高考文科第二伦专题数列等差数列等比数列命题猜想文档格式.docx
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由S6=48得a4+a3=16,
(a4+a5)-(a4+a3)=8,
∴d=4,故选C.
解得q=-2,a1=-2.
故{an}的通项公式为an=(-2)n.
(2)由
(1)可得
Sn==-+(-1)n.
由于Sn+2+Sn+1=-+(-1)n
=2=2Sn,
故Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列.
【变式探究】已知数列{an}的各项均为正数,且a1=1,an+1an+an+1-an=0(n∈N*).
(1)设bn=,求证:
数列{bn}是等差数列;
(2)求数列的前n项和Sn.
【感悟提升】等差数列的判定与证明有以下四种方法:
①定义法,即an-an-1=d(d为常数,n∈N*,n≥2)⇔{an}为等差数列;
②等差中项法,即2an+1=an+an+2(n∈N*)⇔{an}为等差数列;
③通项公式法,即an=an+b(a,b是常数,n∈N*)⇔{an}为等差数列;
④前n项和公式法,即Sn=an2+bn(a,b是常数,n∈N*)⇔{an}为等差数列.等比数列的判定与证明有以下三种方法:
①定义法,即=q(q为常数且q≠0,n∈N*,n≥2)⇔{an}为等比数列;
②等比中项法,即a=anan+2(an≠0,n∈N*)⇔{an}为等比数列;
③通项公式法,即an=a1qn-1(其中a1,q为非零常数,n∈N*)⇔{an}为等比数列.
【变式探究】若{an}是各项均不为零的等差数列,公差为d,Sn为其前n项和,且满足a=S2n-1,n∈N*.数列{bn}满足bn=,Tn为数列{bn}的前n项和.
(1)求an和Tn.
(2)是否存在正整数m,n(1<
m<
n),使得T1,Tm,Tn成等比数列?
若存在,求出所有m,n的值;
若不存在,请说明理由.
(2)假设存在正整数m,n(1<
n),使得T1,Tm,Tn成等比数列,则T1·
Tn=T.
∵T1·
Tn==<
,
∴T==<
∴2m2-4m-1<0,∴1-<m<1+,又∵m∈N且m>1,
∴m=2,则T=.令T1·
Tn==,得n=12,
∴当且仅当m=2,n=12时,T1,Tm,Tn成等比数列.
【命题热点突破三】 数列中an与Sn的关系问题
例3、(2018年天津卷)设{an}是等差数列,其前n项和为Sn(n∈N*);
{bn}是等比数列,公比大于0,其前n项和为Tn(n∈N*).已知b1=1,b3=b2+2,b4=a3+a5,b5=a4+2a6.
(Ⅰ)求Sn和Tn;
(Ⅱ)若Sn+(T1+T2+…+Tn)=an+4bn,求正整数n的值.
【答案】
(Ⅰ),;
(Ⅱ)4.
【变式探究】已知是等差数列,是其前项和.若,则的值是▲.
【解析】由得,因此
【感悟提升】在等差数列、等比数列的综合问题中,通过列方程(组)求基本量是基本而重要的方法.在数列的最值问题中,如果使用函数的方法,要充分考虑数列中的自变量是正整数.
【变式探究】已知等比数列的首项a1=2,公比q>
1,且an,an+1,an+2成等差数列(n∈N*).
(1)求数列的通项公式;
(2)记bn=nan,数列的前n项和为Sn,若(n-1)2≤m(Sn-n-1)对于n≥2,n∈N*恒成立,求实数m的取值范围.
(2)因为bn=nan=n·
2n,所以Sn=1×
2+2×
22+3×
23+…+n×
2n,
2Sn=1×
22+2×
23+3×
24+…+(n-1)·
2n+n·
2n+1,
所以Sn=-(2+22+23+…+2n-n·
2n+1)=-(-n·
2n+1)=(n-1)·
2n+1+2.
因为(n-1)2≤m(Sn-n-1)对于n≥2,n∈N*恒成立,
所以(n-1)2≤m[(n-1)·
2n+1+2-n-1]恒成立,即(n-1)2≤m(n-1)(2n+1-1)恒成立,
于是问题转化为m≥对于n≥2,n∈N*恒成立.
令f(n)=,n≥2,则f(n+1)-f(n)=-=<
0,
所以当n≥2,n∈N*时,f(n+1)<
f(n),即f(n)单调递减,
则f(n)≤f
(2)=,
所以m≥.
