高考数学新课标理科真题Word格式文档下载.doc
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当x=1时,f
(1)=e->0,排除D;
当x→+∞时,f(x)→+∞,排除C.故选B.
4.(2018年新课标Ⅱ理)已知向量a,b满足|a|=1,a·
b=-1,则a·
(2a-b)=()
A.4 B.3 C.2 D.0
B【解析】由题意,a·
(2a-b)=2a2-a·
b=2+1=3.
5.(2018年新课标Ⅱ理)双曲线-=1(a>
0,b>
0)的离心率为,则其渐近线方程为()
A.y=±
x B.y=±
x C.y=±
x D.y=±
x
A【解析】依题意,e==,则====,所以双曲线的渐近线方程为y=±
x=±
x.故选A.
6.(2018年新课标Ⅱ理)在△ABC中,cos=,BC=1,AC=5,则AB=()
A.4 B. C. D.2
A【解析】cosC=2×
2-1=-,由余弦定理,得AB=
==4.
7.(2018年新课标Ⅱ理)为计算S=1-+-+…+-,设计了如图的程序框图,则在空白框中应填入()
A.i=i+1?
B.i=i+2?
C.i=i+3?
D.i=i+4?
B【解析】模拟程序框图的运行过程知该程序运行后输出的是S=N-T=++…+,则在空白处应填入“i=i+2?
”.
8.(2018年新课标Ⅱ理)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30=7+23.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是()
A. B. C. D.
C【解析】在不超过30的素数中有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29共10个,从中选2个不同的数有C=45种,和等于30的有(7,23),(11,19),(13,17)共3种,则对应的概率p==.
9.(2018年新课标Ⅱ理)在长方体ABCD
A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=,则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为()
A. B. C. D.
C【解析】以D为原点,DA为x轴DC为y轴,DD1为z轴,建立空间直角坐标系如图所示.∵在长方体ABCD
A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=,∴A(1,0,0),D1(0,0,),D(0,0,0),B1(1,1,),=(-1,0,),=(1,1,).设异面直线AD1与DB1所成角为θ,则cosθ===.故选C.
10.(2018年新课标Ⅱ理)若f(x)=cosx-sinx在[0,a]是减函数,则a的最大值是()
A. B. C. D.π
C【解析】f(x)=cosx-sinx=-(sinx-cosx)=-sin.由-+2kπ≤x-≤+2kπ(k∈Z),得-+2kπ≤x≤+2kπ(k∈Z).取k=0,得f(x)的一个减区间为.由f(x)在[0,a]是减函数,得a≤[0,a]是减函数,所以a的最大值是.
11.(2018年新课标Ⅱ理)已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x),若f
(1)=2,则f
(1)+f
(2)+f(3)+…+f(50)=()
A.-50 B.0 C.2 D.50
C【解析】∵f(x)是奇函数,且f(1-x)=f(1+x),∴f(1-x)=f(1+x)=-f(x-1),f(0)=0,则f(x+2)=-f(x),则f(x+4)=-f(x+2)=f(x),即f(x)是周期为4的周期函数.∵f
(1)=2,∴f
(2)=f(0)=0,f(3)=f(1-2)=f(-1)=-f
(1)=-2,f(4)=f(0)=0,则f
(1)+f
(2)+f(3)+f(4)=2+0-2+0=0,∴则f
(1)+f
(2)+f(3)+…+f(50)=12[f
(1)+f
(2)+f(3)+f(4)]+f(49)+f(50)=f
(1)+f
(2)=2+0=2.
12.(2018年新课标Ⅱ理)已知F1,F2是椭圆C:
+=1(a>b>0)的左、右焦点,A是C的左顶点,点P在过A且斜率为的直线上,△PF1F2为等腰三角形,∠F1F2P=120°
则C的离心率为()
A.B. C. D.
D【解析】由题意知A(-a,0),F1(-c,0),F2(c,0),直线AP的方程为y=(x+a).由∠F1F2P=120°
|PF2|=|F1F2|=2c,则P(2c,c),代入AP的方程,整理得a=4c,∴C的离心率e==.
