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②limrn(x)0,xD.
二、幕级数及其收敛半径和收敛域
1.【定义】形如an(xXo)n的函数项级数称为(XXo)的幕级数.(也
n0
称为一般幕级数),其中ao,a「a2丄.a.丄为常数,称为幕级数的系
数.当xo0时,anXn称为x的幕级数(也称为标准幕级数),其中
常数an(n0,1,2丄)称为幕级数的系数.
结论:
对于级数an(XX0)n,作代换tXX0可以将一般幕级数化
为标准幕级数antn,所以我们只研究标准幕级数敛散性的判别方法.
anxn的收敛域:
此级数的全体收敛点的集合.
显然:
x0D(收敛域),即幕级数总在xx0点处收敛.
xn的收敛域D(1,1),其发散域G(,1][1,).
且和函数S(x)xn—,|x|1•此结论可当公式使用•
n01X
2.级数的收敛域
上述分析显示级数anxn在一个以原点为中心,从R到R的区间内
1
绝对收敛,区间(R,R)称为幕级数的收敛区间,R为收敛半径.
l
0,级数的收敛域为x0
若级数anxn仅在点x0收敛,则规定R
若anXn对任意x都收敛,则R,级数的收敛域为(,).
当OR时,要讨论级数在xR处的敛散性才能确定收敛域.此
时收敛域可能是下列区间之一:
(R,R),[R,R),(R,R],[R,R].
|x|*0〔,有xD即级数anXn发散.
证明:
(1)
X0
D
3nX0
收敛,
M0
由
an
n厶
X0收
anX0
0(n
)
IanX0IM(M
|x||X0|
|a
nx
I|anx01
X
M
因
1,
从而
收敛,
正项级数
anxIn收敛
0的常数)
anXn收敛XD即对IXIIX0|,anXn收敛且绝对收敛
n0n0
由
(1)
⑵X0D,假若有X1D满足|xi||X01anx0收敛
X0D矛盾•所以|x||x01,有anXn发散,即xD.
注意:
(1)若x。
D,则(|X°
|,|X0|)D(收敛域),(x。
0);
(2)若x°
D,则(,|X0|)U(|X0|,)G(发散域).
4.【定理7.13】若幕级数anxn系数满足条件
nmn|an|
l(l为常数或
),则
(1)当0
l时,则
R一;
(2)当1
0时,则R
(3)当1
时,则R
11
0.
常用公式:
Rlim,
R——
卩—
nan1
lim
?
an
例如:
幕级数xn的收敛半径R1,x1时,级数发散,故其敛区
与敛域均为(1,1).
例1求幕级数
(1)n1—的收敛半径与收敛域•
n1n
解
(1)级数的通项为an
(1)n11
Rlim|an|lim丄」1.
1时,级数为
(1)n
收敛;
nlandnn
当x1时,级数为一发散•
故收敛区间(敛区)是1,1,收敛域为(1,1](敛域)
nx
例2
(1)
求幕级数
—的收敛半径与收敛域.
n!
解:
—R
lim(n1)!
lim(n1)
an1
nn!
n
故收敛区间和收敛域均是(
).
(2)求幕级数
xn的收敛半径•
o
ann!
lim卫lim丄0•
n(n1)!
nn1
1)n
1xn1的收敛半径与收敛域•
提示:
Rlim
1R1,又|x
练习:
例3
(1)求幕级数
1时级数发散•收敛域1,1.
n2n
(1)n1———的收敛半径与收敛域•(缺项级数)
示:
|gUn1
(1)n3n1x2(n1)
|u
1n
(
3n
2亠
2c
x3〉
当3x2
x
寺时级数收敛;
当
3x2
1)n13nx2n
;
时级数发散•
■3
时,
原级数是
(1)n
所以收敛半径R——,收敛区间(
缺项级数可以直接用比值法求收敛半径
(1)n12n1
(1)x一的收敛域•
Un1
Un
2n1
2
1即x1时级数收敛,由由
1丄,收敛的交错级数•
,收敛域[13,9
lim心
n2n1
1时级数发散•
(-i)n—1(-i)n
当x1时,-收敛,当x1时,—收敛,
n=i2n—1n=12n—1
例4求幕级数
(2x1)n
的收敛半径与收敛域
所以收敛域为[1,1].
(中心不在原点的级数)
2x1,幕级数变形为
1訂的收敛半径为
A)
(A)5
(B)血
3
答案lim
lim
bn
<
5n
(C)
(D)
b;
、、.'
、、八注意:
一般幕级数求收敛半径时作变量代换
提问:
(1)(02.3)设幕级数a“Xn与bnXn的收敛半径分别为
n1n1
(3)(92.3)
答令t(x
于是收敛半径
级数a2^~的收敛域为(0,4).
n1n4
tn
2)n对于"
1齐
由lim
R4,则4(x
4时,原级数都为
三、幕级数以及和函数的运算性质
4n
(n1)4n1
2)24,即0x4内收敛.
发散,所以收敛域为(0,4).
1.设anxn和bnxn的收敛半径分别为Ra和R.
1)加减法:
anxnbnxn(anbn)xn,x&
&
n0n0n0
其中:
Rcmin{Ra,Rj.
2)乘法:
nnnn
anXbnXCnX(aQ)x,xRc,Rc.
n0n0n0n0ijn
Rcmin{Ra,Rj,Cnabk,n1,2,.
k0
anX
3)除法:
心CnXn,XRc,Rc.
浓n0
Rc待定,而Cn由系列表达式anbkCnk,n1,2,确疋.
此处,RaRb,但Rc1.
(R,R)内是连续
2.幕级数anXn的和函数S(x)在其收敛区间
3.幕级数anxn的和函数S(x)在其收敛区间(R,R)内可积,且
有逐项积分公式
4.幕级数anxn的和函数
S(x)在其收敛区间上可微,
且在收敛区间上
S(x)anxnnanxn1,|x|RR.
n0n1
说明
公式
求导与积分前后两级数的收敛半径不变
,但收敛域有可能改变
x收敛域为
n01x
例5
求幕级数的和函数
S(x),并求
0n1
(1)Rlimlim
nan1n
n2
——1.
当x1时,级数为
(1)n收
敛;
—发散.
1n1
故原级数收敛域是
[1,1).
⑵当0|x|1时,有[xS(x)]
xS(x)
由于
S(0)
xx1
0[tS(t)]dt0
001t
1且幕级数在其收敛域上连续
dt
ln(1
S(x)
ln(1x),1
0,或0
x1;
1代入和函数可得
x0.
S
(1)
In2.
nxn11
2x3x2L
nnx
L的和函数S(x),
并求级数
斗及级数
12
2n的和.
13n
lim口nn
1,所以
R1.
当x1时,n发散,当x
所以级数敛域为(1,1).
1时,
n发散.
2)设S(x)
x
1,1),则
0S(t)dt
ntn
1dt
cx(1J)
3)令
dx
d-0S(t)dtdx0
1,则有
(产)
1x
1、n1n(=)
1
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