苏教版选修23高中数学12《排列》word教案Word格式文档下载.docx
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分类计数原理和分步计数原理既是推导排列数公式、组合数公式的基础,也是解决排列、组合问题的主要依据,并且还常需要直接运用它们去解决问题,这两个原理贯穿排列、组合学习过程的始终.搞好排列、组合问题的教学从这两个原理入手带有根本性.
排列与组合都是研究从一些不同元素中任取元素,或排成一排或并成一组,并求有多少种不同方法的问题.排列与组合的区别在于问题是否与顺序有关.与顺序有关的是排列问题,与顺序无关是组合问题,顺序对排列、组合问题的求解特别重要.排列与组合的区别,从定义上来说是简单的,但在具体求解过程中学生往往感到困惑,分不清到底与顺序有无关系.
教学过程:
一、复习引入:
1_.分类计数原理:
做一件事情,完成它可以有n类办法,在第一类办法中有种不同的方法,在第二类办法中有种不同的方法,……,在第n类办法中有种不同的方法.那么完成这件事共有种不同的方法.
2.分步计数原理:
做一件事情,完成它需要分成n个步骤,做第一步有种不同的方法,做第二步有种不同的方法,……,做第n步有种不同的方法,那么完成这件事有种不同的方法.
分类计数原理和分步计数原理,回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题,区别在于:
分类计数原理针对的是“分类”问题,其中各种方法相互独立,每一种方法只属于某一类,用其中任何一种方法都可以做完这件事;
分步计数原理针对的是“分步”问题,各个步骤中的方法相互依存,某一步骤中的每一种方法都只能做完这件事的一个步骤,只有各个步骤都完成才算做完这件事.应用两种原理解题:
1.分清要完成的事情是什么;
2.是分类完成还是分步完成,“类”间互相独立,“步”间互相联系;
3.有无特殊条件的限制.
二、讲解新课:
1_.问题:
问题1.从甲、乙、丙3名同学中选取2名同学参加某一天的一项活动,其中一名同学参加上午的活动,一名同学参加下午的活动,有多少种不同的方法?
分析:
这个问题就是从甲、乙、丙3名同学中每次选取2名同学,按照参加上午的活动在前,参加下午活动在后的顺序排列,一共有多少种不同的排法的问题,共有6种不同的排法:
甲乙甲丙乙甲乙丙丙甲丙乙,其中被取的对象叫做元素.
问题2.从这四个字母中,每次取出3个按顺序排成一列,共有多少种不同的排法?
解决这个问题分三个步骤:
第一步先确定左边的字母,在4个字母中任取1个,有4种方法;
第二步确定中间的字母,从余下的3个字母中取,有3种方法;
第三步确定右边的字母,从余下的2个字母中取,有2种方法.
由分步计数原理共有:
4×
3×
2=24种不同的方法,用树型图排出,并写出所有的排列.由此可写出所有的排法.
2.排列的概念:
从个不同元素中,任取()个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列,叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列.
说明:
(1)排列的定义包括两个方面:
①取出元素,②按一定的顺序排列;
(2)两个排列相同的条件:
①元素完全相同,②元素的排列顺序也相同.
3.排列数的定义:
从个不同元素中,任取()个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数,用符号表示.
注意区别排列和排列数的不同:
“一个排列”是指:
从个不同元素中,任取个元素按照一定的顺序排成一列,不是数;
“排列数”是指从个不同元素中,任取()个元素的所有排列的个数,是一个数.所以符号只表示排列数,而不表示具体的排列.
4.排列数公式及其推导:
由的意义:
假定有排好顺序的2个空位,从个元素中任取2个元素去填空,一个空位填一个元素,每一种填法就得到一个排列,反过来,任一个排列总可以由这样的一种填法得到,因此,所有不同的填法的种数就是排列数.由分步计数原理完成上述填空共有种填法,
∴=.
由此,求可以按依次填3个空位来考虑,∴=,
求以按依次填个空位来考虑,
排列数公式:
()
(1)公式特征:
第一个因数是,后面每一个因数比它前面一个
少1,最后一个因数是,共有个因数;
(2)全排列:
当时即个不同元素全部取出的一个排列.
全排列数:
(叫做n的阶乘).
三、讲解范例:
例1.计算:
(1);
(2);
(3).
解:
(1)==3360;
(2)==720;
(3)==360.
例2.
(1)若,则,.
(2)若则用排列数符号表示.
(1)17,14.
(2)若则=.
例3.
(1)从这五个数字中,任取2个数字组成分数,不同值的分数共有多少个?
(2)5人站成一排照相,共有多少种不同的站法?
