高中数学 231 平面向量基本定理教案 苏教版必修41Word文档下载推荐.docx

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●教学建议

1．关于平面向量基本定理教学

教学时，建议教师从学生熟知的力学知识出发，结合教材实例中有关力及速度的合成与分解，先让学生从感性上认识向量可分解性，在此基础上结合向量的平行四边形法则由学生自主总结出平面向量基本定理的内容，教师就定理的有关注意事项做适当补充，不必要求学生会证明该定理．

2．关于应用平面向量基本定理的教学

教学时，建议教师结合实例，让学生明确平面向量基本定理在解决实际问题中的作用．通过实例进一步理解平面向量基本定理的实质，为下一节坐标系的建立奠定基础．

●教学流程

⇒⇒⇒⇒通过例3及其变式训练，使学生掌握利用平面向量基本定理求参数的值及证明三点共线等问题的方法.⇒⇒

课标解读

1.了解平面向量基本定理及其意义．（难点）

2.了解基底的含义．

3.会用任意一组基底表示指定的向量．

4.能应用平面向量基本定理解决一些实际问题．（重点）

平面向量基本定理

【问题导思】　

　已知▱ABCD的对角线交点为O，＝a，＝b，如何用a，b表示？

【提示】　＝＝（＋）＝（a＋b）＝a＋b.

（1）定理：

如果e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.

（2）基底：

不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.

平面向量的正交分解

　一个放在斜面上的物体所受的竖直向下的重力G，可分解为使物体沿斜面下滑的力F1和使物体垂直作用于斜面的力F2.

类比力的分解，平面内任一向量能否用互相垂直的两向量表示？

【提示】　能，互相垂直的两向量可以作为一组基底．

　一个平面向量用一组基底e1，e2表示成a＝λ1e1＋λ2e2的形式，我们称它为向量a的分解．当e1，e2所在直线互相垂直时，这种分解也称为向量a的正交分解.

平面向量基本定理的理解

　如果e1，e2是平面α内所有向量的一组基底，λ，μ是实数，判断下列说法是否正确，并说明理由．

（1）若λ，μ满足λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0；

（2）对于平面α内任意一个向量a，使得a＝λe1＋λe2成立的实数λ，μ有无数对；

（3）线性组合λe1＋μe2可以表示平面α内的所有向量；

（4）当λ，μ取不同的值时，向量λe1＋μe2可能表示同一向量．

【思路探究】　运用基底概念与平面向量基本定理进行判断．

【自主解答】　

（1）正确．

若λ≠0，则e1＝－e2，从而向量e1，e2共线，这与e1，e2不共线相矛盾，同理可说明μ＝0.

（2）不正确．

由平面向量基本定理可知λ，μ惟一确定．

（3）正确．

平面α内的任一向量a可表示成λe1＋μe2的形式，反之也成立．

（4）不正确．结合向量加法的平行四边形法则易知，只有当λ和μ确定后，其和向量λe1＋μe2才惟一确定．

1．对于平面内任何向量都可以用两个不共线的向量来表示；

反之，平面内的任一向量也可以分解为两个不共线的向量的和的形式．

2．向量的基底是指平面内不共线的向量，事实上若e1，e2是基底，则必有e1≠0，e2≠0，且e1与e2不共线，如0与e1，e1与2e1，e1＋e2与2（e1＋e2）等均不能构成基底．

　下列两个命题

（1）若ae1＋be2＝ce1＋de2（a，b，c，d∈R），则a＝c，b＝d.

（2）若e1和e2是表示平面内所有向量的一组基底，那么该平面内的任一向量可以用e1＋e2，e1－e2表示出来．

其中正确的是________．

【解析】　

（1）错，当e1与e2共线时，结论不一定成立．

（2）正确，假设e1＋e2与e1－e2共线，则存在实数λ，使e1＋e2＝λ（e1－e2），即（1－λ）e1＝－（1＋λ）e2.

因为1－λ与1＋λ不同时为0，所以e1与e2共线，这与e1与e2不共线矛盾．所以e1＋e2与e1－e2不共线，因而它们可以作为一组基底，该平面内的任一向量可以用e1＋e2，e1－e2表示出来．

【答案】　

（2）

用基底表示向量

图2－3－1

　如图2－3－1所示，以向量＝a，＝b为邻边作▱AOBD，又＝，＝，用a，b表示，，.

【思路探究】　＝＋，＝＋，＝－，再将各量转化为，.

【自主解答】　＝－＝a－b.

∴＝＋＝＋

＝＋＝a＋b.

又＝a＋b，

＝＋＝＋

＝＝a＋b，

∴＝－

＝a＋b－a－b＝a－b.

1．若题目中已给出了基底，求解此类问题时，常利用向量加法三角形法则或平行四边形法则，结合数乘运算，找到所求向量与基底的关系．

2．若题目中没有给出基底，常结合已知条件先寻找一组从同一点出发的两不共线向量作为基底，而后用上述方法求解．

图2－3－2

　（2013·

南通高一检测）如图2－3－2，梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，M，N分别是DC和AB的中点，若＝a，＝b，试用a，b表示，，.

【解】　如图所示，连结CN，则四边形ANCD是平行四边形，即＝＝＝a，

＝－＝－＝b－a，

＝－＝－－

＝－－（－）＝a－b.

