高考数学大一轮复习第三章导数及其应用第2讲第2课时导数与函数的极值最值配套练习文北师大版Word下载.docx
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当x>
时,f′(x)<
0.
∴f(x)max=f=-lna-1=-1,解得a=1.
4.已知函数f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有极大值和极小值,则实数a的取值范围是
A.(-1,2)B.(-∞,-3)∪(6,+∞)
C.(-3,6)D.(-∞,-1)∪(2,+∞)
解析 ∵f′(x)=3x2+2ax+(a+6),
由已知可得f′(x)=0有两个不相等的实根,
∴Δ=4a2-4×
3×
(a+6)>
0,即a2-3a-18>
0,
∴a>
6或a<
-3.
答案 B
5.设函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R),若x=-1为函数f(x)ex的一个极值点,则下列图像不可能为y=f(x)图像的是
解析 因为[f(x)ex]′=f′(x)ex+f(x)(ex)′=[f(x)+f′(x)]ex,且x=-1为函数f(x)ex的一个极值点,所以f(-1)+f′(-1)=0;
选项D中,f(-1)>0,f′(-1)>0,不满足f′(-1)+f(-1)=0.
二、填空题
6.(xx·
咸阳模拟)已知函数f(x)=x3+ax2+3x-9,若x=-3是函数f(x)的一个极值点,则实数a=________.
解析 f′(x)=3x2+2ax+3.
依题意知,-3是方程f′(x)=0的根
所以3×
(-3)2+2a×
(-3)+3=0,解得a=5.
经检验,a=5时,f(x)在x=-3处取得极值.
答案 5
7.(xx·
北京卷改编)设函数f(x)=则f(x)的最大值为________.
解析 当x>
0时,f(x)=-2x<
当x≤0时,f′(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1),当x<
-1时,f′(x)>
0,f(x)是增函数,当-1<
0时,f′(x)<
0,f(x)是减函数.
∴f(x)≤f(-1)=2,∴f(x)的最大值为2.
答案 2
8.设a∈R,若函数y=ex+ax有大于零的极值点,则实数a的取值范围是________.
解析 ∵y=ex+ax,∴y′=ex+a.
∵函数y=ex+ax有大于零的极值点,
则方程y′=ex+a=0有大于零的解,
∵x>
0时,-ex<
-1,∴a=-ex<
-1.
答案 (-∞,-1)
三、解答题
9.(xx·
安徽卷)已知函数f(x)=(a>
0,r>
0).
(1)求f(x)的定义域,并讨论f(x)的单调性;
(2)若=400,求f(x)在(0,+∞)内的极值.
解
(1)由题意可知x≠-r,所求的定义域为(-∞,-r)∪(-r,+∞).
f(x)==,
f′(x)==.
所以当x<
-r或x>
r时,f′(x)<
当-r<
r时,f′(x)>
因此,f(x)的单调递减区间为(-∞,-r),(r,+∞);
f(x)的单调递增区间为(-r,r).
(2)由
(1)的解答可知f′(r)=0,f(x)在(0,r)上单调递增,在(r,+∞)上单调递减.
因此,x=r是f(x)的极大值点,
所以f(x)在(0,+∞)内的极大值为f(r)====100,f(x)在(0,+∞)内无极小值;
综上,f(x)在(0,+∞)内极大值为100,无极小值.
10.(xx·
衡水中学二调)已知函数f(x)=xlnx,g(x)=(-x2+ax-3)ex(a为实数).
(1)当a=5时,求函数y=g(x)在x=1处的切线方程;
(2)求f(x)在区间[t,t+2](t>
0)上的最小值.
解
(1)当a=5时,g(x)=(-x2+5x-3)ex,g
(1)=e.
又g′(x)=(-x2+3x+2)ex,
故切线的斜率为g′
(1)=4e.
所以切线方程为y-e=4e(x-1),即y=4ex-3e.
(2)函数f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=lnx+1,
当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x
f′(x)
-
+
f(x)
极小值
①当t≥时,在区间[t,t+2]上f(x)为增函数,
所以f(x)min=f(t)=tlnt.
②当0<
t<
时,在区间上f(x)为减函数,在区间上f(x)为增函数,
所以f(x)min=f=-.
11.(xx·
广州调研)若函数f(x)=x3+ax2+bx(a,b∈R)的图像与x轴相切于一点A(m,0)(m≠0),且f(x)的极大值为,则m的值为
A.-B.-
C.D.
解析 由题意可得f(m)=m3+am2+bm=0,m≠0,则m2+am+b=0 ①,且f′(m)=3m2+2am+b=0 ②,
①-②化简得m=-.
f′(x)=3x2+2ax+b的两根为-和-,
则b=,f=,解得a=-3,m=.
12.(xx·
安徽卷)函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图像如图所示,则下列结论成立的是
A.a>
0,b<
0,c>
0,d>
0B.a>
0,c<
C.a<
0D.a>
0,d<
解析 由函数y=f(x)的图像知,a>
0,f(0)=d>
又x1,x2是函数f(x)的极值点,
且f′(x)=3ax2+2bx+c=0,
∴x1,x2是方程3ax2+2bx+c=0的两根.
