高考数学人教版考前终极冲刺练习导数与其他知识的综合问题文档格式.docx
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当时,函数有最小值.设g(x)的最小值为,求函数的值域.
5.设函数.
(1)证明:
在单调递减,在单调递增;
(2)若对于任意,都有,求的取值范围.
6.已知函数.
(1)当时,试判断函数的单调性;
(2)若,求证:
函数在上的最小值小于.
7.已知函数,.
(1)若曲线与曲线在它们的交点处的公共切线为,求m,n,C的值;
(2)当时,若,,求m的取值范围.
8.已知函数.
(1)求函数的单调增区间;
(2)若是方程的两个不同的实数解,证明:
参考答案
1.【解析】
(1)的定义域为,,
(ⅰ)若,则,所以在单调递减.
(ⅱ)若,则由得.
当时,;
当时,,
所以在单调递减,在单调递增.
(2)(ⅰ)若,由
(1)知,至多有一个零点.
(ⅱ)若,由
(1)知,当时,取得最小值,最小值为.
①当时,由于,故只有一个零点;
②当时,由于,即,故没有零点;
③当时,,即.
又,故在有一个零点.
设正整数满足,则.
由于,因此在有一个零点.
综上,的取值范围为.
2.【解析】
(1)的定义域为.
①若,因为,所以不满足题意;
②若,由知,当时,;
当时,,所以在单调递减,在单调递增,故x=a是在的唯一最小值点.
由于,所以当且仅当a=1时,.
故a=1.
(2)由
(1)知当时,.
令得.从而
故.
而,所以的最小值为.
3.【解析】
(1).
(i)设,则,只有一个零点.
(ii)设,则当时,;
当时,.所以在单调递减,在单调递增.
又,,取满足且,则
,
故存在两个零点.
(iii)设,由得或.
若,则,故当时,,因此在单调递增.又当时,所以不存在两个零点.
若,则,故当时,;
当时,.因此在单调递减,在单调递增.又当时,,所以不存在两个零点.
综上,的取值范围为.
(2)不妨设,由(Ⅰ)知,,在单调递减,所以等价于,即.
由于,而,所以
.
设,则.
所以当时,,而,故当时,.
从而,故.
4.【解析】
且仅当时,,所以在单调递增,
因此当时,
所以
(2)
由(I)知,单调递增,对任意
因此,存在唯一使得即,
当时,单调递减;
当时,单调递增.
因此在处取得最小值,最小值为
于是,由单调递增
所以,由得
因为单调递增,对任意存在唯一的
使得所以的值域是
综上,当时,有最小值,的值域是
5.【解析】
(Ⅰ).
若,则当时,,;
当时,,.
所以,在单调递减,在单调递增.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,对任意的,在单调递减,在单调递增,故在处取得最小值.所以对于任意,的充要条件是即①,设函数,则.当时,;
当时,.故在单调递减,在单调递增.又,,故当时,.当时,,,即①式成立.当时,由的单调性,,即;
当时,,即.综上可知,的取值范围是.
6.【解析】
(1)由题可得,
设,则,
所以当时,在上单调递增,
当时,在上单调递减,
所以,因为,所以,即,
所以函数在上单调递增.
(2)由
(1)知在上单调递增,
因为,所以,
所以存在,使得,即,即,
所以函数在上单调递减,在上单调递增,所以当时,令,,则恒成立,
所以函数在上单调递减,所以,
所以,即当时,
故函数在上的最小值小于.
7.【解析】
(1)设它们的公共交点的横坐标为,
则.
,则,①;
,则,②.
由②得,由①得.
将,代入得,∴,.
(2)由,得,
即在上恒成立,
令,
则,
其中在上恒成立,
∴在上单调递增,在上单调递减,
则,∴.
故m的取值范围是.
8.【解析】
(1)依题意,,
令,则,解得,
故函数的单调增区间为.
(2)不妨设,由得,,令,
令,则,
由题意,知方程有两个根,
即方程有两个根,不妨设,.
令,则,
由可得,由可得,
当时,是增函数,当时,是减函数.
故结合已知有.
要证,即证,即证,即证,
即证,即证.又,即证,
令,下面证对任意的恒成立.
.
,∴,
∴.
∵,∴,
∴在上是增函数,∴,
∴得证.
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