高考数学理第一轮复习学案数列求和Word文件下载.doc
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A. B.
C. D.
解析:
选D 因为数列{(-1)n}是首项与公比均为-1的等比数列,所以Sn==.
2.等差数列{an}的通项公式为an=2n+1,其前n项的和为Sn,则数列的前10项的和为( )
A.120 B.70
C.75 D.100
选C ∵Sn==n(n+2),
∴=n+2.故++…+=75.
3.数列a1+2,…,ak+2k,…,a10+20共有十项,且其和为240,则a1+…+ak+…+a10的值为( )
A.31 B.120
C.130 D.185
选C a1+…+ak+…+a10=240-(2+…+2k+…+20)=240-=240-110=130.
4.若数列{an}的通项公式为an=2n+2n-1,则数列{an}的前n项和为________.
Sn=+=2n+1-2+n2.
答案:
2n+1+n2-2
5.数列,,,…,,…的前n项和为________.
因an==
则Sn=
==.
数列求和的方法
(1)一般的数列求和,应从通项入手,若无通项,先求通项,然后通过对通项变形,转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式,从而选择合适的方法求和.
(2)解决非等差、等比数列的求和,主要有两种思路:
①转化的思想,即将一般数列设法转化为等差或等比数列,这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来完成.
②不能转化为等差或等比数列的数列,往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和.
分组转化法求和
典题导入
[例1] (2011·
山东高考)等比数列{an}中,a1,a2,a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且a1,a2,a3中的任何两个数不在下表的同一列.
第一列
第二列
第三列
第一行
3
2
10
第二行
6
4
14
第三行
9
8
18
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足:
bn=an+(-1)nlnan,求数列{bn}的前2n项和S2n.
[自主解答]
(1)当a1=3时,不合题意;
当a1=2时,当且仅当a2=6,a3=18时,符合题意;
当a1=10时,不合题意.
因此a1=2,a2=6,a3=18.所以公比q=3,故an=2·
3n-1.
(2)因为bn=an+(-1)nlnan=2·
3n-1+(-1)nln(2·
3n-1)=2·
3n-1+(-1)n(ln2-ln3)+(-1)nnln3,
所以S2n=b1+b2+…+b2n=2(1+3+…+32n-1)+[-1+1-1+…+(-1)2n](ln2-ln3)+[-1+2-3+…+(-1)2n2n]ln3=2×
+nln3=32n+nln3-1.
由题悟法
分组转化法求和的常见类型
(1)若an=bn±
cn,且{bn},{cn}为等差或等比数列,可采用分组求和法求{an}的前n项和.
(2)通项公式为an=的数列,其中数列{bn},{cn}是等比数列或等差数列,可采用分组求和法求和.以题试法
1.已知数列{xn}的首项x1=3,通项xn=2np+nq(n∈N*,p,q为常数),且x1,x4,x5成等差数列.求:
(1)p,q的值;
(2)数列{xn}前n项和Sn的公式.
解:
(1)由x1=3,得2p+q=3,又因为x4=24p+4q,
x5=25p+5q,且x1+x5=2x4,得3+25p+5q=25p+8q,
解得p=1,q=1.
(2)由
(1),知xn=2n+n,所以Sn=(2+22+…+2n)+(1+2+…+n)=2n+1-2+.
错位相减法求和
[例2] (2012·
江西高考)已知数列{an}的前n项和Sn=kcn-k(其中c,k为常数),且a2=4,a6=8a3.
(1)求an;
(2)求数列{nan}的前n项和Tn.
[自主解答]
(1)由Sn=kcn-k,得an=Sn-Sn-1=kcn-kcn-1(n≥2).
由a2=4,a6=8a3,得kc(c-1)=4,kc5(c-1)=8kc2(c-1),解得
所以a1=S1=2,an=kcn-kcn-1=2n(n≥2),
于是an=2n.
(2)Tn=ai=·
2i,
即Tn=2+2·
22+3·
23+4·
24+…+n·
2n.
Tn=2Tn-Tn=-2-22-23-24-…-2n+n·
2n+1
=-2n+1+2+n·
2n+1=(n-1)2n+1+2.
用错位相减法求和应注意:
(1)要善于识别题目类型,特别是等比数列公比为负数的情形;
(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn-qSn”的表达式.
(3)在应用错位相减法求和时,若等比数列的公比为参数,应分公比等于1和不等于1两种情况求解.
以题试法
2.(2012·
济南模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn=3n+k.