(3)某年全国足球甲级(A组)联赛共有14队参加,每队都要与其余各队在主客场分别比赛1次,共进行多少场比赛?
(3).
四、课堂练习:
1.四支足球队争夺冠、亚军,不同的结果有()
.种.10种.12种.16种
2.信号兵用3种不同颜色的旗子各一面,每次打出3面,最多能打出不同的信号有()
.3种.6种.1种.27种
3.且则用排列数符号表示为()
....
4.5人站成一排照相,甲不站在排头的排法有()
.24种.72种.96种.120种
5.给出下列问题:
①有10个车站,共需要准备多少种车票?
②有10个车站,共有多少中不同的票价?
③平面内有10个点,共可作出多少条不同的有向线段?
④有10个同学,假期约定每两人通电话一次,共需通话多少次?
⑤从10个同学中选出2名分别参加数学和物理竞赛,有多少中选派方法?
以上问题中,属于排列问题的是(填写问题的编号).
6.若,,则以为坐标的点共有个.
7.从参加乒乓球团体比赛的5名运动员中选出3名进行某场比赛,并排定他们的出场顺序,有多少种不同的方法?
8.从4种蔬菜品种中选出3种,分别种植在不同土质的3块土地上进行试验,有多少中不同的种植方法?
9.计算:
(1)
(2)
10.分别写出从这4个字母里每次取出两个字母的所有排列;
11.写出从这六个元素中每次取出3个元素且必须含有元素的所有排列.
答案:
1.C2.B3.C4.B5.①③⑤6.637.608.24
9.⑴348;
⑵64.10.共有个:
ab,ac,ad,ba,bc,bd,ca,cb,cd,da,db,dc.11.共有个,具体的排列略
五、小结:
排列的概念;
排列数的概念及排列数公式;
排列及排列数的区别.
六、课后作业:
.
七、板书设计(略).
八、课后记:
10.2排列
(二)
1.进一步理解排列和排列数的概念,理解阶乘的意义,会求正整数的阶乘;
2.掌握排列数的另一个计算公式,并能熟练应用公式解决排列数的化简、证明等问题.
排列数公式的应用.
学生易于辨别组合、全排列问题,而排列问题就是先组合后全排列.在求解排列、组合问题时,可引导学生找出两定义的关系后,按以下两步思考:
首先要考虑如何选出符合题意要求的元素来,选出元素后再去考虑是否要对元素进行排队,即第一步仅从组合的角度考虑,第二步则考虑元素是否需全排列,如果不需要,是组合问题;
否则是排列问题.
排列、组合问题大都来源于同学们生活和学习中所熟悉的情景,解题思路通常是依据具体做事的过程,用数学的原理和语言加以表述.也可以说解排列、组合题就是从生活经验、知识经验、具体情景的出发,正确领会问题的实质,抽象出“按部就班”的处理问题的过程.据笔者观察,有些同学之所以学习中感到抽象,不知如何思考,并不是因为数学知识跟不上,而是因为平时做事、考虑问题就缺乏条理性,或解题思路是自己主观想象的做法(很可能是有悖于常理或常规的做法).要解决这个问题,需要师生一道在分析问题时要根据实际情况,怎么做事就怎么分析,若能借助适当的工具,模拟做事的过程,则更能说明问题.久而久之,学生的逻辑思维能力将会大大提高.
排列、组合问题解题方法比较灵活,问题思考的角度不同,就会得到不同的解法.若选择的切入角度得当,则问题求解简便,否则会变得复杂难解.教学中既要注意比较不同解法的优劣,更要注意提醒学生体会如何对一个问题进行认识思考,才能得到最优方法.
3.排列的概念:
4.排列数的定义:
5.排列数公式:
1_.阶乘的概念:
个不同元素全部取出的一个排列,叫做个不同元素的一个全排列,这时;
把正整数1到的连乘积,叫做的阶乘.表示:
,即.规定.
2.排列数的另一个计算公式:
即=.
①;
②.
①原式
=;
②原式.
例2.解方程:
3.
由排列数公式得:
,
∵,∴,即,
解得或,∵,且,∴原方程的解为.
例3.解不等式:
.
原不等式即,
也就是,化简得:
解得或,又∵,且,
所以,原不等式的解集为.
例4.求证:
(2).
证明:
(1),∴原式成立.
(2)
右边
∴原式成立.
(1)解含排列数的方程和不等式时要注意排列数中,且这些限制条件,要注意含排列数的方程和不等式中未知数的取值范围;
(2)公式常用来求值,特别是均为已知时,公式=,常用来证明或化简.
例5.化简:
⑴;
⑵.
⑴解:
原式
⑵提示:
由,得,
原式.
1.若,则()
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