抛物线及其标准方程练习题Word下载.doc
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A.y2=16x B.y2=-16x
C.y2=8x D.y2=-8x
【解析】 因为双曲线-=1的右顶点为(4,0),即抛物线的焦点坐标为(4,0),所以抛物线的标准方程为y2=16x.
【答案】 A
3.已知双曲线-=1(a>
0,b>
0)的一条渐近线的斜率为,且右焦点与抛物线y2=4x的焦点重合,则该双曲线的离心率等于
( )
A.B.C.2D.2
【解析】 抛物线的焦点为(,0),即c=.双曲线的渐近线方程为y=x,由=,即b=a,所以b2=2a2=c2-a2,所以c2=3a2,即e2=3,e=,即离心率为.
4.抛物线y2=12x的准线与双曲线-=-1的两条渐近线所围成的三角形的面积为( )
A.3B.2C.2D.
【解析】 本题主要考查抛物线和双曲线的基本量和三角形面积的计算.抛物线y2=12x的准线为x=-3,双曲线的两条渐近线为y=±
x,它们所围成的三角形为边长为2的正三角形,所以面积为3,故选A.
二、填空题
5.(2014·
绵阳高二月考)抛物线y2=2x上的两点A、B到焦点的距离之和是5,则线段AB的中点到y轴的距离是________.
【解析】 抛物线y2=2x的焦点为F,准线方程为x=-,设A(x1,y1)、B(x2,y2),则|AF|+|BF|=x1++x2+=5,解得x1+x2=4,故线段AB的中点横坐标为2.故线段AB的中点到y轴的距离是2.
【答案】 2
6.对标准形式的抛物线,给出下列条件:
①焦点在y轴上;
②焦点在x轴上;
③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6;
④由原点向过焦点的某直线作垂线,垂足坐标为(2,1).
其中满足抛物线方程为y2=10x的是________.(要求填写适合条件的序号)
【解析】 抛物线y2=10x的焦点在x轴上,②满足,①不满足;
设M(1,y0)是y2=10x上一点,则|MF|=1+=1+=≠6,所以③不满足;
由于抛物线y2=10x的焦点为,过该焦点的直线方程为y=k,若由原点向该直线作垂线,垂足为(2,1)时,则k=-2,此时存在,所以④满足.
【答案】 ②④
7.抛物线y=2x2的准线方程为________.
【解析】 化方程为标准方程形式为x2=y,故=,开口向上,
∴准线方程为y=-.
【答案】 y=-
三、解答题
8.求焦点在x轴上,且焦点在双曲线-=1上的抛物线的标准方程.
【解】 由题意可设抛物线方程为y2=2mx(m≠0),
则焦点为.
∵焦点在双曲线-=1上,
∴=1,求得m=±
4,
∴所求抛物线方程为y2=8x或y2=-8x.
9.已知平面上动点P到定点F(1,0)的距离比点P到y轴的距离大1,求动点P的轨迹方程.
【解】 法一 设点P的坐标为(x,y),
则有=|x|+1.
两边平方并化简,得y2=2x+2|x|.
∴y2=
即点P的轨迹方程为y2=4x(x≥0)或y=0(x<0).
法二 由题意,动点P到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1,由于点F(1,0)到y轴的距离为1,故当x<0时,直线y=0上的点符合条件;
当x≥0时,原命题等价于点P到点F(1,0)与到直线x=-1的距离相等,故点P的轨迹是以F为焦点,x=-1为准线的抛物线,方程为y2=4x.故所求动点P的轨迹方程为y2=4x(x≥0)或y=0(x<0).
合肥高二月考)已知P为抛物线y2=4x上一个动点,直线l1:
x=-1,l2:
x+y+3=0,则P到直线l1,l2的距离之和的最小值为( )
A.2B.4C.D.+1
【解析】 将P点到直线l1:
x=-1的距离转化为点P到焦点F(1,0)的距离,过点F作直线l2的垂线,交抛物线于点P,此即为所求最小值点,∴P到两直线的距离之和的最小值为=2,故选A.
2.过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,点O为原点,若|AF|=3,则△AOB的面积为( )
A.B.C.D.2
【解析】 根据题意画出简图(图略),设∠AFO=θ(0<
θ<
π),|BF|=m,则点A到准线l:
x=-1的距离为3,得3=2+3cosθ⇒cosθ=,又m=2+mcos(π-θ)⇒m==,△AOB的面积为S=·
|OF|·
|AB|·
sinθ=×
1×
×
=,故选C.
【答案】 C
3.如图2
4
2是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2m,水面宽4m.水位下降1m后,水面宽________m.
图2
2
【解析】 以拱顶为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系.
设抛物线的标准方程为x2=-2py(p>
0).
则A(2,-2),代入方程得p=1,
∴抛物线的方程为x2=-2y,
设B(x0,-3)(x0<
0)代入方程得x0=-.
∴此时的水面宽度为2米.
4.已知抛物线y2=2px(p>
0)的准线过双曲线-=1(a>
0)的左焦点F1,点M是两条曲线的一个公共点.
(1)求抛物线的方程;
(2)求双曲线的方程.
【解】
(1)把M代入方程y2=2px,
得p=2,
因此抛物线的方程为y2=4x.
(2)抛物线的准线方程为x=-1,所以F1(-1,0),设双曲线的右焦点为F,则F(1,0),
于是2a=||MF1|-|MF||==,
因此a=.
又因为c=1,所以b2=c2-a2=,
于是,双曲线的方程为-=1.
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