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本节课我们将对全章的知识、方法进行系统的归纳总
结;
系统掌握解三角形的方法与技巧.由此展开新课的探究.推进新
新知探究
提出问题
1
知识结构图
2
弦定理、余弦定理都有哪些应用?
3
若求一个三角形的角时,既可以用正弦定理,也可以用余弦
定理,怎样选择较好?
4角形的知识主要应用于怎样的一些问
题?
5
法.
活动:
教师引导学生画出本章知识框图,教师打出演示:
从图中我们很清晰地看出本章我们学习了正弦定理、余弦定理以及应用这两个定理解三角形,由于本章内容实践性很强,之后又重点研究了两个定理在测量距离、高度、角度等问题中的一些应用.教师与学生一起回忆正弦定理、余弦定理的内容及应用如下:
正弦定理、余弦定理:
asinA=bsinB=csinc,
a2=b2+c2-2bccosA,
b2=c2+a2-2accosB,
c2=a2+b2-2abcosc.
正弦定理、余弦定理的应用:
利用正弦定理,可以解决以下两类有关三角形的问题.
①已知两角和任一边,求其他两边和一角.
②已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角.
利用余弦定理,可以解决以下两类有关三角形的问题.
①已知三边,求三个角;
②已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角.
在求解一个三角形时,既可以用正弦定理,也可以用余
弦定理,要尽量选择运算量较小,不产生讨论的方法求解.若
求边,尽量用正弦定理;
若求角,尽量用余弦定理.
除了正弦定理、余弦定理外,我们还学习了三角形面积
公式S=12bcsinA=12acsinB=12absinc,利用它我们可以
解决已知两边及其夹角求三角形的面积.
教师利用多媒体投影演示如下:
解斜三角形时可用的
定理和公式适用类型备注
余弦定理
a2=b2+c2-2bccosA
b2=a2+c2-2accosB
c2=b2+a2-2bacosc已知三边
已知两边及其夹角类型有解时只有一解
正弦定理
asinA=bsinB=csinc=2R
已知两角和一边
已知两边及其中一边的对角类型在有解时只有一解,类
型可有两解、一解和无解
三角形面积公式
S=12bcsinA
=12acsinB
=12absinc
已知两边及其夹角
教师点拨学生,以上这些知识与初中的边角关系、勾股定理等内容构成三角形内容的有机整体.实际上,正弦定理只是初中“三角形中大角对大边,小角对小边”的边角关系的量化.余弦定理是初中“已知两边及其夹角,则这两个三角形全等”的量化,又是勾股定理的推广.本章的应用举例也是在初中学习的一些简单测量的基础上,应用了正弦定理、余弦定理解关于斜三角形的问题.
在应用两个定理等知识解决一些与测量和几何计算有关的问题时,需注意以下几点:
①在利用正弦定理求角时,由于正弦函数在内不严格单调,所以角的个数可能不唯一,这时应注意借助已知条件加以检验,务必做到不漏解,不多解.
②在运用正弦定理与余弦定理进行有关三角形内角证明时,余弦定理会省去取舍的麻烦,但同时要注意在根据三
角函数求角时,应先确定其范围.
③在进行边角,角边转换时,注意运用正弦定理和余弦定理的变形形式.
讨论结果:
、略.
在应用两个定理求解时,注意与平面几何知识的融
合.若求解一个三角形时两个定理都可用,则求边宜选正弦
定理,求角宜选余弦定理,但要具体问题具体分析,从中选
择最优解法.
本章知识主要应用测量、航海、建筑等在日常生活中与三角形有关的问题.
应用示例
例1判断满足下列条件的三角形形状.
acosA=bcosB;
sinc=sinA+sinBcosA+cosB.
教师与学生一起探究判定三角形形状的方法有哪
些.学生思考后可得出确定三角形的形状主要有两条途径:
化边为角,化角为边.鼓励学生尽量一题多解,比较各种解
法的优劣.
解:
方法一:
用余弦定理,得a×
b2+c2-a22bc=b×
c2+a2-b22ca.
∴c2=a4-b4=.
∴a2=b2或c2=a2+b2.
∴三角形是等腰三角形或直角三角形.
