类比、归纳、运用已学过的知识总结菱形的特征。
教学重点:
菱形的概念和菱形的性质,菱形的面积公式的推导。
教学难点:
菱形的性质的理解及菱形性质的灵活运用。
学习过程:
活动一:
1.如何从一个平行四边形中剪出一个菱形来?
的四边形叫做菱形,生活中的菱形有。
2.按探究步骤剪下一个四边形。
①所得四边形为什么一定是菱形?
②菱形为什么是轴对称图形?
有对称轴。
图中相等的线段有:
图中相等的角有:
③你能从菱形的轴对称性中得到菱形所具有的特有的性质吗?
活动二:
对比菱形与平行四边形的对角线
菱形的对角线:
平行四边的对角线:
活动三:
菱形性质的应用
1.菱形的两条对角线的长分别是6cm和8cm,求菱形的周长和面积。
2.如图,菱形花坛ABCD的边长为20cm,∠ABC=60°沿菱形的两条对角线修建了两条小路AC和BD,求两条小路的长和花坛的面积。
随堂练习:
一、填空
(1)菱形的两条对角线长分别是12cm,16cm,它的周长等于,面积等于。
(2)菱形的一条边与它的两条对角线所夹的角比是3:
2,菱形的四个内角是。
(3)已知:
菱形的周长是20cm,两个相邻的角的度数比为1:
2,则较短的对角线长是。
(4)已知:
菱形的周长是52cm,一条对角线长是24cm,则它的面积是。
二、解答题
已知:
如图,在菱形ABCD中,周长为8cm,∠BAD=1200对角线AC,BD交于点O,求这个菱形的对角线长和面积。
菱形的性质作业
1、菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是()
A.对角相等B.对边相等C.对角线互相垂直D.对角线相等
2、菱形的周长为100cm,一条对角线长为14cm,它的面积是()
A.168cm2B.336cm2C.672cm2D.84cm2
3、下列语句中,错误的是()
A.菱形是轴对称图形,它有两条对称轴
B.菱形的两组对边可以通过平移而相互得到
C.菱形的两组对边可以通过旋转而相互得到
D.菱形的相邻两边可以通过旋转而相互得到
4、菱形的两条对角线分别是6cm,8cm,则菱形的边长为_____,面积为______.
5、四边形ABCD是菱形,点O是两条对角线的交点,已知AB=5,AO=4,求对角线BD
和菱形ABCD的面积.
6、如图,在菱形ABCD中,∠ADC=120°,则BD:
AC等于().
(A):
2(B):
3(C)1:
2(D):
1
7、菱形ABCD的周长为20cm,两条对角线的比为3∶4,求菱形的面积。
8、如下图,菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O,且AC=16cm,BD=12cm,
求菱形ABCD的高DH。
9、如图,在菱形ABCD中,∠BAD=80°,AB的垂直平分线交对角线AC于点F,E
为垂足,连接DF,则∠CDF的度数为.
10、在菱形ABCD中,∠A与∠B的度数比为1:
2,周长是48cm.求
(1)两条对角线的长度;
(2)菱形的面积.
11、如图所示,在平面直角坐标系中,菱形MNPO的顶点P的坐标是(3,4),则顶点M、N的坐标分别是( )
A.M(5,0),N(8,4)B.M(4,0),N(8,4)
C.M(5,0),N(7,4)D.M(4,0),N(7,4)
12、(2010•襄阳)菱形的周长为8cm,高为1cm,则该菱形两邻角度数比为( )
A.3:
1B.4:
1C.5:
1D.6:
1
13、如下图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,且AC=8,BD=6,过点O作
OH丄AB,垂足为H,则点0到边AB的距离OH= _________ .
14、如右上图,菱形ABCD的边长是2cm,E是AB的中点,且DE丄AB,
则菱形ABCD的面积为 cm2.
2.菱形的判定
A
1.木工在做菱形的窗格时,总是保证四条边框一样长,你知道其中的道理吗?
借助以下图形探索:
如图,在四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA,试说明四边形ABCD是菱形.
证明:
B
C
D
我发现,的四边形是菱形。
2.如下图,在□ABCD中,若AC⊥BD,则□ABCD是什么图形?
证明:
我发现,的平行四边形四边形是菱形.
菱形的判定方法:
1、的四边形是菱形
符号语言
2、的平行四边形是菱形
符号语言
例1.□ABCD的对角线AC、BD相交于点O,且AB=5,AO=4,OB=3.求证:
□ABCD是菱形。
随堂练习
1、一个平行四边形的一条边长是15,两条对角线的长分别是12和9,这是一个特殊的平行四边形吗?
为什么?
求它的面积。
2、如图,用两张等宽的纸条交叉重叠地放在一起,重合的四边形ABCD是一个菱形吗?
为什么?
3、如图,AE∥BF,AC平分∠BAD,且交BF于点C,BD平分∠ABC,且交AE于点D,连接CD,求证:
四边形ABCD是菱形。
菱形的判定作业
1、能够判别一个四边形是菱形的条件是()
A.对角线相等且互相平分B.对角线互相垂直且相等
C.对角线互相平分D.一组对角相等且一条对角线平分这组对角
2、平行四边形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O,AB=,AO=2,OB=1.四边形ABCD是菱形吗?
为什么?
3、如图,AD是△ABC的角平分线。
DE∥AC交AB于E,DF∥AB交AC于F.
四边形AEDF是菱形吗?
说明你的理由。
4、如图,□ABCD的对角线AC的垂直平分线与AD、BC分别交于E、F,四边形AFCE是否是菱形?
为什么?
