高考数学模拟试题等差等比数列Word文档格式.docx
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am=a1+(m-1)·
1=2,
a1=3-m.
②代入得3m-m2+-=0,
m=0(舍去)或m=5,故选C.
2.(文)已知Sn为等差数列{an}的前n项和,若S1=1,=4,则的值为( )
A. B. C. D.4
[答案] A
[解析] 由等差数列的性质可知S2,S4-S2,S6-S4成等差数列,由=4得=3,则S6-S4=5S2,
所以S4=4S2,S6=9S2,=.
全国大纲文,8)设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2=3,S4=15,则S6=( )
A.31B.32
C.63D.64
[解析] 解法1:
由条件知:
an>
0,且
∴q=2.
a1=1,S6==63.
解法2:
由题意知,S2,S4-S2,S6-S4成等比数列,即(S4-S2)2=S2(S6-S4),即122=3(S6-15),S6=63.
3.(文)设Sn为等比数列{an}的前n项和,且4a3-a6=0,则=( )
A.-5B.-3
C.3D.5
[答案] D
[解析] 4a3-a6=0,4a1q2=a1q5,a1≠0,q≠0,
q3=4,===1+q3=5.
新课标理,3)等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1=( )
A.B.-
C.D.-
[解析] S3=a2+10a1,a1+a2+a3=a2+10a1,a3=9a1=a1q2,q2=9,
又a5=9,9=a3·
q2=9a3,a3=1,
又a3=9a1,故a1=.
4.(2020·
新乡、许昌、平顶山调研)设{an}是等比数列,Sn是{an}的前n项和,对任意正整数n,有an+2an+1+an+2=0,又a1=2,则S101的值为( )
A.2B.200
C.-2D.0
[解析] 设公比为q,an+2an+1+an+2=0,a1+2a2+a3=0,a1+2a1q+a1q2=0,q2+2q+1=0,q=-1,又a1=2,
S101===2.
5.(2020·
哈三中二模)等比数列{an},满足a1+a2+a3+a4+a5=3,a+a+a+a+a=15,则a1-a2+a3-a4+a5的值是( )
A.3B.
C.-D.5
[解析] 由条件知,=5,
a1-a2+a3-a4+a5===5.
6.(2020·
镇江模拟)已知公差不等于0的等差数列{an}的前n项和为Sn,如果S3=-21,a7是a1与a5的等比中项,那么在数列{nan}中,数值最小的项是( )
A.第4项B.第3项
C.第2项D.第1项
[答案] B
[解析] 设等差数列{an}的公差为d,则由S3=a1+a2+a3=3a2=-21,得a2=-7,又由a7是a1与a5的等比中项,得a=a1·
a5,即(a2+5d)2=(a2-d)(a2+3d),将a2=-7代入,结合d≠0,解得d=2,则nan=n[a2+(n-2)d]=2n2-11n,对称轴方程n=2,又nN*,结合二次函数的图象知,当n=3时,nan取最小值,即在数列{nan}中数值最小的项是第3项.
二、填空题
7.(2020·
广东六校联考)设曲线y=xn+1(nN*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn,则log2020x1+log2020x2+…+log2020x2020的值为________.
[答案] -1
[解析] 因为y′=(n+1)xn,所以在点(1,1)处的切线的斜率k=n+1,
所以=n+1,所以xn=,
所以log2020x1+log2020x2+…+log2020x2020
=log2020(x1·
x2·
…·
x2020)
=log2020(·
·
)
=log2020=-1.
8.(2020·
中原名校二次联考)若{bn}为等差数列,b2=4,b4=8.数列{an}满足a1=1,bn=an+1-an(nN*),则a8=________.
[答案] 57
[解析] bn=an+1-an,a8=(a8-a7)+(a7-a6)+…+(a2-a1)+a1=b7+b6+…+b1+a1.
由{bn}为等差数列,b2=4,b4=8知bn=2n
数列{bn}的前n项和为Sn=n(n+1).
a8=S7+a1=7×
(7+1)+1=57.
9.(2020·
辽宁省协作校联考)若数列{an}与{bn}满足bn+1an+bnan+1=(-1)n+1,bn=,nN+,且a1=2,设数列{an}的前n项和为Sn,则S63=________.
[答案] 560
[解析] bn==,又a1=2,a2=-1,a3=4,a4=-2,a5=6,a6=-3,…,
S63=a1+a2+a3+…a63=(a1+a3+a5+…+a63)+(a2+a4+a6+…+a62)=(2+4+6+…+64)-(1+2+3+…+31)=1056-496=560.
