河北省石家庄届高三教学质量检测二数学理试题Word版含答案.docx

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河北省石家庄届高三教学质量检测二数学理试题Word版含答案

河北省石家庄2018届高三教学质量检测

（二）

理科数学

一、选择题：

本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设集合，，则下列结论正确的是（）

A.B.

C.D.

2.已知复数满足，若的虚部为，则复数在复平面内对应的点在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.在等比数列中，2，，则（）

A.28B.32C.64D.14

4.设且，则“”是“”的（）

A.必要不充分条件

B.充要条件

C.既不充分也不必要条件

D.充分不必要条件

5.我国魏晋期间的伟大的数学家刘徽，是最早提出用逻辑推理的方式来论证数学命题的人，他创立了“割圆术”，得到了著名的“徽率”，即圆周率精确到小数点后两位的近似值，如图就是利用“割圆术”的思想设计的一个程序框图，则输出的值为（）（参考数据：

，，）

A.24B.36C.48D.12

6.若两个非零向量，满足，则向量与的夹角为（）

A.B.C.D.

7.在的展开式中，含项的系数为（）

A.B.C.D.

8.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（）

A.B.C.8D.

9.某学校A、B两个班的数学兴趣小组在一次数学对抗赛中的成绩绘制茎叶图如下，通过茎叶图比较两个班数学兴趣小组成绩的平均值及方差

①A班数学兴趣小组的平均成绩高于B班的平均成绩

②B班数学兴趣小组的平均成绩高于A班的平均成绩

③A班数学兴趣小组成绩的标准差大于B班成绩的标准差

④B班数学兴趣小组成绩的标准差小于A班成绩的标准差

其中正确结论的编号为（）

A.①④B.②③C.②④D.①③

10.已知函数的部分图象如图所示，已知点，，若将它的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的图象的一条对称轴方程为（）

A.B.C.D.

11.倾斜角为的直线经过椭圆右焦点，与椭圆交于、两点，且，则该椭圆的离心率为（）

A.B.C.D.

12.已知函数是定义在区间上的可导函数，满足且（为函数的导函数），若且，则下列不等式一定成立的是（）

A.B.

C.D.

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.用1，2，3，4，5组成无重复数字的五位数，若用，，，，分别表示五位数的万位、千位、百位、十位、个位，则出现特征的五位数的概率为_____________.

14.设变量满足约束条件，则的最大值为_____________.

15.已知数列的前项和，如果存在正整数，使得成立，则实数的取值范围是_____________.

16.在内切圆圆心为的中，，，，在平面内，过点作动直线，现将沿动直线翻折，使翻折后的点在平面上的射影落在直线上，点在直线上的射影为，则的最小值为_____________.

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.已知的内角的对边长分别为，且.

（1）求角的大小；

（2）设为边上的高，，求的范围.

18.随着网络的发展，网上购物越来越受到人们的喜爱，各大购物网站为增加收入，促销策略越来越多样化，促销费用也不断增加，下表是某购物网站2017年1-8月促销费用（万元）和产品销量（万件）的具体数据：

月份

1

2

3

4

5

6

7

8

促销费用

2

3

6

10

13

21

15

18

产品销量

1

1

2

3

5

4

（1）根据数据可知与具有线性相关关系，请建立关于的回归方程（系数精确到）；

（2）已知6月份该购物网站为庆祝成立1周年，特制定奖励制度：

以（单位：

件）表示日销量，，则每位员工每日奖励100元；，则每位员工每日奖励150元；，则每位员工每日奖励200元.现已知该网站6月份日销量服从正态分布，请你计算某位员工当月奖励金额总数大约多少元.（当月奖励金额总数精确到百分位）.

参考数据：

，，其中，分别为第个月的促销费用和产品销量，.

参考公式：

（1）对于一组数据，，…，，其回归方程的斜率和截距的最小二乘估计分

别为，.

（2）若随机变量服从正态分布，则，.

19.如图，三棱柱中，侧面为的菱形，.

（1）证明：

平面平面.

（2）若，直线与平面所成的角为，求直线与平面所成角的正弦值.

20.已知圆的圆心在抛物线上，圆过原点且与抛物线的准线相切.

（1）求该抛物线的方程；

（2）过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，分别在点处作抛物线的两条切线交于点，求三角形面积的最小值及此时直线的方程.

21.已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若函数存在极大值，且极大值为1，证明：

.

22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（其中为参数），曲线.以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求曲线、的极坐标方程；

（2）射线与曲线、分别交于点（且均异于原点）当时，求的最小值.

23.已知函数.

（1）当时，求的解集；

（2）若，当，且时，，求实数的取值范围.

石家庄市2017-2018学年高中毕业班第二次质量检测试题

理科数学答案

一、选择题

1-5BABCC6-10DBAAD11-12AC

二、填空题

13．14．3

15．16.

三、解答题

17.解：

（1）在△ABC中

（2）

18

（1）由题可知，

将数据代入得

所以关于的回归方程

（2）由题6月份日销量服从正态分布，则

日销量在的概率为，

日销量在的概率为，

日销量的概率为，

所以每位员工当月的奖励金额总数为

元.

