八年级数学上册13勾股定理的应用练习题新版北师大版.docx
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八年级数学上册13勾股定理的应用练习题新版北师大版.docx
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八年级数学上册13勾股定理的应用练习题新版北师大版
勾股定理的应用
班级:
___________姓名:
___________得分:
__________
一.选择题(每小题6分,30分)
1、两只小鼹鼠在地下打洞,一只朝前方挖,每分钟挖8cm,另一只朝左挖,每分钟挖6cm,10分钟后,两只小鼹鼠相距( )
A、50cmB、100cm
C、140cmD、80cm
2、王英在荷塘边观看荷花,突然想测试池塘的水深,她把一株竖直的荷花(如图)拉到岸边,花柄正好与水面成60°夹角,测得AB长60cm,则荷花处水深OA为( )
A、120cmB、60cm
C、60cmD、20cm
3、现有两根铁棒,它们的长分别为2米和3米,如果想焊一个直角三角形铁架,那么第三根铁棒的长为( )
A、米B、米
C、米或米D、米
4、如图,长方体的长为15,宽为10,高为20,点B离点C的距离为5,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B,需要爬行的最短距离是( )
A、5B、25
C、10+5D、35
5.一只小蚂蚁从点C开始沿圆锥侧面爬行到点A,另一只小蚂蚁绕着圆锥侧面爬行到点B,它们所爬行的最短路线的痕迹如图所示.若沿OA剪开,则得到的圆锥侧面展开图为()
二、解答题(每小题10分,70分)
1.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,若把△ABC沿直线DE折叠,使△ADE与△BDE重合.
(1)当∠A=35°时,求∠CBD的度数.
(2)若AC=4,BC=3,求AD的长.
(3)当AB=m(m>0),△ABC的面积为m+1时,求△BCD的周长.
(用含m的代数式表示)
2.如图,是一个三级台阶,它的每一级的长、宽和高分别等于5cm,3cm和1cm,A和B是这个台阶的两个相对的端点,A点上有一只蚂蚁,想到B点去吃可口的食物.请你想一想,这只蚂蚁从A点出发,沿着台阶面爬到B点,最短线路是多少?
3.如图,圆锥的主视图是等边三角形,圆锥的底面半径为2cm,假若点B有一蚂蚁只能沿圆锥的表面爬行,它要想吃到母线AC的中点P处的食物,那么它爬行的最短路程是多少?
4.已知,圆锥底面半径为10cm,高为1015cm,
(1)求圆锥的表面积;
(2)若一只蚂蚁从底面一点A出发绕圆锥一周回到SA上一点M处,且SM=3AM,求它所走的最短距离。
5.葛藤是一种刁钻的植物,它的腰杆不硬,为了争夺雨露阳光,常常绕着树干盘旋而上,它还有一手绝招,就是它绕树盘升的路线总是沿最短路线--螺旋前进的,难道植物也懂数学?
通过阅读以上信息,解决下列问题:
(1)如果树干的周长(即图中圆柱体的底面周长)为30cm,绕一圈升高(即圆柱的高)40cm,则它爬行一圈的路程是多少?
(2)如果树干的周长为80cm,绕一圈爬行100cm,它爬行10圈到达树顶,则树干高多少?
6.如图,四边形ABCD是矩形,AB=3,BC=4,把矩形沿直线AC折叠,点B落在点F处,连接DF,CF与AD相交于点E,求DE的长和△ACE的面积.
7.如图,在正方形ABCD中,点E是CD上一点(DE>CE),连接AE,并过点E作AE的垂线交BC于点F,若AB=9,BF=7,求DE长.
参考答案
一.选择题
1.B
【解析】首先根据题意知:
它们挖的方向构成了直角.再根据路程=速度×时间,根据勾股定理即可求解.
由图可知,AC=8×10=80cm,BC=6×10=60cm,由勾股定理得,
AB===100cm.
故选B.
2.B
【解析】由图可看出,三角形OAB为一直角三角形,已知一直角边和一角,则可求另两边.
在Rt△ABO中,∠OAB=90°,∠ABO=60°,AB=60,则OA=60cm.故选B.
3. C
【解析】分两种情况讨论:
①第三根铁棒的长为斜边;②第三根铁棒的长为直角边.