三、解答题
10.(2020·
豫东、豫北十所名校联考)已知Sn为数列{an}的前n项和,且a2+S2=31,an+1=3an-2n(nN*)
(1)求证:
{an-2n}为等比数列;
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
[解析]
(1)由an+1=3an-2n可得
an+1-2n+1=3an-2n-2n+1=3an-3·
2n=3(an-2n),
又a2=3a1-2,则S2=a1+a2=4a1-2,
得a2+S2=7a1-4=31,得a1=5,a1-21=3≠0,
=3,故{an-2n}为等比数列.
(2)由
(1)可知an-2n=3n-1(a1-2)=3n,故an=2n+3n,
Sn=+=2n+1+-.
11.(文)(2020·
山西四校联考)已知等比数列{an}中,各项都是正数,且a1,a3,2a2成等差数列,则=( )
A.1+B.1-
C.3+2D.3-2
[解析] 由条件知a3=a1+2a2,
a1q2=a1+2a1q,
a1≠0,q2-2q-1=0,
q>
0,q=1+,
=q2=3+2.
(理)在等差数列{an}中,a1+a2+a3=3,a18+a19+a20=87,则此数列前20项的和等于( )
A.290B.300
C.580D.600
[解析] 由a1+a2+a3=3,a18+a19+a20=87得,
a1+a20=30,
S20==300.
12.(文)已知数列{an},{bn}满足a1=b1=1,an+1-an==2,nN+,则数列{ban}的前10项的和为( )
A.(49-1)B.(410-1)
C.(49-1)D.(410-1)
[解析] 由a1=1,an+1-an=2得,an=2n-1,
由=2,b1=1得bn=2n-1,
ban=2an-1=22(n-1)=4n-1,
数列{ban}前10项和为=(410-1).
(理)若数列{an}为等比数列,且a1=1,q=2,则Tn=++…+等于( )
A.1-B.(1-)
C.1-D.(1-)
[解析] 因为an=1×
2n-1=2n-1,所以an·
an+1=2n-1·
2n=2×
4n-1,
所以=×
()n-1,所以{}也是等比数列,
所以Tn=++…+=×
=(1-),故选B.
13.给出数列,,,,,,…,,,…,,…,在这个数列中,第50个值等于1的项的序号是( )
A.4900B.4901
C.5000D.5001
[解析] 根据条件找规律,第1个1是分子、分母的和为2,第2个1是分子、分母的和为4,第3个1是分子、分母的和为6,…,第50个1是分子、分母的和为100,而分子、分母的和为2的有1项,分子、分母的和为3的有2项,分子、分母的和为4的有3项,…,分子、分母的和为99的有98项,分子、分母的和为100的项依次是:
,,,…,,,…,,第50个1是其中第50项,在数列中的序号为1+2+3+…+98+50=+50=4901.
[点评] 本题考查归纳水平,由已知项找到规律,“1”所在项的特点以及项数与分子、分母的和之间的关系,再利用等差数列求和公式即可.
14.(2020·
唐山市一模)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且a1+a3=,a2+a4=,则( )
A.4n-1B.4n-1
C.2n-1D.2n-1
[解析] 设公比为q,则a1(1+q2)=,a2(1+q2)=,q=,a1+a1=,a1=2.
an=a1qn-1=2×
()n-1,Sn==4[1-()n],==2(2n-1-)
=2n-1.
[点评] 用一般解法解出a1、q,计算量大,若注意到等比数列的性质及求,可简明解答如下:
a2+a4=q(a1+a3),q=,
====2n-1.
15.(2020·
新乡、许昌、平顶山调研)如图所示,将正整数排成三角形数阵,每排的数称为一个群,从上到下顺次为第一群,第二群,…,第n群,…,第n群恰好n个数,则第n群中n个数的和是________.
[答案] 3·
2n-2n-3
[解析] 由图规律知,第n行第1个数为2n-1,第2个数为3·
2n-2,第3个数为5·
2n-3……设这n个数的和为S
则S=2n-1+3·
2n-2+5×
2n-3+…+(2n-3)·
2+(2n-1)·
20
2Sn=2n+3·
2n-1+5·
2n-2+…+(2n-3)·
22+(2n-1)·
21
②-得Sn=2n+2·
2n-1+2·
2n-2+…+2·
22+2·
2-(2n-1)
=2n+2n+2n-1+…+23+22-(2n-1)
=2n+-(2n-1)
=2n+2n+1-4-2n+1
=3·
2n-2n-3.
16.在数列{an}中,若a-a=p(n≥2,nN*)(p为常数),则称{an}为“等方差数列”.下列是对“等方差数列”的判断:
若数列{an}是等方差数列,则数列{a}是等差数列;
数列{(-1)n}是等方差数列;
若数列{an}既是等方差数列,又是等差数列
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