(1)求k的值及数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足=(4+k)anbn,求数列{bn}的前n项和Tn.
(1)当n≥2时,由an=Sn-Sn-1=3n+k-3n-1-k=2·
3n-1,得等比数列{an}的公比q=3,首项为2.
∴a1=S1=3+k=2,∴k=-1,∴数列{an}的通项公式为an=2·
3n-1.
(2)由=(4+k)anbn,可得bn=,
即bn=·
.
∵Tn=,
∴Tn=,
∴Tn=.
裂项相消法求和
[例3] 已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn=nan-n(n-1)(n∈N*).
(2)设bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.
[自主解答]
(1)∵Sn=nan-n(n-1),当n≥2时,
Sn-1=(n-1)·
an-1-(n-1)(n-2),
∴an=Sn-Sn-1=nan-n(n-1)-(n-1)an-1+(n-1)·
(n-2),
即an-an-1=2.
∴数列{an}是首项a1=1,公差d=2的等差数列,
故an=1+(n-1)·
2=2n-1,n∈N*.
(2)由
(1)知bn===-,
故Tn=b1+b2+…+bn=+++…+=1-=.
本例条件不变,若数列{bn}满足bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.
Sn=nan-n(n-1)=n(2n-1)-n(n-1)=n2.
bn====-,
Tn=+++…+=1-=.
利用裂项相消法求和应注意
(1)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项,也有可能前面剩两项,后面也剩两项;
(2)将通项裂项后,有时需要调整前面的系数,使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等.如:
若{an}是等差数列,则=,=.
3.(2012·
“江南十校”联考)在等比数列{an}中,a1>
0,n∈N*,且a3-a2=8,又a1、a5的等比中项为16.
(2)设bn=log4an,数列{bn}的前n项和为Sn,是否存在正整数k,使得+++…+<
k对任意n∈N*恒成立.若存在,求出正整数k的最小值;
不存在,请说明理由.
(1)设数列{an}的公比为q,由题意可得a3=16,
∵a3-a2=8,则a2=8,∴q=2.
∴an=2n+1.
(2)∵bn=log42n+1=,
∴Sn=b1+b2+…+bn=.
∵==,
∴+++…+
=
=<
,
∴存在正整数k的最小值为3.
1.已知{an}是首项为1的等比数列,Sn是{an}的前n项和,且9S3=S6,则数列的前5项和为( )
A.或5 B.或5
C. D.
选C 设数列{an}的公比为q.由题意可知q≠1,且=,解得q=2,所以数列是以1为首项,为公比的等比数列,由求和公式可得S5=.
2.已知数列{an}的前n项和Sn=an2+bn(a、b∈R),且S25=100,则a12+a14等于( )
A.16 B.8
C.4 D.不确定
选B 由数列{an}的前n项和Sn=an2+bn(a、b∈R),可知数列{an}是等差数列,由S25==100,解得a1+a25=8,所以a1+a25=a12+a14=8.
3.数列1,3,5,7,…,(2n-1)+,…的前n项和Sn的值等于( )
A.n2+1- B.2n2-n+1-
C.n2+1- D.n2-n+1-
选A 该数列的通项公式为an=(2n-1)+,
则Sn=[1+3+5+…+(2n-1)]+=n2+1-.
4.(2012·
“江南十校”联考)若数列{an}为等比数列,且a1=1,q=2,则Tn=++…+的结果可化为( )
A.1- B.1-
C. D.
选C an=2n-1,设bn==2n-1,
则Tn=b1+b2+…+bn=+3+…+2n-1
5.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a5=5,S5=15,则数列的前100项和为( )
A. B.
选A 设等差数列{an}的首项为a1,公差为d.
∵a5=5,S5=15,∴
∴∴an=a1+(n-1)d=n.
∴==-,∴数列的前100项和为1-+-+…+-=1-=.
6.已知函数f(n)=且an=f(n)+f(n+1),则a1+a2+a3+…+a100等于( )
A.0 B.100
C.-100 D.10200
选B 由题意,a1+a2+a3+…+a100=12-22-22+32+32-42-42+52+…+992-1002-1002+1012=-(1+2)+(3+2)+…-(99+100)+(101+100)=-(1+2+…+99+100)+(2+3+…+100+101)=-1+101=100.
7.在等差数列{an}中,Sn表示前n项和,a2+a8=18-a5,则S9=________.
由等差数列的性质及a2+a8=18-a5,
得2a5=18-a5,则a5=6,
故S9==9a5=54.
54
8.对于数列{
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