高考文科数学复习选修不等式选讲解析版Word文档下载推荐.doc
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(8)了解证明不等式的基本方法:
比较法,综合法,分析法,反证法,放缩法。
[知识点梳理]
1.两个实数大小关系的基本事实
a>
b⇔________;
a=b⇔________;
a<
b⇔________.
2.不等式的基本性质
(1)对称性:
如果a>
b,那么________;
如果________,那么a>
b.即a>
(2)传递性:
b,b>
c,那么________.
(3)可加性:
b,那么____________.
(4)可乘性:
b,c>
0,那么________;
b,c<
0,那么________.
(5)乘方:
b>
0,那么an________bn(n∈N,n>
1).
(6)开方:
0,那么________(n∈N,n>
3.绝对值三角不等式
(1)性质1:
|a+b|≤________.
(2)性质2:
|a|-|b|≤________.
性质3:
________≤|a-b|≤________.
4.绝对值不等式的解法
(1)含绝对值的不等式|x|<
a与|x|>
a的解集
不等式
a=0
|x|<
a
|x|>
(2)|ax+b|≤c(c>
0)和|ax+b|≥c(c>
0)型不等式的解法
①|ax+b|≤c⇔______________;
②|ax+b|≥c⇔______________.
(3)|x-a|+|x-b|≥c和|x-a|+|x-b|≤c型不等式的解法
①利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想;
②利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想;
③通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思想.
5.基本不等式
(1)定理:
如果a,b∈R,那么a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立.
(2)定理(基本不等式):
如果a,b>
0,那么________,当且仅当________时,等号成立.也可以表述为:
两个________的算术平均________________它们的几何平均.
(3)利用基本不等式求最值
对两个正实数x,y,
①如果它们的和S是定值,则当且仅当________时,它们的积P取得最________值;
②如果它们的积P是定值,则当且仅当________时,它们的和S取得最________值.
6.三个正数的算术—几何平均不等式
(1)定理 如果a,b,c均为正数,那么________,当且仅当________时,等号成立.
即三个正数的算术平均____________它们的几何平均.
(2)基本不等式的推广
对于n个正数a1,a2,…,an,它们的算术平均__________它们的几何平均,即________,
当且仅当________________时,等号成立.
7.柯西不等式
(1)设a,b,c,d均为实数,则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,当且仅当ad=bc时等号成立.
(2)设a1,a2,a3,…,an,b1,b2,b3,…,bn是实数,则(a+a+…+a)(b+b+…+b)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,当且仅当bi=0(i=1,2,…,n)或存在一个数k,使得ai=kbi(i=1,2,…,n)时,等号成立.
(3)柯西不等式的向量形式:
设α,β是两个向量,则|α·
β|≤|α||β|,当且仅当β是零向量,或存在实数k,使α=kβ时,等号成立.
8.证明不等式的方法
(1)比较法
①求差比较法
知道a>
b⇔a-b>
0,a<
b⇔a-b<
0,因此要证明a>
b,只要证明________即可,这种方法称为求差比较法.
②求商比较法
由a>
0⇔>
1且a>
0,b>
0,因此当a>
0时要证明a>
b,只要证明________即可,这种方法称为求商比较法.
(2)分析法
从待证不等式出发,逐步寻求使它成立的____________,直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等).这种证法称为分析法,即“执果索因”的证明方法.
(3)综合法
从已知条件出发,利用不等式的有关性质或定理,经过推理论证,推导出所要证明的不等式成立,即“由因寻果”的方法,这种证明不等式的方法称为综合法.
(4)反证法的证明步骤
第一步:
作出与所证不等式________的假设;
第二步:
从条件和假设出发,应用正确的推理方法,推出矛盾的结论,否定假设,从而证明原不等式成立.
(5)放缩法
所谓放缩法,即要把所证不等式的一边适当地________________,以利于化简,并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显,从而得到欲证不等式成立.
(6)数学归纳法
设{Pn}是一个与自然数相关的命题集合,如果:
(1)证明起始命题P1(或P0)成立;
(2)在假设Pk成立的前提下,推出Pk+1也成立,那么可以断定{Pn}对一切自然数成立.
[考点题型剖析]
题型一 含绝对值的不等式的解法
【典型例题】
例1-1解不等式|x+1|+|x-1|≥3.
思维启迪 本题不等式为|x-a|+|x-b|≥c型不等式,解此类不等式有三种方法:
几何法、分区间(分类)讨论法和图象法.
规范解答
解 方法一 如图所示,设数轴上与-1,1对应的点分别为A,B,那么A,B两点的距离和为2,因此区间[-1,1]上的数都不是不等式的解.设在A点左侧有一点A1,到A,B两点的距离和为3,A1对应数轴上的x.
[4分]
∴-1-x+1-x=3,得x=-.
同理设B点右侧有一点B1到A,B两点距离之和为3,B1对应数轴上的x,∴x-1+x-(-1)=3.∴x=.
