考前归纳总结:导数中常见的分类讨论[1]Word下载.docx
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(Ⅱ)当时,设函数,若在区间上至少存在一个,使得成立,试求实数的取值范围.
2.已知函数,求函数的单调区间;
3.若函数,求函数的极值点。
变式1:
若函数,试讨论函数的极值存在情况。
变式2:
若函数,求函数的单调区间。
变式3:
若函数,求在区间[2,3]上的最小值。
三、小结:
在利用导数求函数极值、最值及单调区间等问题时,若函数中含有参数,我们需对参数进行讨论。
1)若导函数的二次项系数为参数,需对二次项系数为正、负或零进行分类讨论;
2)若需考虑判别式Δ,需对Δ>
0、Δ=0、Δ<
0进行分类讨论;
3)在求最值或单调区间时,由f’(x)=0解出的根,需与给定区间的两个端点比较大小,进行分类讨论。
分类讨论的思想方法:
就是当问题所给的对象不能进行统一研究时,就需要对研究对象按某个标准分类,然后对每一类分别研究得出第一类的结论,最后综合各类结果得到整个问题的解答,其实质是“化整为零,各个击破,再积零为整”。
在分类讨论时,要注意:
1、分类对象确定,标准统一;
2、不重复,不遗漏;
3、分层次,不越级讨论。
近些年年高考模拟题及真题:
1.已知二次函数f(x)=ax2+2ax+1在区间[-3,2]上的最大值为4,则a等于( )
A.-3 B.-C.3 D.或-3
2.对一切实数,不等式x2+a|x|+1≥0恒成立,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,-2) B.[-2,+∞)C.[-2,2] D.[0,+∞)
3.(2013年普通高等学校招生统一考试福建数学(理)试题)已知函数
(1)当时,求曲线在点处的切线方程;
(2)求函数的极值.
4.(汕头四中2014届高三数学(理))已知函数,为函数的导函数.
(1)设函数f(x)的图象与x轴交点为A,曲线y=f(x)在A点处的切线方程是,求的值;
(2)若函数,求函数的单调区间.
5.(广东省珠海一中等六校2014届高三上学期第二次联考数学(理)试题)已知函数
(1)若函数在处的切线垂直轴,求的值;
(2)若函数在区间上为增函数,求的取值范围;
(3)讨论函数的单调性.
6.已知函数。
(1)求的单调区间;
(2)求在区间上的最小值。
7.【浙江宁波市期末】设函数,且为的极值点.(Ⅰ)若为的极大值点,求的单调区间(用表示);
(Ⅱ)若恰有两解,求实数的取值范围.
8.已知函数(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)若恒成立,试确定实数k的取值范围;
(Ⅲ)证明:
导数中的分类讨论问题参考答案
例1.解:
的定义域为(0,+∞),,
当时,>0,故在(0,+∞)单调递增;
当0<<1时,令=0,解得.
则当时,>0;
时,<0.
故在单调递增,在单调递减.
练习1解:
(1),所以,
,由得:
所以,
上为增函数;
在上为减函数;
例2:
解:
由已知得,
(1)当,时,恒成立,在上为增函数.
(2)当,时,
1)时,,在
上为减函数,在上为增函数,
2)当时,,故在上为减函数,
在[,+∞)上为增函数.
综上,当时,在上为增函数;
当时,在上为减函数,在上为增函数,
当a<0时,在(0,]上为减函数,在[+∞)上为增函数.
例3解:
,
又当时,恒有,
设,其对称轴为,
(i)当,即时,应有
解得:
,所以时成立,
(ii)当,即时,应有即:
解得,
综上:
实数的取值范围是。
例4解析:
(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=+2ax=.
当a≥0时,f′(x)>0,故f(x)在(0,+∞)上单调递增.
当a≤-1时,f′(x)<0,故f(x)在(0,+∞)上单调递减.
当-1<a<0时,令f′(x)=0,解得x=,
则当时,f′(x)>0;
当时,;
故在上单调递增,在上单调递减.
不妨设x1≥x2.由于a≤-2,故f(x)在(0,+∞)上单调减少,所以|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|等价于f(x2)-f(x1)≥4x1-4x2,即f(x2)+4x2≥f(x1)+4x1.
令g(x)=f(x)+4x,则g′(x)=+2ax+4=.
于是g′(x)≤=≤0.