13.(2018年新课标Ⅱ理)曲线y=2lnx在点(1,0)处的切线方程为________.
y=2x-2【解析】∵y=2lnx,∴y′=.当x=1时,y′=2,∴曲线y=2lnx在点(1,0)处的切线方程为y-0=2(x-1),即y=2x-2.
14.(2018年新课标Ⅱ理)若x,y满足约束条件则z=x+y的最大值为________.
9【解析】作出可行域如图.z=x+y可化为y=-x+z.当直线y=-x+z过A(5,4)时,z取得最大值,最大值为z=5+4=9.
15.(2018年新课标Ⅱ理)已知sinα+cosβ=1,cosα+sinβ=0,则sin(α+β)=________.
-【解析】由sinα+cosβ=1,两边平方,得sin2α+cos2β+2sinαcosβ=1,①由cosα+sinβ=0,两边平方,得cos2α+sin2β+2cosαsinβ=0,②①+②,得2+2(sinαcosβ+cosαsinβ)=1,即2+2sin(α+β)=1,解得sin(α+β)=-.
16.(2018年新课标Ⅱ理)已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB所成角的余弦值为,SA与圆锥底面所成角为45°
若△SAB的面积为5,则该圆锥的侧面积为________.
40【解析】由题意可得sin∠AMB==.S△SAB=|SA|2sin∠AMB=5,即|SA|2·
=5,解得SA=4.SA与圆锥底面所成角为45°
可得圆锥的底面半径为×
4=2,则该圆锥的侧面积=×
4×
4π=40π.
17.(2018年新课标Ⅱ理)记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a1=-7,S3=-15.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求Sn,并求Sn的最小值.
【解析】
(1)设等差数列{an}的公差为d.
S3=3a1+3d=3×
(-7)+3d=-15,解得d=2.
∴an=a1+(n-1)d=-7+2(n-1)=2n-9.
(2)Sn===n2-8n.
∵Sn=n2-8n=(n-4)2-16,
∴当n=4时,Sn有最小值为-16.
18.(2018年新课标Ⅱ理)如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位:
亿元)的折线图.
为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立了y与时间变量t的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2,…,17)建立模型①:
=-30.4+13.5t;
根据2010年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2,…,7)建立模型②:
=99+17.5t.
(1)分别利用这两个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值;
(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?
并说明理由.
(1)对于模型①,当t=19时,=-30.4+13.5×
19=226.1,即该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值是226.1亿元.
对于模型②,当t=9时,=99+17.5×
9=256.5,即该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值是256.5亿元.
(2)模型②得到的预测值更可靠.
∵从总体数据看,该地区从2000年到2016年的环境基础设施投资额是逐年上升的,
而从2000年到2009年间递增的幅度较小些,从2010年到2016年间递增的幅度较大些,
∴利用模型②的预测值更可靠些.
19.(2018年新课标Ⅱ理)设抛物线C:
y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8.
(1)求l的方程;
(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.
(1)抛物线C的焦点为F(1,0).
当直线的斜率不存在时,|AB|=4,不合题意.
设直线AB的方程为y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2).
联立消去y,得k2x2-2(k2+2)x+k2=0,
∴x1+x2=,x1x2=1.
由|AB|=x1+x2+p=+2=8,解得k=1.
∴直线l的方程y=x-1.
(2)由
(1)得AB的中点坐标为D(3,2),
则直线AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),即y=-x+5.
设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则解得或
∴所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.
20.(2018年新课标Ⅱ理)如图,在三棱锥P
ABC中,AB=BC=2,PA=PB=PC=AC=4,O为AC的中点.
(1)求证:
PO⊥平面ABC;
(2)若点M在棱BC上,且二面角M
PA
C为30°
求PC与平面PAM所成角的正弦值.
(1)证明:
∵AB=BC=2,AC=4,∴AB2+BC2=AC2,即△ABC是直角三角形.
又O为AC的中点,∴OA=OB=OC.
∵PA=PB=PC,∴△POA≌△POB≌△POC.
∴∠POA=∠POB=∠POC=90°
.
∴PO⊥AC,PO⊥OB,OB∩AC=0,∴PO⊥平面ABC.
(2)以O坐标原点,OB,OC,OP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系如图所示.
易知A(0,-2,0),P(0,0,2),C(0,2,0),B(2,0,0),=(-2,2,0).
设=
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