由图像知,x1>
0,x2>
∴因此b<
0,且c>
答案 A
13.(xx·
陕西卷)函数y=xex在其极值点处的切线方程为________.
解析 由y=xex可得y′=ex+xex=ex(x+1),从而可得y=xex在(-∞,-1)上递减,在(-1,+∞)上递增,所以当x=-1时,y=xex取得极小值-e-1,因为y′|x=-1=0,故切线方程为y=-e-1,即y=-.
答案 y=-
14.(xx·
山东卷改编)设f(x)=xlnx-ax2+(2a-1)x(常数a>
0)
(1)令g(x)=f′(x),求g(x)的单调区间;
(2)已知f(x)在x=1处取得极大值.求实数a的取值范围.
(1)解 由f′(x)=lnx-2ax+2a,
可得g(x)=lnx-2ax+2a,x∈(0,+∞).
所以g′(x)=-2a=.
当x∈时,g′(x)>
0,函数g(x)单调递增,
当x∈时,g′(x)<
0,函数g(x)单调递减.
∴函数y=g(x)的单调增区间为,单调减区间为.
(2)由
(1)知,f′
(1)=0.
①当0<
a<
时,>
1,由
(1)知f′(x)在内单调递增,可得当x∈(0,1)时,f′(x)<
0,当x∈时,f′(x)>
所以f(x)在(0,1)内单调递减,在内单调递增.
所以f(x)在x=1处取得极小值,不合题意.
②当a=时,=1,f′(x)在(0,1)内单调递增,在(1,+∞)内单调递减,所以当x∈(0,+∞)时,f′(x)≤0,f(x)单调递减,不合题意.
③当a>
时,0<
<
1,当x∈时,f′(x)>
0,f(x)单调递增,当x∈(1,+∞)时,f′(x)<
0,f(x)单调递减.
所以f(x)在x=1处取极大值,符合题意.
综上可知,实数a的取值范围为.
2019-2020年高考数学大一轮复习第三章导数及其应用第2讲第3课时导数与函数的综合应用配套练习文北师大版
1.某公司生产某种产品,固定成本为20000元,每生产一单位产品,成本增加100元,已知总营业收入R与年产量x的年关系是R=R(x)=则总利润最大时,年产量是
A.100B.150
C.200D.300
解析 由题意得,总成本函数为C=C(x)=20000+100x,
总利润P(x)=
又P′(x)=
令P′(x)=0,得x=300,易知x=300时,总利润P(x)最大.
2.设f(x)是定义在R上的奇函数,且f
(2)=0,当x>
0时,有<
0恒成立,则不等式x2f(x)>
0的解集是
A.(-2,0)∪(2,+∞)B.(-2,0)∪(0,2)
C.(-∞,-2)∪(2,+∞)D.(-∞,-2)∪(0,2)
解析 x>
0时′<
0,∴φ(x)=在(0,+∞)为减函数,又φ
(2)=0,
∴当且仅当0<
2时,φ(x)>
0,此时x2f(x)>
又f(x)为奇函数,∴h(x)=x2f(x)也为奇函数.
故x2f(x)>
0的解集为(-∞,-2)∪(0,2).
3.若关于x的不等式x3-3x2-9x+2≥m对任意x∈[-2,2]恒成立,则m的取值范围是
A.(-∞,7]B.(-∞,-20]
C.(-∞,0]D.[-12,7]
解析 令f(x)=x3-3x2-9x+2,则f′(x)=3x2-6x-9,令f′(x)=0得x=-1或x=3(舍去).
∵f(-1)=7,f(-2)=0,f
(2)=-20,
∴f(x)的最小值为f
(2)=-20,故m≤-20.
4.(xx·
景德镇联考)已知函数f(x)的定义域为[-1,4],部分对应值如下表:
-1
2
3
4
1
f(x)的导函数y=f′(x)的图像如图所示.当1<
2时,函数y=f(x)-a的零点的个数为
A.1B.2
C.3D.4
解析 根据导函数图像,知2是函数的极小值点,函数y=f(x)的大致图像如图所示.
由于f(0)=f(3)=2,1<
2,所以y=f(x)-a的零点个数为4.
5.(xx·
全国Ⅰ卷)已知函数f(x)=ax3-3x2+1,若f(x)存在唯一的零点x0,且x0>
0,则a的取值范围是
A.(2,+∞)B.(1,+∞)
C.(-∞,-2)D.(-∞,-1)
解析 a=0时,不符合题意,a≠0时,f′(x)=3ax2-6x.
令f′(x)=0,得x=0或x=.
若a>
0,则由图像知f(x)有负数零点,不符合题意.
则a<
0,由图像结合f(0)=1>
0知,此时必有
f>
0,即a×
-3×
+1>
化简得a2>
4.
又a<
0,所以a<
-2.
答案 C
6.某品牌电动汽车的耗电量y与速度x之间有关系y=x3-x2-40x(x>
0),为使耗电量最小,则速度应定为________.
解
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- 高考 数学 一轮 复习 第三 导数 及其 应用 课时 函数 极值 配套 练习 北师大
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