指数函数和对数函数对数函数例题Word下载.docx
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A.R
B.(-∞,-3]
C.[8,+∞)
D.[3,+∞)
B
例1-6-26
若f(x)=loga|x+1|在(-1,0)内f(x)>0,则f(x)
A.在(-∞,0)内单调递增
B.在(-∞,0)内单调递减
C.在(-∞,-1)内单调递减
D.在(-∞,-1)内单调递增
D
依题设,f(x)的图象关于直线x=-1对称,且0<a<1.画出图象(略)即知D正确.
例1-6-27
已知函数f(x)是奇函数,且当x>0时,f(x)=x2+lg(x+1),那么当x<0时,f(x)的解析式是
A.-x2-lg(1-x)
B.x2+lg(1-x)
C.x2-lg(1-x)
D.-x2+lg(1-x)
A
设x<0,则-x>0,所以
f(-x)=(-x)2+lg(-x+1)=x2+lg(1-x)=-f(x)
f(x)=-x2-lg(1-x)
例1-6-28
函数y=5x+1的反函数是
A.y=log5(x+1)
B.y=logx5+1
C.y=log5(x-1)
D.y=log(x-1)5
C
(1)奇函数.
∴
f(x)为奇函数
(2)3.373
因为ψ(x)=x2+f(x),又由
(1)知,f(x)为奇函数,所以f(-2)=-f
(2).所以
ψ(-2)=(-2)2+f(-2)=2×
22-(22+f
(2))
=8-ψ
(2)=8-4.627=3.373
例1-6-31
若1<x<2,则(log2x)2,log2x2,log2(log2x)的大小关系是______.
log2(log2x)<(log2x)2<log2x2
(1)判断f(x)的奇偶性;
(2)已知f(x)存在反函数f-1(x),若f-1(x)<0,求x的取值范围.
另一方面,有
所以f(x)是奇函数.
故当a>1时,x<0;
当0<a<1时,x>0.
例1-6-33
已知常数a,b满足a>1>b>0,若f(x)=lg(ax-bx),
(1)求y=f(x)的定义域;
(2)证明y=f(x)在其定义域内是增函数;
(3)若f(x)恰在(1,+∞)上恒取正值,且f
(2)=lg2,求a,b的值.
(2)任取x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2.
因为a>1,所以g1(x)=ax是增函数,所以ax1-ax2<0.
故f(x)=lg(ax-bx)在(0,+∞)内是增函数.
(3)因为f(x)在(1,+∞)内为增函数,所以对于x∈(1,+∞)内每一个x值,都有f(x)>f
(1).要使f(x)恰在(1,+∞)上恒取正值,即f(x)>0只须f
(1)=0.于是f
(1)=lg(a-b)=0,得a-b=1.
又f
(2)=lg2,所以lg(a2-b2)=lg2,所以a2-b2=2,即(a+b)(a-b)=2.而a-b=1,所以a+b=2.
例1-6-34
设0<x<1,a>0且a≠1,试比较|loga(1-x)|与|loga(1+x)|的大小.
作差比较.
因为0<x<1,所以0<1-x<1,1<1+x<2,0<1-x2<1.
当a>1时,|loga(1-x)|=-loga(1-x),|loga(1+x)|=loga(1+x).所以
|loga(1-x)|-|loga(1+x)|=-loga(1-x)-loga(1+x)
=-loga(1-x2)>0
即
|loga(1-x)|>|loga(1+x)|
当0<a<1时,
|loga(1-x)|=loga(1-x),|loga(1+x)|=-loga(1+x)
所以
|loga(1-x)|-|loga(1+x)|=loga(1-x)+loga(1+x)
=loga(1-x2)>0
注
本例也可用作商比较法来解.
例1-6-35
设对所有实数x,不等式
恒成立,求a的取值范围.
根据题意,可知原不等式(关于x的二次不等式)应满足下列条件:
例1-6-36
设函数f(x)=log2[(3-2k)x2-2kx-k+1],求使f(x)在(-∞,0)内单调递减,而在(1,+∞)内单调递增的所有实数k组成的集合M.
必须有g(x)>0,3-2k>0,且g(x)的图象的对称轴与x轴的交点的横坐标必须属于[0,1].于是k确定于不等式组
例1-6-37
在函数y=logax(0<a<1,x≥1)的图象上有A,B,C三点,它们的横坐标分别是m,m+2,m+4.
(1)若△ABC面积为S,求S=f(m);
(2)判断S=f(m)的增减性;
(3)求S=f(m)的最大值.
(1)由A,B,C三点分别向x轴作垂线,设垂足依次为A1,B1,C1,则
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