数学山西省太原市太原二中届高三下学期期中考试理Word下载.docx
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x为渐近线的双曲线标准方程为________.
10.一个圆锥的侧面积等于底面面积的2倍,若圆锥底面半径为cm,则圆锥的体积是________cm3.
11.函数y=asin(ax+θ)(a>
0,θ≠0)图象上的一个最高点和其相邻最低点的距离的最小值为________.
12.Sn是等差数列{an}的前n项和,若=,则=________.
13.函数f(x)=若关于x的方程f(x)=kx-k至少有两个不相等的实数根,则实数k的取值范围为________.
14.由sin36°
=cos54°
,可求得cos2016°
的值为________.
二、解答题:
本大题共6小题,共计90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分14分)
如图:
四棱锥P-ABCD中,PD=PC,底面ABCD是直角梯形,AB⊥BC,AB∥CD,CD=2AB,点M是CD的中点.
(1)求证:
AM∥平面PBC;
(2)求证:
CD⊥PA.
16.(本小题满分14分)
在△ABC中,角A,B,C所对应的边分别是a,b,c,向量m=(a-c,b+c),n=(b-c,a),且m∥n.
(1)求B;
(2)若b=,cos=,求a.
17.(本小题满分14分)
如图,某工业园区是半径为10km的圆形区域,离园区中心O点5km处有一中转站P,现准备在园区内修建一条笔直公路AB经过中转站,公路AB把园区分成两个区域.
(1)设中心O对公路AB的视角为α,求α的最小值,并求较小区域面积的最小值;
(2)为方便交通,准备过中转站P在园区内再修建一条与AB垂直的笔直公路CD,求两条公路长度和的最小值.
18.(本小题满分16分)
已知在平面直角坐标系xOy中,椭圆+=1(a>
b>
0)的离心率为,左顶点为A(-3,0),圆心在原点的圆O与椭圆的内接三角形△AEF的三条边都相切.
(1)求椭圆方程;
(2)求圆O方程;
(3)B为椭圆的上顶点,过B作圆O的两条切线,分别交椭圆于M,N两点,试判断并证明直线MN与圆O的位置关系.
19.(本小题满分16分)
已知数列{an)的各项都为自然数,前n项和为Sn,且存在整数λ,使得对任意正整数n都有Sn=(1+λ)an-λ恒成立.
(1)求λ值,使得数列{an)为等差数列,并求数列{an)的通项公式;
(2)若数列{an}为等比数列,此时存在正整数k,当1≤k<
j时,有ai=2016,求k.
20.(本小题满分16分)
已知函数f(x)=[ax2-(2a+1)x+2a+1]ex.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)设x>
0,2a∈[3,m+1],f(x)≥b2a-1恒成立,求正数b的范围.
数学附加题每小题10分,共40分.考试用时30分钟.
【选做题】21.在A,B,C,D四小题中只能选做两题,每小题10分,共计20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A.选修4—1:
几何证明选讲
在直径是AB的半圆上有两点M,N,设AN与BM的交点是P.求证:
AP·
AN+BP·
BM=AB2.
B.选修4—2:
矩阵与变换
求矩阵的特征值及对应的特征向量.
C.选修4—4:
坐标系与参数方程
已知直线l的极坐标方程为ρsin=3,曲线C的参数方程为(θ为参数),设P点是曲线C上的任意一点,求P到直线l的距离的最大值.
D.选修4—5:
不等式选讲
设x,y均为正数,且x>
y,求证:
x+≥y+3.
【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
22.(本小题满分10分)
如图,在棱长为3的正方体ABCDA1B1C1D1中,A1E=CF=1.
(1)求两条异面直线AC1与BE所成角的余弦值;
(2)求直线BB1与平面BED1F所成角的正弦值.
23.(本小题满分10分)
证明:
对一切正整数n,5n+2·
3n-1+1能被8整除.
参考答案
一、填空题(每小题5分)
1.[0,1] 2.-i 3. 4.1 5.240
6. 7.(-2,0)∪(2,+∞) 8.④ 9.-=1
10.3π 11.2 12. 13.[-,1)∪(1,+∞) 14.-
本大题共6小题,共计90分.
15.证明:
(1)在直角梯形ABCD中,AB∥CD,CD=2AB,点M是CD的中点,
由AB∥CM,且AB=CM,
所以四边形ABCM是平行四边形,且是矩形(3分)
⇒故AM∥平面PBC,(7分)
(2)连接PM,因为PD=PC,点M是CD的中点,所以CD⊥PM,(8分)
又因为四边形ABCM是矩形,CD⊥AM,(9分)
⇒CD⊥平面PAM.(12分)
又因为AP⊆平面PAM,(13分)
所以CD⊥PA.(14分)
16.解:
(1)因为m∥n,所以a2+c2-b2=ac,(2分)
因为cosB===,(4分)
B∈(0,π)(5分)
故B=.(6分)
(2)因为A+∈,(7分)
cos=,所以sin=,(9分)
所以sinA=sin=,(11分)
在△ABC中,由正弦定理可得:
=,(13分)
解得a=1.(14分)
17.解:
(1)如图,作OH⊥AB,设垂足为H,记OH=d,α=2∠AOH,
因为cos∠AOH=,(1分)
要使α有最小值,只需要d有最大值,结合图像可得,
d≤OP=5km,(3分)
当且仅当AB⊥OP时,dmin=5km.
