关于行列式的一般定义和计算方法Word文件下载.docx
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行列式的性质
性质1:
行列式和它的转置行列式的值相同。
即=;
行列式对行满足的性质对列也同样满足。
性质2 互换行列式的两行(列),行列式的值变号.
如:
D==ad-bc,=bc-ad=-D
以r表第i行,C表第j列。
交换i,j两行记为r,交换i,j两列记作CC。
性质3:
如果一个行列式的两行(或两列)完全相同,那么这个行列式的值等于零。
性质4:
把一个行列式的某一行(或某一列)的所有元素同乘以某一个常数k的结果等于用这个常数k乘这个行列式。
(第i行乘以k,记作r)
推论1:
一个行列式的某一行(或某一列)的所有元素的公因式可以提到行列式符号的前面。
推论2:
如果一个行列式的某一行(或某一列)的所有元素都为零,那么行列式值等于零。
推论3:
如果一个行列式的某二行(或某二列)的对应元素成比例,那么行列式值等于零。
性质5:
如果行列式D的某一行(或某一列)的所有元素都可以表成两项的和,那么行列式D等于两个行列式D1和D2的和。
=+
性质6:
把行列式的某一行(或某一列)的元素乘同一个数后,加到另一行(或另一列)的对应元素上,行列式值不变。
推论如果行列式的某一行(列)的每个元素都是m个数之和(m>
2),则此行列式等于m个行列式之和。
一个n阶行列式,如果它的元素满足:
;
试证:
当n为奇数时,此行列式为零。
每一行(或列)提出一个(-1),再转置得D=(-1)nD
性质7行列式的某一行(列)的各元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式的乘积之和等于零。
按行:
按列:
将性质7与Laplace定理合并为下列结论:
(1)
和
(2)
行列式的计算
1.利用行列式定义直接计算
例1计算行列式
解Dn中不为零的项用一般形式表示为
.
该项列标排列的逆序数t(n-1n-2…1n)等于,故
2.利用行列式的性质计算
例2一个n阶行列式的元素满足
则称Dn为反对称行列式,证明:
奇数阶反对称行列式为零.
证明:
由知,即
故行列式Dn可表示为
由行列式的性质
当n为奇数时,得Dn=-Dn,因而得Dn=0.
3.化为三角形行列式
若能把一个行列式经过适当变换化为三角形,其结果为行列式主对角线上元素的乘积。
因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。
例3计算n阶行列式
解:
这个行列式的特点是每行(列)元素的和均相等,根据行列式的性质,把第2,3,…,n列都加到第1列上,行列式不变,得
4.降阶法
降阶法是按某一行(或一列)展开行列式,这样可以降低一阶,更一般地是用拉普拉斯定理,这样可以降低多阶,为了使运算更加简便,往往是先利用列式的性质化简,使行列式中有较多的零出现,然后再展开。
例4计算n阶行列式
解将Dn按第1行展开
5.逆推公式法
逆推公式法:
对n阶行列式Dn找出Dn与Dn-1或Dn与Dn-1,Dn-2之间的一种关系——称为逆推公式(其中Dn,Dn-1,Dn-2等结构相同),再由递推公式求出Dn的方法称为递推公式法。
例5证明
将Dn按第1列展开得
由此得递推公式:
,利用此递推公式可得
6.利用范德蒙行列式
例6计算行列式
解把第1行的-1倍加到第2行,把新的第2行的-1倍加到第3行,以此类推直到把新的第n-1行的-1倍加到第n行,便得范德蒙行列式
7.加边法(升阶法)
加边法(又称升阶法)是在原行列式中增加一行一列,且保持原行列式不变的方法。
例7计算n阶行列式
(箭形行列式)
8.数学归纳法
例8计算n阶行列式
解:
用数学归纳法.当n=2时
假设n=k时,有
则当n=k+1时,把Dk+1按第一列展开,得
由此,对任意的正整数n,有
9.拆开法
把某一行(或列)的元素写成两数和的形式,再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和,使问题简化以利计算。
例9计算行列式
……
上面介绍了计算n阶行列式的常见方法,计算行列式时,我们应当针对具体问题,把握行列式的特点,灵活选用方法。
学习中多练习,多总结,才能更好地掌握行列式的计算。
(1);
证明
关于行列式的消项(其中C代表列·
·
R代表行)
(2)(ab)3;
(ab)3
(3)
(ab)(ac)(ad)(bc)(bd)(cd)(abcd);
证明
(c2,c3,c4减数字去第一列的)
=(ab)(ac)(ad)(bc)(bd)(cd)(abcd)
(4)xna1xn1an1xan
证明用数学归纳法证明.
当n2时命题成立
假设对于(n1)阶行列式命题成立即
Dn1xn1a1xn2an2xan1
则Dn按第一列展开,有
xDn1anxna1xn1an1xan
因此对于n阶行列式命题成立6设n阶行列式Ddet(aij),把D上下翻转、或逆时针旋转90、或依副对角线翻转依次得
证明D3D
证明 因为Ddet(aij)所以
.
同理可证
7计算下列各行列式(Dk为k阶行列式)
(1),其中对角线上元素都是a未写出的元素都是0
解
(按第n行展开)
anan2an2(a21)
(2);
解将第一行乘
(1)分别加到其余各行得
再将各列都加到第一列上得
[x(n1)a](xa)n1
(3);
解根据第6题结果,有
此行列式为范德蒙德行列式.
例3
练习3:
证明:
证明:
左边
从最后一行开始,每行减去上一行,得到:
123...n-1n
111...11-n
............
11-n1...11
然后做列变换,从各列中减去第一列,得到:
112...n-2n-1
100...0-n
1-n0...00
再把各列乘以(1/n),加回到第一列,得到:
(n+1)/212...n-2n-1
000...0-n
0-n0...00
最后沿第一列展开得到结果是(1/2)*(n+1)*n^{n-1}*(-1)^{(n-1)(n-2)/2}
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