《概率与统计》习题答案复旦大学出版社Word文档格式.docx
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故X的分布函数
(3)
3.射手向目标独立地进行了3次射击,每次击中率为0.8,求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数,并求3次射击中至少击中2次的概率.
设X表示击中目标的次数.则X=0,1,2,3.
X0123
P0.0080.0960.3840.512
分布函数
4.
(1)设随机变量X的分布律为
P{X=k}=,
其中k=0,1,2,…,λ>0为常数,试确定常数a.
(2)设随机变量X的分布律为
P{X=k}=a/N,k=1,2,…,N,
试确定常数a.
(1)由分布律的性质知
故
(2)由分布律的性质知
即.
5.甲、乙两人投篮,投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次,求:
(1)两人投中次数相等的概率;
(2)甲比乙投中次数多的概率.
【解】分别令X、Y表示甲、乙投中次数,则X~b(3,0.6),Y~b(3,0.7)
(1)
+
(2)
=0.243
6.设某机场每天有200架飞机在此降落,任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02,且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道,才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)?
【解】设X为某一时刻需立即降落的飞机数,则X~b(200,0.02),设机场需配备N条跑道,则有
即
利用泊松近似
查表得N≥9.故机场至少应配备9条跑道.
7.有一繁忙的汽车站,每天有大量汽车通过,设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.0001,在某天的该时段内有1000辆汽车通过,问出事故的次数不小于2的概率是多少(利用泊松定理)?
【解】设X表示出事故的次数,则X~b(1000,0.0001)
8.已知在五重贝努里试验中成功的次数X满足P{X=1}=P{X=2},求概率P{X=4}.
【解】设在每次试验中成功的概率为p,则
所以.
9.设事件A在每一次试验中发生的概率为0.3,当A发生不少于3次时,指示灯发出信号,
(1)进行了5次独立试验,试求指示灯发出信号的概率;
(2)进行了7次独立试验,试求指示灯发出信号的概率.
(1)设X表示5次独立试验中A发生的次数,则X~6(5,0.3)
(2)令Y表示7次独立试验中A发生的次数,则Y~b(7,0.3)
10.某公安局在长度为t的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X服从参数为(1/2)t的泊松分布,而与时间间隔起点无关(时间以小时计).
(1)求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率;
(2)求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率.
(1)
(2)
11.设P{X=k}=,k=0,1,2
P{Y=m}=,m=0,1,2,3,4
分别为随机变量X,Y的概率分布,如果已知P{X≥1}=,试求P{Y≥1}.
【解】因为,故.
而
故得
从而
12.某教科书出版了2000册,因装订等原因造成错误的概率为0.001,试求在这2000册书中恰有5册错误的概率.
【解】令X为2000册书中错误的册数,则X~b(2000,0.001).利用泊松近似计算,
得
13.进行某种试验,成功的概率为,失败的概率为.以X表示试验首次成功所需试验的次数,试写出X的分布律,并计算X取偶数的概率.
【解】
14.有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡的概率为0.002,每个参加保险的人在1月1日须交12元保险费,而在死亡时家属可从保险公司领取2000元赔偿金.求:
(1)保险公司亏本的概率;
(2)保险公司获利分别不少于10000元、20000元的概率.
【解】以“年”为单位来考虑.
(1)在1月1日,保险公司总收入为2500×
12=30000元.
设1年中死亡人数为X,则X~b(2500,0.002),则所求概率为
由于n很大,p很小,λ=np=5,故用泊松近似,有
(2)P(保险公司获利不少于10000)
即保险公司获利不少于10000元的概率在98%以上
P(保险公司获利不少于20000)
即保险公司获利不少于20000元的概率约为62%
15.已知随机变量X的密度函数为
f(x)=Ae-|x|,-∞<
x<
+∞,
求:
(1)A值;
(2)P{0<
X<
1};
(3)F(x).
(1)由得
故.
(3)当x<
0时,
当x≥0时,
16.设某种仪器内装有三只同样的电子管,电子管使用寿命X的密度函数为
f(x)=
(1)在开始150小时内没有电子管损坏的概率;
(2)在这段时间内有一只电子管损坏的概率;
(3)F(x).
100时F(x)=0
当x≥100时
17.在区间[0,a]上任意投掷一个质点,以X表示这质点的坐标,设这质点落在[0,a]中任意小区间内的概率与这小区间长度成正比例,试求X的分布函数.