此时αmin=2∠AOH=2=.(4分)
设AB把园区分成两个区域,其中较小区域面积记为S,
根据题意可得:
S=f(α)=S扇形-S△AOB=50(α-sinα),(6分)
f′(α)=50(1-cosα)≥0恒成立,f(α)为增函数,(7分)
所以Smin=f=50km2.(8分)
答:
视角的最小值为,较小区域面积的最小值是50km2.(9分)
(2)如图,分别过O分别作OH⊥AB,OH1⊥CD垂足分别是H,
H1,
记OH=d,OH1=d2,由
(1)可知d1∈[0,5]
所以d+d=OP2=25,且d=25-d(10分)
因为AB=2,CD=2,
所以AB+CD=2(+)=2(+),(11分)
记L(d1)=AB+CD=2(+),
可得L2(d1)=4[175+2],
(12分)
由d∈[0,25],可知d=0,或d=25时,L2(d1)的最小值是100(7+4),
从而AB+CD的最小值是20+10km.(13分)
两条公路长度和的最小值是20+10km.(14分)
18.解:
(1)由题意可知=,a=3,得:
c=,(2分)
因为a2=b2+c2,所以b2=,(3分)
故椭圆的标准方程是:
+=1.(4分)
(2)设直线AE的方程:
y=k(x+3),点E(x1,y1),
由可得(4k2+1)x2+24k2x+36k2-9=0.(5分)
因为-3+x1=-,得x1=,代入直线y=k(x+3),得y1=,
所以E,(7分)
同理可得F,(9分)
根据条件可知圆心O到直线AE的距离等于圆心O到直线EF的距离.
可得=||=r,解之得k2=,(10分)
从而r2=1,所以圆O的方程为:
x2+y2=1.(11分)
(3)设直线BM的方程为y=kx±
,因为直线BM与圆O相切,
所以d=r,解得k=±
,
(14分)
当k=,lBM:
y=x+,
由,解得x2+x=0.(11分)
所以M(-,-1),(12分)
同理可得N(,-1).(13分)
可得直线MN方程是:
y=-1,(15分)
直线MN与圆O的位置关系是相切.(16分)
19.解:
(1)(法一):
因为Sn=(1+λ)an-λ, ①
所以Sn+1=(1+λ)an+1-λ, ②
②-①得:
λan+1=(1+λ)an, ③(2分)
当λ=0时,an=0,数列{an}是等差数列.(4分)
当λ≠0时,a1=(1+λ)a1-λ,a1=1,且an+1-an=an, ④
要使数列{an}是等差数列,则④式右边an为常数,即an+1=an为常数,
④式左边an+1-an=0,an=0,又因为a1=1,矛盾(6分)
综上可得:
λ=0时,数列{an}为等差数列,且an=0.(7分)
(法二):
若数列{an}是等差数列,必有2a2=a1+a3,
当λ=0时,a1=a2=a3=0,满足2a2=a1+a3,(1分)
此时Sn=an,从而Sn+1=an+1,(3分)
故an=0,(4分)
当λ≠0时,a1=1,a2=1+,a3=,(5分)
由2a2=a1+a3,得2=1+,该方程无解,(6分)
λ=0时,数列{an}为等差数列,其中an=0.(7分)
(2)当
(1)可得:
当λ=0时,不是等比数列,(8分)
当λ=-1时,由①得Sn=1,则a1=S1=1,
an=Sn-Sn-1=0(n≥2),不是等比数列.(9分)
当λ≠0,且λ≠-1时,得=1+,{an}为公比是q=1+等比数列,(10分)
又对任意n,an∈N,则q=1+∈N,
故仅有λ=1,q=2时,满足题意,又由
(1)得a1=1,故an=2n-1.(11分)
因为ai==2016,
所以2k-1(2j-k+1-1)=2016=25327,(13分)
j-k+1≥2,2j-k+1-1为大于1的奇数,2k-1=25,k=6,(15分)
则2j-5-1=327,2j-5=64,j=11,故仅存在k=6时,j=11,ai=2016.(16分)
20.解:
(1)f′(x)=(ax2-x)ex=x(ax-1)ex.(1分)
若a=0,则f′(x)=-xex,令f′(x)>
0,则x<
0;
令f′(x)<
0,则x>
若a<
0,由f′(x)>
0,得<
x<
由f′(x)<
0,得>
x或0<
x;
若a>
0,由f′(x)<
0,得0<
;
由f′(x)>
0,得x>
或x<
当a=0时,函数f(x)的增区间是(-∞,0),减区间是(0,+∞);
(3分)
当a<
0时,函数f(x)的增区间是,减区间是(0,+∞),;
(5分)
当a>
0时,函数f(x)的增区间是(-∞,0)
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