高中奥林匹克物理竞赛解题方法之七对称法Word文件下载.doc
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物体跟墙A碰撞前后的运动相当于从O′点开始的斜上抛运动,与B墙碰后落于O点相当于落到O″点,其中O、O′关于A墙对称,O、O″对于B墙对称,如图7—2—甲所示,于是有
代入可解得
例3:
A、B、C三只猎犬站立的位置构成一个边长为a的正三角形,每只猎犬追捕猎物的速度均为,A犬想追捕B犬,B犬想追捕C犬,C犬想追捕A犬,为追捕到猎物,猎犬不断调整方向,速度方向始终“盯”住对方,它们同时起动,经多长时间可捕捉到猎物?
以地面为参考系,三只猎犬运动轨迹都是一条复杂的曲线,但根据对称性,三只猎犬最后相交于三角形的中心点,在追捕过程中,三只猎犬的位置构成三角形的形状不变,以绕点旋转的参考系来描述,可认为三角形不转动,而是三个顶点向中心靠近,所以只要求出顶点到中心运动的时间即可.
由题意作图7—3,设顶点到中心的距离为s,则由已知条件得由运动合成与分解的知识可知,在旋转的参考系中顶点向中心运动的速度为
由此可知三角形收缩到中心的时间为
此题也可以用递推法求解,读者可自己试解.
例4:
如图7—4所示,两个同心圆代表一个圆形槽,质量为m,内外半径几乎同为R.槽内A、B两处分别放有一个质量也为m的小球,AB间的距离为槽的直径.不计一切摩擦.现将系统置于光滑水平面上,开始时槽静止,两小球具有垂直于AB方向的速度,试求两小球第一次相距R时,槽中心的速度.
在水平面参考系中建立水平方向的x轴和y轴.
由系统的对称性可知中心或者说槽整体将仅在x轴方向上
运动。
设槽中心沿x轴正方向运动的速度变为,两小球相对槽心做角速度大小为的圆周运动,A球处于如图7—4—甲所示的位置时,相对水平面的两个分速度为
① ②
B球的运动与A球的运动是对称的.因系统在x轴方向上动量守恒、机械能也守恒,因此
将①、②式代入③、④式得:
由此解得
当两球间距离为R时,,代入可解得槽中心运动的速度为
例5:
用一轻质弹簧把两块质量各为M和m的木板连接起来,放在水平上,如图7—5所示,问必须在上面木板上施加多大的压力F,才能使撤去此力后,上板跳起来恰好使下板离地?
此题可用能量守恒的观点求解,但过程较繁,而用弹簧形变的“对称性”求解就显得简洁明了.
若用拉力F作用在m上,欲使M离地,拉力F至少应为F=(M+m)g
根据弹簧的拉伸和压缩过程具有的对称性,故要产生上述效果,作用在m上的向下的压力应为F=(M+m)g
例6:
如图7—6所示,长为l的两块相同的均匀长方形砖块A和B叠放在一起,A砖相对于B砖伸出l/5,B砖放在水平桌面上,砖的端面与桌面平行.为保持两砖不翻倒,B砖伸出桌面的最大长度是多少?
此题可用力矩平衡求解,但用对称法求解,会直观简洁.把A砖右端伸出B端的l/5截去,补在B砖的右端,则变成图7—6—甲所示的对称形状.伸出最多时对称轴应恰好通过桌边.
所以:
解得B砖右端伸出桌面的最大长度为.
例7:
如图7—7所示,OABC是一张水平放置的桌球台面.取OA为x轴,OC为y轴,P是红球,坐标为(x,y),Q是白球,坐标为(,)(图中未画出Q球在台面上的位置).已知OA=BC=25dm,AB=OC=12dm.
若P球的坐标为:
处,问Q球的位置在什么范围内时,可使击出的Q球顺次与AB、BC、CO和OA四壁碰撞反
弹,最后击中P球?
由于弹性碰撞反弹服从的规律与光线的反射定律相同,所
以作P点对OA壁的镜像P1,P1对CO壁的镜像P2,P2对BC壁的镜像P3和P3对AB壁的镜像P4,则只需瞄准P4点击出Q球,Q球在AB壁上D点反弹后射向P3,又在BC壁上E点反弹后射向P2,依次类推,最后再经F,G二点的反弹击中P点,如图7—7—甲所示.
但是,若反弹点E离B点太近,Q球从E点反弹后EP2线与CO的交点,可能不在CO壁的范围内而在CO的延长线上,这时Q球就无法击中CO壁(而击到OA壁上),不符合题目要求,所以,Q球能够最后按题目要求击中P球的条件是:
反弹点D、E、F、和G一定要在相应的台壁范围之内.
已知P点的坐标为(10,8),由此可知,各个镜像点的坐标分别为
P1(10,-8),P2(-10,-8),P3(-10,32),P4(60,32)
设Q点的坐标为;
直线QP4的方程为①
D点在此直线上,,由上式得:
②
直线DP3的方程为③
E点在此直线上,YE=12,由此式及②式得④
直线EP2的方程为
F点在此直线上,
最后,直线FP1的方程为 ⑤
G点在此直线上,YG=0,所以 ⑥
反弹点位于相应台壁上的条件为 ⑦
将③、④、⑤和⑥式代入⑦,除肯定满足无需讨论的不等式外,Q球按题目要求击中P球的条件成为
上面共两个条件,作直线及
如图7—7—乙所示,若Q球位于下方的三角形D0AH0内,即可同时满足⑧、⑨两式的条件,瞄准P4击出,可按题目要求次序反弹后击中P球,三角形D0AH0三个顶点的坐标如图7—7—乙所示.