【解】由题意知X~∪[0,a],密度函数为
故当x<
0时F(x)=0
当0≤x≤a时
当x>
a时,F(x)=1
即分布函数
18.设随机变量X在[2,5]上服从均匀分布.现对X进行三次独立观测,求至少有两次的观测值大于3的概率.
【解】X~U[2,5],即
故所求概率为
19.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X(以分钟计)服从指数分布.某顾客在窗口等待服务,若超过10分钟他就离开.他一个月要到银行5次,以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数,试写出Y的分布律,并求P{Y≥1}.
【解】依题意知,即其密度函数为
该顾客未等到服务而离开的概率为
即其分布律为
20.某人乘汽车去火车站乘火车,有两条路可走.第一条路程较短但交通拥挤,所需时间X服从N(40,102);
第二条路程较长,但阻塞少,所需时间X服从N(50,42).
(1)若动身时离火车开车只有1小时,问应走哪条路能乘上火车的把握大些?
(2)又若离火车开车时间只有45分钟,问应走哪条路赶上火车把握大些?
(1)若走第一条路,X~N(40,102),则
若走第二条路,X~N(50,42),则
++
故走第二条路乘上火车的把握大些.
(2)若X~N(40,102),则
若X~N(50,42),则
故走第一条路乘上火车的把握大些.
21.设X~N(3,22),
(1)求P{2<
X≤5},P{-4<
X≤10},P{|X|>2},P{X>3};
(2)确定c使P{X>c}=P{X≤c}.
(2)c=3
22.由某机器生产的螺栓长度(cm)X~N(10.05,0.062),规定长度在10.05±
0.12内为合格品,求一螺栓为不合格品的概率.
23.一工厂生产的电子管寿命X(小时)服从正态分布N(160,σ2),若要求P{120<X≤200}≥0.8,允许σ最大不超过多少?
24.设随机变量X分布函数为
F(x)=
(1)求常数A,B;
(2)求P{X≤2},P{X>3};
(3)求分布密度f(x).
(1)由得
25.设随机变量X的概率密度为
求X的分布函数F(x),并画出f(x)及F(x).
【解】当x<
1时
2时
当x≥2时
26.设随机变量X的密度函数为
(1)f(x)=ae-l|x|,λ>
0;
(2)f(x)=
试确定常数a,b,并求其分布函数F(x).
(1)由知
即密度函数为
当x≤0时
0时
故其分布函数
(2)由
得b=1
即X的密度函数为
当x≤0时F(x)=0
当0<
当x≥2时F(x)=1
故其分布函数为
27.求标准正态分布的上分位点,
(1)=0.01,求;
(2)=0.003,求,.
(2)由得
查表得
由得
28.设随机变量X的分布律为
X-2-1013
Pk1/51/61/51/1511/30
求Y=X2的分布律.
【解】Y可取的值为0,1,4,9
故Y的分布律为
Y0149
Pk1/57/301/511/30
29.设P{X=k}=()k,k=1,2,…,令
求随机变量X的函数Y的分布律.
30.设X~N(0,1).
(1)求Y=eX的概率密度;
(2)求Y=2X2+1的概率密度;
(3)求Y=|X|的概率密度.
(1)当y≤0时,
当y>
当y≤1时
当y≤0时
31.设随机变量X~U(0,1),试求:
(1)Y=eX的分布函数及密度函数;
(2)Z=-2lnX的分布函数及密度函数.
当时
当1<
y<
e时
当y≥e时
故Y的密度函数为
(2)由P(0<
1)=1知
当z≤0时,
当z>
故Z的密度函数为
32.设随机变量X的密度函数为
试求Y=sinX的密度函数.
当y≤0时,
1时,
当y≥1时,
33.设随机变量X的分布函数如下:
试填上
(1),
(2),(3)项.
【解】由知②填1。
由右连续性知,故①为0。
从而③亦为0。
即
34.同时掷两枚骰子,直到一枚骰子出现6点为止,求抛掷次数X的分布律.
【解】设Ai={第i枚骰子出现6点}。
(i=1,2),P(Ai)=.且A1与A2相互独立。
再设C={每次抛掷出现6点}。
则
故抛掷次数X服从参数为的几何分布。
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