故实数m的取值范围为.
【高考真题解读】
1.(2018年浙江卷)已知成等比数列,且.若,则
2.(2018年北京卷)“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为
A.B.
C.D.
【答案】D
【解析】因为每一个单音与前一个单音频率比为,所以,
又,则,故选D.
3.(2018年江苏卷)已知集合,.将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列.记为数列的前n项和,则使得成立的n的最小值为________.
【答案】27
4.(2018年浙江卷)已知等比数列{an}的公比q>
1,且a3+a4+a5=28,a4+2是a3,a5的等差中项.数列
{bn}满足b1=1,数列{(bn+1−bn)an}的前n项和为2n2+n.
(Ⅰ)求q的值;
(Ⅱ)求数列{bn}的通项公式.
(Ⅰ)
(Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ)由是的等差中项得,
所以,
7.(2018年江苏卷)设,对1,2,·
·
,n的一个排列,如果当s<
t时,有,则称是排列的一个逆序,排列的所有逆序的总个数称为其逆序数.例如:
对1,2,3的一个排列231,只有两个逆序(2,1),(3,1),则排列231的逆序数为2.记为1,2,·
,n的所有排列中逆序数为k的全部排列的个数.
(1)求的值;
(2)求的表达式(用n表示).
(1)25
(2)n≥5时,
(1)记为排列abc的逆序数,对1,2,3的所有排列,有
所以.
对1,2,3,4的排列,利用已有的1,2,3的排列,将数字4添加进去,4在新排列中的位置只能是最后三个位置.
因此,.
1.(2017·
∴d=4,故选C.
2.(2017·
高考全国卷Ⅲ)等差数列{an}的首项为1,公差不为0.若a2,a3,a6成等比数列,则{an}前6项的和为( )
A.-24B.-3
C.3D.8
【解析】选A.由已知条件可得a1=1,d≠0,
由a=a2a6可得(1+2d)2=(1+d)(1+5d),
解得d=-2.
所以S6=6×
1+=-24.故选A.
3.(2017·
高考全国卷Ⅲ)设等比数列{an}满足a1+a2=-1,a1-a3=-3,则a4=________.
【答案】-8
4.(2017·
高考全国卷Ⅰ)记Sn为等比数列{an}的前n项和.已知S2=2,S3=-6.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求Sn,并判断Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差数列.
解:
(1)设{an}的公比为q.由题设可得
于是当时,.
又,故,即.
所以数列的通项公式为.
(2)因为,,
所以.
因此,.
1.【2015高考重庆,理2】在等差数列中,若=4,=2,则= ( )
A、-1B、0C、1D、6
【解析】由等差数列的性质得,选B.
2.【2015高考福建,理8】若是函数的两个不同的零点,且这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则的值等于()
A.6B.7C.8D.9
3.【2015高考北京,理6】设是等差数列.下列结论中正确的是()
A.若,则B.若,则
C.若,则D.若,则
【答案】C
【解析】先分析四个答案支,A举一反例,而,A错误,B举同样反例,,而,B错误,下面针对C进行研究,是等差数列,若,则设公差为,则,数列各项均为正,由于,则,选C.
4.【2015高考新课标2,理16】设是数列的前n项和,且,,则________.
【解析】由已知得,两边同时除以,得,故数列是以为首项,为公差的等差数列,则,所以.
5.【2015高考广东,理10】在等差数列中,若,则=.
【答案】10.
【解析】因为是等差数列,所以,即,所以,故应填入.
6.【2015高考陕西,理13】中位数1010的一组数构成等差数列,其末项为2015,则该数列的首项为.
【答案】5
【解析】设数列的首项为,则,所以,故该数列的首项为,所以答案应填:
5.
7.【2015高考浙江,理3】已知是等差数列,公差不为零,前项和是,若,,成等比数列,则()
A.B.C.D.
【答案】B.
8.【2015高考安徽,理14】已知数列是递增的等比数列,,则数列的前项和等于.
【解析】由题意,,解得或者,而数列是递增的等比数列,所以,即,所以,因而数列的前项和.学¥科网
9.【2014高考北京版理第5题】设是公比为的等比数列,则“”是“为递增数列”的()
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
10.【2014高考福建卷第3题】等差数列的前项和,若,则()
【解析】假设公差为,依题意可得.所以.故选C.
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