①第三根铁棒为斜边时,其长度为:
=米;
②第三根铁棒的长为直角边时,其长度为:
=米.
4B
【解析】要求蚂蚁爬行的最短距离,需将长方体的侧面展开,进而根据“两点之间线段最短”得出结果.将长方体展开,连接A、B,
根据两点之间线段最短,AB==25.
故选B.
5.C
【解析】要求蚂蚁爬行的最短距离,需将圆锥的侧面展开,进而根据“两点之间线段最短”得出结果,再利用做对称点作出另一只小蚂蚁绕着圆锥侧面爬行到点B,它们所爬行的最短路线.故选C
二、解答题
1.解:
(1)20°.
(2)设AD=x,由已知BD=x;CD=4-x.
在△BCD中,∠C=90°,根据勾股定理,得x2=(4-x)2+32
解得x=.∴AD=
(3)设AC=b,BC=a,
由已知m2=a2+b2,且
可求出a+b=m+2.
由已知a+b即为△BCD的周长,
所以△BCD的周长为m+2.
2、解:
展开图如图所示,AB==13cm
3、解:
根据圆锥的主视图是等边三角形可知,展开图是半径是4的半圆.点B是半圆的一个端点,而点P是平分半圆的半径的中点,根据勾股定理就可求出两点B和P在展开图中的距离,就是这只蚂蚁爬行的最短距离.
圆锥的展开图的圆心角=rl×360°.
主视图是等边三角形的圆锥的展开图的圆心角是180°.
本题主要考查了圆锥的侧面展开图的计算,正确判断蚂蚁爬行的路线,把曲面的问题转化为平面的问题是解题的关键.
解:
设圆锥的展开图的圆心角为n,则
2×2×π=nπ×4180,
解得:
n=180°
即∠CQC’=180°
在展开图中,BA⊥CC’,BA=4,AP=2,由勾股定理得,BP=42+22=20=25
4.解:
利用底面半径、高及母线组成的直角三角形构造勾股定理求出母线长,进而借助扇形面积公式求出表面积;蚂蚁在圆锥表面上行走一圈,而圆锥侧面展开后为扇形,故可在展开图(扇形)上求点A’到M的最短距离(即A’M的长)。
解:
(1)圆锥的母线长
SA=OA2+OS2=40,圆锥侧面展开图扇形的弧长l=2π×OA=20π(cm),∴S侧=1
2l×SA=400π(cm2),S底=π×OA2=100(cm2),∴S表=S底+S侧=500π(cm2)。
(2)沿母线SA将圆锥的侧面展开,得圆锥的侧面展开图,则线段AM的长就是蚂蚁所走的最短距离,由
(1)知SA=40,弧AA’=20π,∠ASA’=180°×20π40
π=90°,又SA’=SA=40,SM=3AM,∴SM=3
4SA=30,∴在Rt△A’SM中,A’
M=SA'2+SM2
=402+302=50,所以蚂蚁所走的最短距离是50cm.
5.解:
如图,⊙O的周长为30cm,即AC=30cm,
高是40cm,则BC=40cm
由勾股定理得AB=50cm.
故爬行一圈的路程是50cm;
(2)⊙O的周长为80cm,即AC=80cm,
绕一圈爬行100cm,则AB=100cm,
高BC=60cm.
∴树干高=60×10=600cm=6m.
故树干高6m
6.解:
由题意,得,,,
∵AD∥BC,
∴.
∴.
∴.
∴,即.
设,则,,
在Rt△中,.
即,
解得.即.
∴.
∴.
7.解:
∵四边形ABCD是正方形
∴CD=AD=BC=AB=9,∠D=∠C=90°
∴CF=BC-BF=2
在Rt△ADE中,∠DAE+∠AED=90°
∵AE⊥EF于E
∴∠AED+∠FEC=90°
∴∠DAE=∠FEC
∴△ADE∽△ECF
∴∴
解得x1=3,x2=6
∵DE>CE∴DE=6
本题也可以利用勾股定理解答:
连接AF,设DE=x,则EC=9-x
在Rt⊿ADE中,;在Rt⊿ECF中,;
在Rt⊿AEF中,;∴=+
又∵在Rt⊿ABF中,;∴+
解得x1=3,x2=6∵DE>CE∴DE=6
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