从而g(x)在(0,+∞)上单调减少,故g(x1)≤g(x2),即f(x1)+4x1≤f(x2)+4x2,
故对任意x1,x2∈(0,+∞),|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|.
1.解:
(Ι)由知:
当时,函数的单调增区间是,单调减区间是;
(Ⅱ)令,
则.
1.当时,由得,
从而,所以,在上不存在使得;
2.当时,,
在上恒成立,
故在上单调递增。
故只要,解得
综上所述,的取值范围是。
2.解:
若时,则>
0在(1,)恒成立,
所以的增区间(1,).
若,故当,,
当时,,
所以a>
0时的减区间为(),的增区间为[.
3.解:
因为,所以
令得(舍)或
列表如下:
(0,1)
1
(1,+∞)
—
+
↘
极小值
↗
由上表知:
是函数的极小值点。
变式1解:
法一:
令,因为对称轴,所以只需考虑的正负,
当即时,在(0,+∞)上,即在(0,+∞)单调递增,无极值
当即时,在(0,+∞)是有解,所以函数存在极值。
综上所述:
当时,函数存在极值;
当时,函数不存在极值。
法二:
令即,
当即时,,在(0,+∞)单调递增,无极值
当即时,解得:
或
若则
(0,)
(,+∞)
时函数取到极小值,即函数存在极小值。
若,则,所以在(0,+∞)单调递减,函数不存在极值。
综上所述,当时,函数存在极值,当时。
函数不存在极值
变式2解:
设
1°
当时,因为,
若时,在上即,所以在(0,+∞)单调递减。
若时,或
(0,x1)
x1
(x1,x2)
x2
(x2,+∞)
—
极大值
的减区间为,
增区间为:
。
2°
当时,即,所以在(0,2)单调递减
即,所以在(2,+∞)单调递增
3°
当时,因为,4所以有一正一负两根,解得:
的减区间为,增区间为:
时,的减区间为,
时,递减区间为(0,2),递增区间为(2,+∞)
时,的递减区间为,增区间为:
变式3解:
设,解得:
当时,即,所以在(0,1)单调递增
即,所以在(1,+∞)单调递减
所以在[2,3]上单调递减,所以。
当时,若即时,,即,所以递增,所以
若即时,,即,所以递减;
,即,所以递增,
所以
若即时,,即,所以递减,所以
近些年年高考模拟题及真题
1.解析:
当a<
0时,在x∈[-3,2]上,当x=-1时取得最大值,得a=-3;
当a>
0时,在x∈[-3,2]上,当x=2时取得最大值,得a=.答案:
D
2.解析:
本题是不等式恒成立问题,可以构造函数,把函数转化为y=x+型,通过求解函数的最值得到结论.由不等式x2+a|x|+1≥0对一切实数恒成立.①当x=0时,则1≥0,显然成立;
②当x≠0时,可得不等式a≥-|x|-对x≠0的一切实数成立.令f(x)=-|x|-=-≤-2.当且仅当|x|=1时,“=”成立.∴f(x)max=-2,故a≥f(x)max=-2.答案:
B
3.解:
函数的定义域为,.
(Ⅰ)当时,,,,
在点处的切线方程为,即.
(Ⅱ)由可知:
①当时,,函数为上的增函数,函数无极值;
②当时,由,解得;
时,,时,
在处取得极小值,且极小值为,无极大值.
综上:
当时,函数无极值
当时,函数在处取得极小值,无极大值.
4.【答案】解:
(Ⅰ)∵,∴
∵在处切线方程为,∴,∴,.(各1分)
(Ⅱ).
①当时,,
-
的单调递增区间为,单调递减区间为
②当时,令,得或
(ⅰ)当,即时,
的单调递增区间为,单调递减区间为,;
(ⅱ)当,即时,,
故在单调递减;
(ⅲ)当,即时,
在上单调递增,在,上单调递减
综上所述,当时,的单调递增区间为,单调递减区间为;
当时,的单调递增区间为,单调递减区间为
当,的单调递减区间为
当时,的单调递增区间为,单调递减区间为、
5.【答案】解:
(1)因为,故,
函数在处的切线垂直轴,所以
(2)函数在为增函数,所以当时,恒成立,分离参数得:
从而有:
(3)
令,因为函数的定义域为,所以
(1)当,即时,函数在上递减,在上递增;
(2)当,即时,函数在上递增,
在上递减,
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