方法二:
用正弦定理,得sinAcosA=sinBcosB,
∴sin2A=sin2B.
∵A、B为三角形的内角,∴2A=2B或2A+2B=180°
.
∴A=B或A+B=90°
因此三角形为等腰三角形或直角三角形.
先用正弦定理,可得c=a+bcosA+cosB,即
c?
cosA+c?
cosB=a+b.
再用余弦定理,得c?
b2+c2-a22bc+c?
a2+c2-b22ac
=a+b.
化简并整理,得a3+b3+a2b+ab2-ac2-bc2=0,
=0.
∵a>0,b>0,∴a2+b2-c2=0,即a2+b2=c2.
∴三角形为直角三角形.
∵sinA=sin,sinB=sin,
∴原式可化为sinc?
cosA+cosB?
sinc
=sinA+sinB=sin+sin
=sinB?
cosc+cosB?
sinc+sinA?
cosc+cosA?
sinc.
∴sinB?
cosc+sinA?
cosc=0,即cosc=0.
∵0°
<A<180°
,0°
<B<180°
,
∴sinA+sinB≠0.∴cosc=0.
又∵0°
<c<180°
,∴c=90°
.∴三角形为直角三角
形.
点评:
第题中的第2种解法得出sin2A=sin2B时,很容易直接得出2A=2B,所以A=B.这样就漏掉了一种情况,因为sin2A=sin2B中有可能推出2A与2B两角互补,这点应引起学生注意.第题中绕开正、余弦定理通过三角函数值
的符号判定也是一种不错的选择,但学生不易想到,因此熟
悉三角形中sinA=sin,cosA=-cos等常见结论对解三角形大有益处.
变式训练
△ABc的三内角A、B、c的对边边长分别为a、b、c.若
a=52b,A=2B,则cosB等于
A.53B.54c.55D.56
答案:
B
解析:
由题意得ab=52=sinAsinB=sin2BsinB=
2cosB,cosB=54.
例2在△ABc中,若△ABc的面积为S,且2S=2-c2,求tanc的值.
本题涉及三角形的面积,面积公式又是以三角形
的三边a、b、c的形式给出,从哪里入手考虑呢?
教师可先
让学生自己探究,学生可能会想到将三角形面积公式代入已
知条件,但三角形面积公式S=12absinc=12acsinB=
12bcsinA有三个,代入哪一个呢?
且代入以后的下一步方向
又是什么呢?
显然思路不明.这时教师适时点拨可否化简等
式右边呢?
这样右边为2-c2=a2+b2-c2+2ab.用上余弦
定理即得a2+b2-c2+2ab=2abcosc+2ab,这就出现了目
标角c,思路逐渐明朗,由此得到题目解法.
由已知,得2-c2=a2+b2-c2+2ab
=2abcosc+2ab=2×
12absinc.
∴2=sinc,
×
2cos2c2=2sinc2?
cosc2.
<c<180°
,∴0°
<c2<90°
,即cosc2≠0.
∴tanc2=2.∴tanc=2tanc21-tan2c2=41-4=-43.
通过对本题的探究,让学生认识到拿到题目后不能盲目下手,应先制定解题策略,寻找解题切入口.
在△ABc中,tanA=14,tanB=35.
求角c的大小;
若AB边的长为17,求Bc边的长.解:
∵c=180°
-,
∴tanc=-tan=-14+351-14×
35=-1.
<c<180°
,∴c=135°
.
∵tanA=sinAcosA=14,sin2A+cos2A=1,0°
<A<
90°
∴sinA=1717.
由正弦定理,得ABsinc=BcsinA,∴Bc=AB?
sinAsinc
=2.
例3将一块圆心角为120°
,半径为20c的扇形铁片裁成一块矩形,有如图、的两种裁法:
让矩形一边在扇形的一
条半径oA上,或让矩形一边与弦AB平行,请问哪种裁法能得到最大面积的矩形?
并求出这个最大值.
本题是北京西城区的一道测试题,解题前教师引导学生回忆前面解决实际问题的方法步骤,让学生清晰认识到解决本题的关键是建立数学模型,然后用相关的数学知识来解决.
按图的裁法:
矩形的
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