例8:
一无限长均匀带电细线弯成如图7—8所示的平面图形,其中AB是半径为R的半圆孤,AA′平行于BB′,试求圆心O处的电场强度.
如图7—8—甲所示,左上1/4圆弧内的线元△L1与右下直线上的线元△L3具有角元△对称关系.△L1电荷与△L3电荷在O点的场强△E1与△E3方向相反,若它们的大小也相等,则左上与右下线元电场强度成对抵消,可得圆心处场强为零.
设电荷线密度为常量,因△很小,△L1电荷与△L3电荷可看做点电荷,其带电量
当
又因为
与△E1的大小相同,且△E1与△E2方向相反,所以圆心O处的电场强度为零.
例9:
如图7—9所示,半径为R的半圆形绝缘线上、下1/4圆弧上分别均匀带电+q和-q,求圆心处的场强.
因圆弧均匀带电,在圆弧上任取一个微小线元,由于带电线元很小,可以看成点电荷.用点电荷场强公式表示它在圆心处的分场强,再应用叠加原理计算出合场强.由对称性分别求出合场强的方向再求出其值.
在带正电的圆孤上取一微小线元,由于圆弧均匀带电,因而线密度.
在带负电的圆弧上必定存在着一个与之对称的线元,两者产生的场强如图7—9—甲所示.显然,两者大小相等,其方向分别与x轴的正、负方向成角,且在x轴方向上分量相等.由于很小,可以认为是点电荷,两线元在O点的场强为
方向沿y轴的负方向,所以O点的合场强应对△E求和.
即.
例10:
电荷q均匀分布在半球面ACB上,球面的半径为R,CD为通过半球顶点C与球心O的轴线,如图7—10所示,P、Q为CD轴线上在O点两侧,离O点距离相等的两点,已知P点的电势为UP,试求Q点的电势UQ.
可以设想一个均匀带电、带电量也是q的右半球,与题中所给的左半球组成一个完整的均匀带电球面,根据对称性来解.
由对称性可知,右半球在P点的电势等于左半球在Q点的电势UQ.
即正是两个半球在P点的电势,因为球面均匀带电,所以由此解得Q点的电势.
例11:
如图7—11所示,三根等长的细绝缘棒连接成等边三角形,A点为三角形的内心,B点与三角形共面且与A相对ac棒对称,三棒带有均匀分布的电荷,此时测得A、B两点的电势各为UA、UB,现将ac棒取走,而ab、bc棒的电荷分布不变,求这时A、B两点的电势、.
ab、bc、ac三根棒中的电荷对称分布,各自对A点电势的贡献相同,ac棒对B点电势的贡献和对A点电势的贡献相同,而ab、bc棒对B点电势的贡献也相同.
设ab、bc、ac棒各自在A点的电势为U1,ab、bc棒在B点的电势为U2.由对称性知,ac棒在B点的电势为U1. 由电势叠加原理得:
3U1=UA①U1+2U2=UB②
由①、②两式得U1=UA/3
将ac棒取走后,A、B两点的电势分别为
例12:
如图7—12所示为一块很大的接地导体板,在与导体板相距为d的A处放有带电量为-q的点电荷.
(1)试求板上感应电荷在导体内P点产生的电场强度;
(2)试求感应电荷在导体外P′点产生的电场强度(P与P′点对导体板右表面是对称的);
(3)在本题情形,试分析证明导体表面附近的电场强度的方向与导体表面垂直;
(4)试求导体上的感应电荷对点电荷-q的作用力;
(5)若在切断导体板与地的连线后,再将+Q电荷置于导体板上,试说明这部分电荷在导体板上如何分布可达到静电平衡(略去边缘效应).
在讨论一个点电荷受到面电荷(如导体表面的感应电荷)的作用时,根据“镜像法”可以设想一个“像电荷”,并使它的电场可以代替面电荷的电场,从而把问题大大简化.
(1)导体板静电平衡后有E感=E点,且方向相反,因此板上感应电荷在导体内P点产生的场强为,
r为AP间距离,方向沿AP,如图7—12甲所示.
(2)因为导体接地,感应电荷分布在右表面,感应电荷在P点和P′点的电场具有对称性,因此有,方向如图7—12—甲所示.
(3)考察导体板在表面两侧很靠近表面的两点P1和.如前述分析,在导体外点感应电荷产生的场强大小为.点电荷在点产生的场强大小也是.方向如图7—12—乙.从图看出,点的场强为上述两个场强的矢量和,即与导体表面垂直.
(4)重复
(2)的分析可知,感应电荷在-q所在处A点的场强为,方向垂直于导体板指向右方,该场作用于点电荷-q的电场力为,负号表示力的方向垂直于导体板指向左方.
(5)切断接地线后,导体板上原来的感应电荷仍保持原来的分布,导体内场强为零.在此情况下再将+Q电荷加在导体板上,只要新增加的电荷在导体内部各处的场强为零,即可保持静电平衡,我们知道电荷均匀分布在导体板的两侧表面时,上述条件即可满足.显然这时+Q将均匀分布在导体板的两侧面上,才能保证板内场强为零,实现静电平衡.
例13:
如图7—13所示,在水平方向的匀强电场中,用长为的绝缘细线,拴住质量为m、带电量为q的小球,线的上端O固定,开始时将线和球拉成水平,松开后,小球由静止开始向下摆动,当摆过60°
角时,速度又变为零.求:
(1)A、B两点的电势差UAB多大?
(2)电场强度多大?
(1)小球在A、B间摆动,根据能量守恒定律有
取A点为零势能的参考点,即
则
所以
(2)小球在平衡位置的受力如图7—13—甲.根据共点力的平衡条件:
有:
解得电场强度:
例14:
如图7
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