等腰三角形典型例题Word文件下载.docx

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∴X+2X+2X=180

∴X=36

答：

∠B的度数为360

注：

用代数方法解几何计算题常可使我们换翻为简。

练习1：

如图所示，在△ABC中，D是AC上一点，并且AB=AD，DB=DC，

若∠C=290，则∠A=__＿

练习2：

如图在△ABC中，AB=AC,点D在AC上，且BD=BC=AD,求△ABC各角的度数？

【例2】如图所示，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC。

求证：

AO⊥BC

思路点拨：

要证AO⊥BC，即证AO

是等腰三角形底边上的高，根据三线合一定理，只要先证AO是顶角的平分线即可。

证明：

延长AO交BC于D

AB=AC（已知）

在△ABO和△ACO中OB=OC（已知）

AO=AO（公共边）

∴△ABO≌△ACO（SSS）

∴∠BAO=∠CAO

即∠BAD=∠CAD（全等三角形的对应角相等）

∴AD⊥BC，即AO⊥BC（等腰三角形顶角的平分线与底边上的高互相重合）

评注：

本题用两次全等也可达到目的.。

练习：

如图所示，点D、E在△ABC的

边BC上，AB=AC，AD=AE

BD=CE

【例3】求证等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于一腰上的高。

本题为文字题，文字题必须按下列步骤进行：

（1）根据题意画出图形；

（2）根据图形写出“已知”、“求证”；

（3）写出证明过程。

如图，在△ABC中，AB=AC，P是BC边上任一点，过点P作PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，作BE⊥AC于E。

求证：

PM+PN=BE

证明：

作PQ⊥BE于Q

∵BE⊥AC，PN⊥AC，

∴BE∥PN

∵PQ⊥BE，AC⊥BE

∴PQ∥NE。

，

∴QE=PN。

∵AB=AC

∴∠ABC=∠C

∵PQ∥AC

∴∠QPB=∠C

∴∠ABC=∠QPB

又∵∠PMB=∠BQP=900BP=PB，

∴△PMB≌△BQP（AAS）

∴PM=BQ

∴PM+PN=BQ+QE=BE

对文字题一定要逐字逐句地分析，画好图形，写出已知、求证，按步骤解题。

求证等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之差等于一腰上的高。

【例4】已知如图所示，在△ABC中，AB=AC，D是AB上一点，过D作DE⊥BC与E，并与CA的延长线相交于F，

AD=AF

要证AD=AF，需证∠1=∠F，

而∠1=∠2，∠2落在△BDE中，

∠F落在△FEC中,因为DE⊥BC，

所以它们都为直角三角形。

∠F与∠2的余角分别为∠B与∠C,由已知可得∠B=∠C，因而结论成立。

在△ABC中∵AB=AC

∴∠B=∠C（等边对等角）∵DE⊥BC

∴∠DEB=∠DEC=900（垂直定义）

∴∠2+∠B=900，∠F+∠C=900（直角三角形两锐角互余）

∴∠2=∠F（等角的余角相等）

∵∠1=∠2∴∠1=∠F（等量代换）

∴AF=AD（等角对等边）

注：

要注意“两头凑”的分析方法。

本题还可以“作AG⊥BC与G”，则AG∥FE来证。

练习1：

如图AC=AD，∠C=∠D，

求证BC=BD（试不用三角形全等来证）

练习2:

如图，已知△ABC是等边三角形，点D.E分别在AC、BC上，且DE∥AB,DF⊥DE,交BC的延长线与点F.

CD=CF

【例5】如图所示，∠ABC，∠ACB的角平分线交于F，过F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E。

BD+EC=DE

由DE∥BC，得∠3=∠2

∵∠1=∠2∴∠1=∠3

∴DB=DF，同理CE=EF。

从而问题得证。

∵DE∥BC（已知）

∴∠3=∠2（两直线平行，内错角相等）

又∵BF平分∠ABC（已知）

∴∠1=∠2（角平分线定义）

∴∠1=∠3

∴DB=DF（等角对等边）

同理EF=CE

∴BD+EC=DF+EF，即BD+EC=DE。

在三角形中一般是角平分线+平行线得等腰三角形。

如图，BF平分∠ABC，CF平分∠ACG且DF∥BG.问DB、EC和DE之间存在着怎样的关系呢？

请证之。

【例6】图中，已知BC⊥AC,DE⊥AC,点D是AB的中点，∠A=300,DE=1.8,求AB的长。

思路点拨：

又∠A=300可得在Rt△BAC，Rt△DAE中BC=1/2AB，DE=1/2AD，又点D为AB的中点可得

BD=AD=1/2AB

于是可得DE=1/4AB

解：

∵∠A=300，DE⊥AC，BC⊥AC，（已知）

∴DE=1/2AD，BC=1/2AB（在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半）。

又∵AD=1/2AB,∴DE=1/2AD=1/4AB,

即AB=4DE=4*1.8=7.2

在直角三角形中已知300的角就意味着边的2倍关系了，要注意充分利用这一条件进行计算。

在Rt△ABC中，∠C=900,若∠B=2∠A,则边AB与BC之间有什么关系？

等腰三角形的底角等于15°

，腰长为2a,求腰上的高。

【例7】如图，在△ABC中BD⊥AC于D,∠BAC=2∠DBC.求证：

∠ABC=∠ACB.

由∠BAC=2∠DBC联想到作∠BAC的平分线，想办法证∠BAC的平分线垂直BC，即可得证。

作∠BAC的平分线AE交BC于E,交BD于O,

则∠BAE=∠CAE=∠DBC.

∵BD⊥AC（已知）

∴∠ODA=90°

（垂直定义）

∵∠AOD=∠BOE（对顶角相等），

∴∠OEB=1800-∠BOE-∠DBC=1800-∠AOD-∠CAE=∠ODA,

即∠OEB=900

∴∠ABC+∠BAE=900,∠ACB+∠CAE=900（直角三角形两锐角互余），

∴∠ABC=∠ACB（等角的余角相等）。

要善于观察，积累辅助线的作法，本题还可用加倍小角来证明：

即在∠ABD内作∠DBF=∠DBC交AC于F,

如图在△ABC中

∠1=∠2，∠ABC=2∠C

AB+BD=AC。

【例8】如图，在△ABC中，AD为中线，∠BAD=∠DAC

AB=AC。

从现有条件分析，在△ABD与△ACD中，∠1=∠2，AD=AD是公共边，D是BC的中点，即BD=DC具有“两边一对角”对应相等，无法断定全等，因AD是中线，就想到可把中线AD延长一倍，构造全等三角形来解此题。

延长AD到E，使DE=AD，连结BE。

在△ACD和△EBD中AD=DE，

BD=DC，

∠ADC=∠EDB

∴△ACD≌△EBD（SAS）

∴BE=AC，∠BED=∠CAD（全等三角形的对应边、对应角相等）

∵∠BAD=∠DAC（已知）

∴∠BED=∠BAD（等量代换）

∴AB=BE（等角对等边）

∴AB=AC（等量代换）

在三角形中有中线时常延长加倍中线，构造全等三角形，另外在等腰三角形中，常作一腰的平行线或作底的平形线，从而构造新的等腰三角形。

如图，在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC延长线上且BD=CE，连接DE交BC于F。

DF=EF。

三、小结：

1、本节课首先回顾了等腰三角形的性质和判定定理，并利用其定理进行了有关计算和证明。

2、在等腰三角形中常用的辅助线有：

（1）、作顶角的平分线、底边上的高线、中线。

（2）、在三角形的中线问题上，我们常将中线延长一倍，这样添辅助线有助于我们解决有关中线的问题。