19.证明：

（1）连接交于，连接

侧面为菱形，

，为的中点，

又，平面

平面平面平面.

（2）由，，，平面，平面

从而，，两两互相垂直，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系

直线与平面所成的角为，

设，则，又，△是边长为2的等边三角形

，

设是平面的法向量，则即

令则

设直线与平面所成的角为

则

直线与平面所成角的正弦值为.

20.解：

（1）由已知可得圆心，半径，焦点，准线

因为圆C与抛物线F的准线相切，所以，

且圆C过焦点F，

又因为圆C过原点，所以圆心C必在线段OF的垂直平分线上，

即

所以，即，抛物线F的方程为

（2）易得焦点，直线L的斜率必存在，设为k，即直线方程为

设

得，，

对求导得，即

直线AP的方程为，即，

同理直线BP方程为

设，

联立AP与BP直线方程解得，即

所以，点P到直线AB的距离

所以三角形PAB面积，当仅当时取等号

综上：

三角形PAB面积最小值为4，此时直线L的方程为.

21．解:

（Ⅰ）由题意，

1当时，，函数在上单调递增；

2当时，函数单调递增，，故当时，，当时，，所以函数在上单调递减，函数在上单调递增；

3当时，函数单调递减，，故当时，，当时，，所以函数在上单调递增，函数在上单调递减．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知若函数存在极大值，则，且，解得，故此时，

要证，只须证，及证即可，

设，．

，令

，所以函数单调递增，

又，，

故在上存在唯一零点，即．

所以当，，当时，，所以函数在上单调递减，函数在上单调递增，

故，

所以只须证即可，

由，得，

所以，又，所以只要即可，

当时，

所以与矛盾，

故，得证．

（另证）

当时，

所以与矛盾；

当时，

所以与矛盾；

当时，

得，故成立，

得，所以，即．

22.解：

（1）曲线的普通方程为，的极坐标方程为

的极坐标方程为

（2）联立与的极坐标方程得，

联立与的极坐标方程得，

则==

=

（当且仅当时取等号）.

所以的最小值为

23.

解：

当时，

当时，无解；

当时，的解为；

当时，无解；

综上所述，的解集为

当时，

所以可化为

又的最大值必为、之一

…………………9分

即即

又所以所以取值范围为

石家庄市2017-2018学年高中毕业班第二次质量检测试题

理科数学答案

一、选择题

1-5BABCC6-10DBAAD11-12AC

二、填空题

13．14．3

15．16.

三、解答题

17.解：

（1）在△ABC中

……………6分

（2）

18

（1）由题可知，…………1分

将数据代入得

………3分

…………4分

所以关于的回归方程………………5分

（说明：

如果，，第一问总体得分扣1分）

（2）由题6月份日销量服从正态分布，则

日销量在的概率为，

日销量在的概率为，

日销量的概率为，………………8分

所以每位员工当月的奖励金额总数为....10分

元.…………………12分

19.证明：

（1）连接交于，连接

侧面为菱形，

，为的中点，…………2分

又，平面

平面平面平面.…………4分

（2）由，，，平面，平面

…………………6分

从而，，两两互相垂直，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系

直线与平面所成的角为，

设，则，又，△是边长为2的等边三角形

，

………………………8分

设是平面的法向量，则即

令则…………10分

设直线与平面所成的角为

则

直线与平面所成角的正弦值为.…………12分

20.解：

（1）由已知可得圆心，半径，焦点，准线

因为圆C与抛物线F的准线相切，所以，……………………2分

且圆C过焦点F，

又因为圆C过原点，所以圆心C必在线段OF的垂直平分线上，

即………………………4分

所以，即，抛物线F的方程为…………………5分

（2）易得焦点，直线L的斜率必存在，设为k，即直线方程为

设

得，，…………6分

对求导得，即

直线AP的方程为，即，

同理直线BP方程为

设，

联立AP与BP直线方程解得，即………………8分

所以，点P到直线AB的距离……………………10分

所以三角形PAB面积，当仅当时取等号

综上：

三角形PAB面积最小值为4，此时直线L的方程为.………………12分

21．解:

（Ⅰ）由题意，

4当时，，函数在上单调递增；………1分

5当时，函数单调递增，，故当时，，当时，，所以函数在上单调递减，函数在上单调递增；………3分

6当时，函数单调递减，，故当时，，当时，，所以函数在上单调递增，函数在上单调递减．………5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知若函数存在极大值，则，且，解得，故此时，………6分

要证，只须证，及证即可，

设，．

，令

，所以函数单调递增，

又，，

故在上存在唯一零点，即．

………………8分

所以当，，当时，，所以函数在上单调递减，函数在上单调递增，

故，

所以只须证即可，

由，得，

所以，又，所以只要即可，

………10分

当时，

所以与矛盾，

故，得证．………12分

（另证）

当时，

所以与矛盾；

当时，

所以与矛盾；

当时，

得，故成立，

得，所以，即．

22.解：

（1）曲线的普通方程为，的极坐标方程为….3分

的极坐标方程为………5分

（