平面向量基本定理的应用

图2－3－3

　如图2－3－3，已知在△OAB中，延长BA到C，使AB＝AC，D是将分成2∶1的一个分点（靠近B点），DC和OA交于点E，设＝a，＝b，

（1）用a，b表示向量，；

（2）若＝λ，求实数λ的值．

【思路探究】　

（1）由题意可知A是BC的中点，利用平行四边形法则求，利用三角形法则求；

（2）利用C，D，E三点共线，结合共线向量定理求解．

【自主解答】　

（1）∵A为BC中点，

∴＝（＋），＝2a－b；

＝－＝－

＝2a－b－b＝2a－b.

（2）设＝λ，

则＝－＝λ－＝λa－2a＋b＝（λ－2）a＋b.

∵与共线，

∴存在实数m，使得＝m，即（λ－2）a＋b＝m（－2a＋b），即（λ＋2m－2）a＋（1－m）b＝0.

∵a，b不共线且为非零向量，

∴解得λ＝.

1．此类问题要结合图形条件与所求证问题，寻求解题思路．本题充分利用三点共线，即共线向量定理，共面向量定理，建立方程组求解，同时要恰当选择基底简化运算．

2．应用平面向量基本定理来证明平面几何问题的一般方法是：

先选取一组基底，再根据几何图形的特征应用向量的有关知识解题．

图2－3－4

　如图2－3－4，已知▱ABCD中M为AB的中点，N在BD上，3BN＝BD.求证：

M，N，C三点共线．

【证明】　∵M为AB的中点，N在BD上，3BN＝BD，

∴＝，＝，

∴＝＋＝＋＝＋（－）＝＋，

又＝＋＝＋＝3（＋）＝3，

∴∥，又M为公共点，

∴M，N，C三点共线.

用待定系数法确定向量的表示

图2－3－5

　（14分）如图2－3－5，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN的值．

【思路点拨】　可先从已知图形中选出两个简单向量作为一组基底建立起数学模型，由图形特征可知选择与作为基向量较好．

【规范解答】　设＝e1，＝e2，

则＝＋＝－3e2－e1，＝＋＝2e1＋e2.4分

∵A，P，M和B，P，N分别共线，

∴存在实数λ，μ使得＝λ＝－λe1－3λe2，

＝μ＝2μe1＋μe2.

故＝＋＝－

＝（λ＋2μ）e1＋（3λ＋μ）e2.8分

而＝＋＝2e1＋3e2，

由平面向量基本定理，

得

解得

∴＝，＝.

即AP∶PM＝4∶1，BP∶PN＝3∶2.14分

基底建模是向量法解决几何图形有关证明和求解的重要方法，关键在于选取的基底是否合适，要注意与已知条件的联系．可用方程思想，利用待定系数法确定向量．

1．准确理解平面向量基本定理

（1）平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是惟一的．

（2）平面向量基本定理中，实数λ1、λ2的惟一性是相对于基底e1，e2而言的，平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底，一旦选定一组基底，则给定向量沿着基底的分解是惟一的．

2．对基底的理解

（1）基底的特征

基底具备两个主要特征：

①基底是两个不共线向量；

②基底的选择是不惟一的．平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件．

（2）关于基底的一个结论

设e1，e2是平面内的一组基底，当λ1e1＋λ2e2＝0时，恒有λ1＝λ2＝0.

（3）零向量与任意向量共线，故不能作为基底．

1．下列关于基底的说法正确的是________．（填序号）

①平面内不共线的任意两个向量都可以作为一组基底；

②基底中的向量可以是零向量；

③平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是惟一确定的．

【解析】　作为基底的两个向量不共线，故基底中的向量不能是零向量，②不正确，①③正确．

【答案】　①③

2．已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足（3x－4y）e1＋（2x－3y）e2＝6e1＋3e2，则x－y的值为________．

【解析】　∵（3x－4y）e1＋（2x－3y）e2＝6e1＋3e2，且e1，e2不共线，

∴解得

∴x－y＝6－3＝3.

【答案】　3

图2－3－6

3．在如图2－3－6所示的平行四边形ABCD中，＝a，＝b，AN＝3NC，M为BC的中点，则＝________（用a，b表示）．

【解析】　＝＋＝－＝b－（a＋b）＝－a＋b.

【答案】　－a＋b

4．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，求λ的值．

【解】　在△ABC中，已知D是AB边上一点，

若＝2，＝＋λ，

则＝＋＝＋

＝＋（－）＝＋，∴λ＝.

一、填空题

1．若O是▱ABCD的两对角线的交点，下列向量组中可作为这个平行四边形所在平面上表示其他所有向量的基底的是________．

①与；

②与；

③与；

④与.

【解析】　只要是平面上不共线的两个向量都可作为基底，与是有公共点的不共线向量，与也是有公共点的不共线向量．

2．已知e1，e2是平面所有向量的一组基底，那么下列一组向量不能作为基底的是________．

①e1和e1＋e2；

②e1－2e2和e2－2e1；

③e1－2e2和4e2－2e1；

④e1＋e2和e1－e2.

【解析】　因为4e1－2e1＝－2（e1－2e2），

所以e1－2e2与4e2－2e1共线．

【答案】　③

图2－3－7

3．如图2－3－7，平行四边形ABCD中，＝a，＝b，M是DC的中点，以a，b为基底表示向量＝________.

【解析】　＝＋＝＋＝＋＝b＋a.

【答案】　b＋a

4．设e1，e2是不共线向量，e1＋2e2与me1＋ne2共线，则＝________.

【解析】　由e1＋2e2＝λ（me1