5、已知DE∥AC、DF∥AB,添加下列条件后,不能判断四边形DEAF为菱形的是()
A.AD平分∠BAC
B.AB=AC=且BD=CD
C.AD为中线
D.EF⊥AD
6如图,已知四边形ABCD为菱形,AE=CF.求证:
四边形BEDF为菱形。
7、已知ABCD为平行四边形纸片,要想用它剪成一个菱形。
小刚说只要过BD中点作BD的垂线交AD、BC于E、F,沿BE、DF剪去两个角,所得的四边形BFDE为菱形。
你认为小刚的方法对吗?
为什么?
9、如图,四边形ABCD中,对角线AC和BD相交于点O,且AC⊥BD,点M、N分别在BD、AC上,且AO=ON=NC,BM=MO=OD.求证:
BC=2DN
3.矩形的性质
一、定义:
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
矩形具有一般平行四边形的所有性质,它还具有特殊的性质:
1.已知:
四边形ABCD是矩形.求证:
∠A=∠B=∠C=∠D=90°
2.已知:
四边形ABCD是矩形.求证:
AC=DB
定理矩形的四个角都是直角
定理矩形的对角线相等
二、交流讨论
如图,设矩形的对角线AC与BD的交点为O,那么BO是Rt△ABC中一条怎样的特殊线段?
它与AC有什么大小关系?
为什么?
推论:
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
三、巩固练习
1.矩形除了具备平行四边形的性质外,还有一些特殊性质:
四个角,对角线。
2.在矩形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,若,则。
3、已知矩形的长为20,宽为12,顺次连结矩形四边中点所形成的四边形的面积是__________.
4、如图,矩形ABCD的两条对角线相交于点O已知∠AOD=120°,AB=2.5cm,求矩形对角线的长。
矩形的性质作业
1.矩形具备而平行四边形不具有的性质是()
A.对角线互相平分B.邻角互补C.对角相等D.对角线相等
2.在下列图形性质中,矩形不一定具有的是()
A.对角线互相平分且相等B.四个角相等
C.既是轴对称图形,又是中心对称图形D.对角线互相垂直平分
3、如图,在矩形ABCD中,两条对角线AC和BD相交于点O,AB=OA=4cm,求BD与AD的长.
4、如图,矩形ABCD的两条对角线相交于点O,∠AOD=120°,AB=2,则矩形的对角线AC的长是______.
5、已知:
△ABC的两条高为BE和CF,点M为BC的中点.求证:
ME=MF
6、如图,矩形ABCD中,AC与BD相交于一点O,AE平分∠BAD,若∠EAO=15°,
求∠BOE的度数.
7、把一张长方形的纸片按右上图所示的方式折叠,EM、FM为折痕,折叠后的C点落在B′M或B′M的延长线上,那么∠EMF的读度为()
A.85°B.90°C.95°D.100°
8、如右图所示,把两个大小完全一样的矩形拼成“L”形图案,则∠FAC=_______,∠FCA=________.
9、如图,在矩形ABCD中,EF∥AB,GH∥BC,EF、GH的交点P在BD上,图中面积相等
的四边形有()
A.3对B.4对C.5对D.6对
10、如图,矩形ABCD的周长为68,它被分成7个全等的矩形,则矩形ABCD的面积为()
A.98B.196C.280D.284
11、如图所示,矩形ABCD中,M是BC的中点,且MA⊥MD,若矩形的周长为36cm,求此矩形的面积。
12、如图,折叠矩形,使AD边与对角线BD重合,折痕是DG,点A的对应点是E,若AB=2,BC=1,
求AG.
13、【提高题】
如图,将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠,使点B落到点B′的位置,AB′与CD交于点E.
(1)试找出一个与△AED全等的三角形,并加以证明.
(2)若AB=8,DE=3,P为线段AC上的任意一点,
PG⊥AE于G,PH⊥EC于H,试求PG+PH的值,并说明理由.
4.矩形的判定
已知:
在平行四边形ABCD中,AC,DB是它的两条对角线,AC=DB.求证:
平行四边形ABCD是矩形。
判定定理1:
对角线相等的平行四边形是矩形。
一个四边形至少有几个角是直角时,这个四边形才是矩形呢?
判定定理2:
有三个角是直角的四边形是矩形。
三、巩固练习
1.下列条件中,不能判定四边形ABCD为矩形的是().
A.AB∥CD,AB=CD,AC=BDB.∠A=∠B=∠D=90°
C.AB=BC,AD=CD,且∠C=90°D.AB=CD,AD=BC,∠A=90°
2.已知点A、B、C、D在同一平面内,有6个条件:
①AB∥CD,②AB=CD,③BC∥AD,④BC=AD,⑤AC=BD,⑥∠A=90°.从这6个条件中选出(直接填写序号)_______3个,能使四边形ABCD是矩形.
3.已知:
如图,在ABCD中,O为边AB的中点,且∠AOD=∠BOC.求证:
ABCD是矩形.
4.已知:
如图,四边形ABCD是由两个全等的正三角形ABD和BCD组成的,M、N分别为BC、AD的中点.求证:
四边形BMDN是矩形.
矩形的判定作业
1、下列说法图形不正确的是()
A.有一个角是直角的平行四边形是矩形B.有三个角是直角的四边形是矩形
C.对角线相等的四边形是矩形D.对角线互相平分且相等的四边形是矩形
2、四边形ABCD的对角线相交于点O,下列条件不能判定它是矩形的是()
A.AB=CD,AB∥CD,∠BAD=90°
B.AO=CO,BO=DO,
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- 四边形 北师大 九年级 数学 讲义