从数轴上可看到,点A1,B1之间的点到A,B的距离之和都大于3;
点A1的左边或点B1的右边的任何点到A,B的距离之和都大于3.[8分]
所以原不等式的解集是∪.[10分]
方法二 当x≤-1时,原不等式可化为
-(x+1)-(x-1)≥3,解得:
x≤-.[3分]
当-1<
x<
1时,原不等式可以化为
x+1-(x-1)≥3,即2≥3.不成立,无解.[6分]
当x≥1时,原不等式可以化为
x+1+x-1≥3.所以x≥.[9分]
综上,可知原不等式的解集为.[10分]
方法三 将原不等式转化为|x+1|+|x-1|-3≥0.
构造函数y=|x+1|+|x-1|-3,
即y=[3分]
作出函数的图象,如图所示:
函数的零点是-,.
从图象可知,当x≤-或x≥时,y≥0,[8分]
即|x+1|+|x-1|-3≥0.
所以原不等式的解集为∪.[10分]
温馨提醒 这三种方法是解|x+a|+|x+b|≥c型不等式常用的方法,方法一中关键是找到特殊点,方法二中的分类讨论要遵循“不重不漏”的原则,方法三则要准确画出函数图象,并准确找出零点.
例1-2(2012·
课标全国)已知函数f(x)=|x+a|+|x-2|.
(1)当a=-3时,求不等式f(x)≥3的解集;
(2)若f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求a的取值范围.
解
(1)当a=-3时,f(x)=
当x≤2时,由f(x)≥3得-2x+5≥3,解得x≤1;
当2<
3时,f(x)≥3无解;
当x≥3时,由f(x)≥3得2x-5≥3,解得x≥4.
所以f(x)≥3的解集为{x|x≤1或x≥4}.
(2)f(x)≤|x-4|⇔|x-4|-|x-2|≥|x+a|.
当x∈[1,2]时,|x-4|-|x-2|≥|x+a|
⇔4-x-(2-x)≥|x+a|⇔-2-a≤x≤2-a.
由条件得-2-a≤1且2-a≥2,即-3≤a≤0.
故满足条件的a的取值范围为[-3,0].
思维升华 解绝对值不等式的基本方法:
(1)利用绝对值的定义,通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式;
(2)当不等式两端均为正号时,可通过两边平方的方法,转化为解不含绝对值符号的普通不等式;
(3)利用绝对值的几何意义,数形结合求解.
例1-3 (2013·
课标全国Ⅰ)已知函数f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3.
(1)当a=-2时,求不等式f(x)<
g(x)的解集;
(2)设a>
-1,且当x∈时,f(x)≤g(x),求a的取值范围.
审题破题
(1)可以通过分段讨论去绝对值;
(2)在x∈时去绝对值,利用函数最值求a的范围.
解
(1)当a=-2时,不等式f(x)<
g(x)化为|2x-1|+|2x-2|-x-3<
0.
设函数y=|2x-1|+|2x-2|-x-3,
则y=
其图象如图所示,由图象可知,当且仅当x∈(0,2)时,y<
0,所以原不等式的解集是
{x|0<
2}.
(2)∵a>
-1,则-<
,
∴f(x)=|2x-1|+|2x+a|
当x∈时,f(x)=a+1,
即a+1≤x+3在x∈上恒成立.
∴a+1≤-+3,即a≤,
∴a的取值范围为.
【变式训练】
1.(2013·
重庆)若关于实数x的不等式|x-5|+|x+3|<
a无解,则实数a的取值范围是____.
答案 (-∞,8]
解析 ∵|x-5|+|x+3|=|5-x|+|x+3|
≥|5-x+x+3|=8,
∴(|x-5|+|x+3|)min=8,
要使|x-5|+|x+3|<
a无解,只需a≤8.
2.(2013·
江西)在实数范围内,不等式||x-2|-1|≤1的解集为________.
答案 [0,4]
解析 由||x-2|-1|≤1得-1≤|x-2|-1≤1,
解得0≤x≤4.
∴不等式的解集为[0,4].
3.(2012·
山东)若不等式|kx-4|≤2的解集为{x|1≤x≤3},则实数k=________.
答案 2
解析 ∵|kx-4|≤2,∴-2≤kx-4≤2,∴2≤kx≤6.
∵不等式的解集为{x|1≤x≤3},∴k=2.
4[2014·
江西卷]x,y∈R,若|x|+|y|+|x-1|+|y-1|≤2,则x+y的取值范围为________.
答案 [0,2]
5.不等式≥1的实数解为__________.
答案 .
解析 ∵≥1,∴|x+1|≥|x+2|.
∴x2+2x+1≥x2+4x+4,∴2x+3≤0.
∴x≤-且x≠-2.
6.已知函数f(x)=|x+1|+|x-2|-m.
(1)当m=5时,求f(x)>
0的解集;
(2)若关于x的不等式f(x)≥2的解集是R,求m的取值范围.
解
(1)由题设知|x+1|+|x-2|>
5,
不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集:
或或
解得函数f(x)的定
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